動態(tài)力計(jì)量建模與分析方法綜述

江文松，吳婭輝，李新良，王中宇，張力*

（1.中國計(jì)量大學(xué)計(jì)量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.航空工業(yè)北京長城計(jì)量測試技術(shù)研究所計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100095；3.北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191）

0 引言

動態(tài)計(jì)量數(shù)據(jù)作為一種典型的科研數(shù)據(jù)，是國家質(zhì)量基礎(chǔ)的核心內(nèi)容之一［1-2］。在計(jì)量領(lǐng)域，測量數(shù)據(jù)的正確建模與分析是處理復(fù)雜系統(tǒng)量值溯源與傳遞的關(guān)鍵。

計(jì)量需要選取合適的動態(tài)發(fā)生信號作為標(biāo)準(zhǔn)量的激勵源，用以激發(fā)被校準(zhǔn)傳感器、測量裝置、實(shí)驗(yàn)裝置等工業(yè)儀器儀表的動態(tài)特性［3-4］。例如：在動態(tài)力校準(zhǔn)中，既可選擇電磁激振器、機(jī)械激振器等產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)正弦激勵信號來激發(fā)被校準(zhǔn)儀表的動態(tài)頻域特性，也可以選擇落錘式?jīng)_擊力校準(zhǔn)裝置產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)半正弦脈沖激勵信號來激發(fā)被校準(zhǔn)儀表的瞬態(tài)響應(yīng)特性。

對被校準(zhǔn)儀表建立數(shù)學(xué)模型既能幫助計(jì)量檢定人員了解其工作原理，選擇合適的計(jì)量方式，也可為生產(chǎn)廠家開展儀表參數(shù)的辨識和校準(zhǔn)提供量值溯源的可能［5-6］。例如：在建立好壓力傳感器的二階參數(shù)化模型之后，采用激波校準(zhǔn)法實(shí)現(xiàn)其參數(shù)的辨識和二階模型響應(yīng)特性的量化［7］。

動態(tài)力校準(zhǔn)裝置通過施加標(biāo)準(zhǔn)激勵和可溯源的量值測量，就能通過辨識的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行動態(tài)時域特性和頻域特性評價(jià)。例如：通過時域上的上升時間、峰值時間或頻域上的穿越頻率可以評價(jià)被校準(zhǔn)儀表的響應(yīng)速度；通過時域上的調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量、或頻域上的相位裕量可以評價(jià)被校準(zhǔn)儀表的穩(wěn)定性；通過穩(wěn)態(tài)誤差或動態(tài)降落可以判斷被校準(zhǔn)儀表的抗干擾特性等［8-12］。

由于對計(jì)量活動認(rèn)識的局限性，測量過程不可避免地存在測量誤差、建模誤差、數(shù)據(jù)分析誤差等，產(chǎn)生具有一定量值水平的測量不確定度［13］。通過這些評價(jià)指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)動態(tài)量值的立體計(jì)量。例如：Heisenberg在1927年針對量子物理學(xué)實(shí)驗(yàn)首次提出了測不準(zhǔn)原理及概念，1993年國際不確定度工作組聯(lián)合各個專業(yè)國際組織和各國計(jì)量部門，制定了《測量不確定度表示指南》（《Guide to the Expres?sion of Uncertainty in Measurement》，簡稱《GUM》），被世界各國及國際組織沿用至今，并被廣泛應(yīng)用于航空航天、電力電子等現(xiàn)代高端制造行業(yè)［14-15］。

因此，激勵源設(shè)計(jì)、被校準(zhǔn)儀表建模、動態(tài)時頻域評價(jià)、測量不確定度評定等數(shù)據(jù)處理方法是開展動態(tài)校準(zhǔn)、量值溯源與傳遞等的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。本文以動態(tài)力校準(zhǔn)為例，分別通過討論激勵源的分類形式、工作原理及模型，分析動態(tài)計(jì)量參數(shù)的建模方法，建立其計(jì)量數(shù)據(jù)的時頻域評價(jià)體系，介紹動態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的測量不確定度評定方法，系統(tǒng)地概述動態(tài)力計(jì)量的建模和分析理論，為動態(tài)力計(jì)量數(shù)據(jù)評價(jià)機(jī)制的建立提供理論基礎(chǔ)。

1 動態(tài)力激勵信號的量值表征

在動態(tài)計(jì)量領(lǐng)域，通常采用階躍信號、脈沖信號、正弦信號、斜坡信號、拋物線信號等特征數(shù)據(jù)作為典型的激勵源。在動態(tài)力校準(zhǔn)實(shí)踐中，前三種類型的信號較為常見，屬于常規(guī)激勵信號，通常利用這些激勵開展不同形式動態(tài)量值的測量、溯源、校準(zhǔn)及評價(jià)等計(jì)量活動，如圖1所示。

圖1 動態(tài)量值計(jì)量過程的建模與分析方法Fig.1 Modeling and analysis method of traceable measurement for the dynamic quantity

1.1 常規(guī)激勵源

1.1.1 正弦激勵信號

正弦激勵信號r（t）屬于周期變化的信號，在交流供電電源、動態(tài)力、動態(tài)壓力、振動、動態(tài)溫度等現(xiàn)場校準(zhǔn)過程中較為常見，經(jīng)常在動態(tài)校準(zhǔn)過程中，用于信號的頻譜分析，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：A為信號的幅值；ω 為角頻率；t為時間，s；在頻域表達(dá)上，r（t）需要進(jìn)行拉普拉斯變換，L（r（t））為對r（t）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到其頻域的表征形式值R（s）；s為頻率，Hz。

在動態(tài)校準(zhǔn)過程中，將正弦信號作為激勵，通過頻率特性法計(jì)算被校準(zhǔn)儀表的頻率響應(yīng)特性，實(shí)現(xiàn)其幅頻特性、穩(wěn)定性等動態(tài)過程指標(biāo)的分析。例如：正弦激振器為正弦力激勵源，輸出周期頻率可變的動態(tài)力，如圖2所示。

圖2 正弦激勵源及信號發(fā)生原理Fig.2 Sinusoidal excitation and its signal generation principle

由于常規(guī)激勵源具有激發(fā)動態(tài)特性的良好能力，研究人員近年來針對正弦激勵源設(shè)計(jì)了動態(tài)力計(jì)量裝置，并做了大量的研究。通過被校準(zhǔn)力傳感器、負(fù)載質(zhì)量塊和參考傳感器來實(shí)現(xiàn)動態(tài)載荷的精確計(jì)量與校準(zhǔn)［16］，動態(tài)力校準(zhǔn)的矢量受力方程為

式中：m1為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊質(zhì)量，kg；m2為連接件的質(zhì)量，kg。

正弦力校準(zhǔn)裝置最早由德國聯(lián)邦物理技術(shù)研究院（Physikalisch-Technische Bundesanstalt，PTB）提出，利用波形發(fā)生器、功率放大器和高精度振動臺產(chǎn)生特定頻率和幅值的正弦力。2002年，T.Bruns研究員和R.Kumme教授在此基礎(chǔ)上對引入氣浮技術(shù)、減震技術(shù)和加速度傳感器網(wǎng)絡(luò)等，實(shí)現(xiàn)橫向偏擺、慣性質(zhì)量、加速度分布不均勻等影響因素的干擾消除，在10 Hz～2 kHz 的頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了100，800 N和10 kN的正弦力，測量不確定度達(dá)0.4%［19］。法國國家實(shí)驗(yàn)室（Laboratoire national de métrologie et d'essais，LNE）和西班牙計(jì)量中心（Centro Espa?ol de Metrología，CEM）及北京長城計(jì)量測試技術(shù)研究所（Changcheng Institute of Me?trology&Measurement，CIMM）等也基于該原理設(shè)計(jì)了系列正弦力校準(zhǔn)裝置（如圖3 所示），并實(shí)現(xiàn)國際比對［20］。

圖3 不同型號正弦力計(jì)量裝置Fig.3 Different sinusoidal force measuring devices

1.1.2 沖擊激勵信號

沖擊信號持續(xù)時間極短，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：H為沖擊幅值；ε為脈寬。通常當(dāng)H=1 且脈寬逼近時，即為常見的單位理想沖擊函數(shù)δ(t)，其面積為脈沖強(qiáng)度。據(jù)此可知δ(t)信號的拉普拉斯變換為1，具有瞬間無窮大的能量，因此這種信號無法在實(shí)際工程中獲得，如圖4所示。

圖4 沖擊信號與單位理想沖擊函數(shù)Fig.4 Impulse signal and the unit ideal impulse function

在計(jì)量實(shí)踐中，通常把ε遠(yuǎn)小于被測傳感器響應(yīng)時間的窄脈沖半正弦信號近似為δ(t)函數(shù)。例如：落錘式發(fā)生裝置可以近似為沖擊力激勵源，能夠輸出不同脈沖寬度和脈沖幅值的動態(tài)力，如圖5 所示。

圖5 沖擊激勵源及信號發(fā)生原理圖Fig.5 Impulse excitation and its signal generation principle

沖擊力校準(zhǔn)裝置由激勵源和測量單元組成。各國也基于該激勵原理實(shí)現(xiàn)沖擊力計(jì)量裝置的研制，如圖6 所示。例如：中國計(jì)量科學(xué)研究院（National Institute of Metrology，China，NIM）20 世紀(jì)80年代就開展了500 N～200 kN 沖擊力校準(zhǔn)典型裝置研制，其在0.6 ms 的脈沖寬度的測量不確定度為2%，此時自由度取k=3［21］；印度國家物理實(shí)驗(yàn)室（National Physical Laboratory India，NPLI）在2012年聯(lián)合德國PTB 研制了1 kN～1 MN 的沖擊力校準(zhǔn)裝置，實(shí)現(xiàn)了100，200，500，1000 kN 等沖擊力的溯源，重復(fù)性誤差接近1%［22］；CIMM 研制的沖擊力校準(zhǔn)裝置，能夠?qū)崿F(xiàn)0.5 ms脈寬、180 kN沖擊力的溯源，重復(fù)性測量誤差不大于1%［23］。

圖6 不同型號沖擊力計(jì)量裝置Fig.6 Different impact force measuring devices

1.1.3 階躍激勵信號

階躍信號為通過瞬間突變后保持的信號，其數(shù)學(xué)模型可表示為

式中：R0為常量，當(dāng)R0=1 時稱為單位階躍信號ε(t)，在進(jìn)行動態(tài)特性分析時，可將其進(jìn)行拉普拉斯變換為R（s）。

階躍信號的發(fā)生比較特殊，既需要具備瞬態(tài)突變特征，又需要有量值保持能力。例如：激波管的膜片破裂、脆性梁的斷裂、電源突然通斷、負(fù)載突變等均近似地認(rèn)為會輸出階躍信號。另外，階躍信號是傳感器或測量系統(tǒng)時域性能分析的常用激勵，因此被廣泛應(yīng)用于動態(tài)性能分析。在動態(tài)力校準(zhǔn)中，脆性梁的瞬間斷裂產(chǎn)生的負(fù)載通常為階躍力，用來產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)階躍激勵，如圖7所示。

圖7 階躍激勵源及信號發(fā)生原理Fig.7 Step excitation and its signal generation principle

階躍力校準(zhǔn)主要以卸荷的方式產(chǎn)生，例如，德國PTB 實(shí)現(xiàn)了20 kN 和250 kN 的階躍力發(fā)生，北京航空航天大學(xué)黃俊欽教授實(shí)現(xiàn)了196 kN 階躍力校準(zhǔn)［24］；北京理工大學(xué)也利用該方法實(shí)現(xiàn)了100 kN 負(fù)階躍力校準(zhǔn)［25］；北京長城計(jì)量測試技術(shù)研究所采用快速卸載方式在10～100 μs 的上升時間實(shí)現(xiàn)了1.2 MN 負(fù)階躍力校準(zhǔn)等［18］。但相比于正弦力和沖擊力校準(zhǔn)方式，由于階躍信號的保持難度較大，因此在計(jì)量實(shí)踐中并不多見。

1.2 其他激勵源

1.2.1 斜坡激勵信號

斜坡信號是隨時間t線性增長的信號，其數(shù)字表達(dá)式為

式中：v0為常量，當(dāng)v0=1時描述的激勵稱為單位斜坡信號。在進(jìn)行動態(tài)特性分析時，可將其進(jìn)行拉普拉斯變換為R（s）。

1.2.2 拋物線信號

拋物線信號隨時間t以等加速度增長，因此也稱為等加速度信號，其數(shù)學(xué)表達(dá)式及拉普拉斯變換形式可以表示為

式中：a0為常量，當(dāng)a0=1 時，稱為單位等加速度激勵信號。

由于斜坡信號和拋物線信號作為激勵源不僅不容易準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)信號發(fā)生與放大，還很難激發(fā)被校準(zhǔn)傳感器或儀器的動態(tài)性能，因此在動態(tài)校準(zhǔn)中并不常見。

2 動態(tài)力校準(zhǔn)參數(shù)的建模與分析方法

2.1 動態(tài)系統(tǒng)建模

當(dāng)確定了激勵源之后，建立被校準(zhǔn)儀表的模型是動態(tài)計(jì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為此需要利用被校準(zhǔn)儀表上的激勵和響應(yīng)信號，對其模型進(jìn)行辨識。

針對原理已知的白箱系統(tǒng)，通常對其各個環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律建立微分方程組，通過消除中間變量和歸一化處理，建立傳感器輸入與輸出之間的微分方程（由輸出量的各階導(dǎo)數(shù)和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)構(gòu)成），從而得到動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

令n階線性定常系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可用n階線性定常微分方程描述為

圖8 其它激勵源Fig.8 Other excitations

式中：c（t）為輸出量；r（t）為輸入量，即激勵源信號；ai和bj分別為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，i=1…n，j=1…m?？梢?，動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能揭示不同類型傳感器物理系統(tǒng)的共性內(nèi)在特征，給動態(tài)校準(zhǔn)過程帶來便捷。

為了求得被校準(zhǔn)儀表的傳遞函數(shù)G（s），在零初始條件下，對式（7）進(jìn)行拉普拉斯變換，即

針對黑箱模型，通常還需要在多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的條件下，采用參數(shù)辨識的方式對激勵和響應(yīng)信號的卷積、歸一化、聚類、模態(tài)分解或正則化等進(jìn)行信號處理，實(shí)現(xiàn)黑箱模型參數(shù)及微分關(guān)系的辨識，從而建立被校準(zhǔn)儀表的動態(tài)模型。

以動態(tài)力計(jì)量建模為例，在力傳感器動態(tài)建模過程中，為了溯源更為準(zhǔn)確的動態(tài)力，通常還會在式（2）的基礎(chǔ)上增加修正因子。例如，采用多傳感器融合的方式修正加速度分布不均引起的測量誤差，建立的時域修正模型為

式中：m3為傳感器的慣性質(zhì)量，kg；ω為振動臺的激振頻率，Hz；l為負(fù)載質(zhì)量塊的長度，mm；ρ為負(fù)載質(zhì)量塊的密度；E 為楊氏模量；n為質(zhì)量塊上表面參考加速度計(jì)的數(shù)量。

為了便于動態(tài)特性分析，力傳感器通?？梢越茷槎A模型。其中，壓電材料具有彈性和阻尼特征，彈性結(jié)構(gòu)的勁度系數(shù)為k，阻尼結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)為f，頂部質(zhì)量塊的質(zhì)量為m1，基部質(zhì)量塊的質(zhì)量為m2，在動態(tài)力F（t）的作用下，建立質(zhì)量塊m1和m2及其在空間上產(chǎn)生的相對時變位移x1（t）和x2（t）之間的受力平衡關(guān)系，從而得到力傳感器的開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）為

根據(jù)傳遞函數(shù)，獲得頻率特性表達(dá)式，即

通過式（11）可得到G（s）的幅頻特性A(ω)和相頻特性φ(ω)。因此，只要確定了被校準(zhǔn)力傳感器的頻率特性，就能辨識其關(guān)鍵參數(shù)水平。力傳感器動態(tài)特性由其傳遞函數(shù)確定，采用上述的正弦、階躍或脈沖等常規(guī)激勵作用，即可求解傳遞函數(shù)模型的各參數(shù)，實(shí)現(xiàn)動態(tài)力測量過程的動態(tài)建模。

2.2 時域評價(jià)方法

在動態(tài)計(jì)量中，被校準(zhǔn)傳感器的時域動態(tài)指標(biāo)通常采用階躍激勵r（t）作用，評價(jià)被校準(zhǔn)儀表的跟隨性能及穩(wěn)定性能。典型的被校準(zhǔn)傳感器的階躍響應(yīng)曲線如圖9所示，其中，反映響應(yīng)特性的指標(biāo)包括上升時間tr、峰值時間tp、超調(diào)量σ%、調(diào)節(jié)時間ts、振蕩次數(shù)、動態(tài)降落、恢復(fù)時間及穩(wěn)態(tài)誤差等。

圖9 階躍響應(yīng)曲線及性能指標(biāo)Fig.9 Step response curve and performance index

設(shè)某被校準(zhǔn)傳感器為二階線性定常系統(tǒng)，即n=2，在階躍激勵r（t）作用下的輸出c（t）的拉普拉斯變換為

式中：ξ為被校準(zhǔn)傳感器的阻尼系數(shù)，Φ(s)為被校準(zhǔn)傳感器的傳遞函數(shù)，根據(jù)其分母s2+ 2ξωns+即可求得兩個特征根，分別為

通常根據(jù)ξ在[0，+ ∞)上取值的不同，特征值s1，2有可能為實(shí)數(shù)根、復(fù)數(shù)根或重根。被校準(zhǔn)傳感器動態(tài)時域性能評價(jià)指標(biāo)分別如下：

1）上升時間

上升時間tr是系統(tǒng)輸出響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升至穩(wěn)態(tài)值的90%所需時間。因此，根據(jù)式（8）可求得c（t）為

由定義即可求出上升時間tr為

2）峰值時間

峰值時間tp是指傳感器或系統(tǒng)的輸出響應(yīng)自零時刻開始到首次達(dá)到峰值所經(jīng)歷的時間。對于二階系統(tǒng)，此時的c（t）在tp時刻的一階導(dǎo)數(shù)為0，即

于是可求得峰值時間為

3）超調(diào)量

超調(diào)量σ%為傳感器或系統(tǒng)的輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比，即

由式（18）可知，σ%越小，被校準(zhǔn)儀表的動態(tài)響應(yīng)越平穩(wěn)。

4）調(diào)節(jié)時間

調(diào)節(jié)時間ts是從零時刻開始，被校準(zhǔn)儀表的輸出響應(yīng)進(jìn)入并保持在某一誤差帶Δ之內(nèi)所需的時間，通常Δ取±5%（或±2%）。

顯然，誤差帶越小，對被校準(zhǔn)儀表的計(jì)量特性要求就越高；調(diào)節(jié)時間越小，表明被校準(zhǔn)儀表的動態(tài)響應(yīng)過程越短，即響應(yīng)越快速。

5）穩(wěn)態(tài)誤差

從定性的角度看，被校準(zhǔn)儀表的輸出量圍繞穩(wěn)態(tài)值擺動的次數(shù)越少、擺動的幅度越小，表明系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。這種擺動次數(shù)和擺動幅度通常用穩(wěn)態(tài)誤差ess來定量表示。穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)期望值r0（t）與實(shí)際穩(wěn)態(tài)值r（t）之間的差值，即

由式（19）可知，ess越小，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度越高。

6）動態(tài)降落值

動態(tài)降落值ΔCmax用于衡量被校準(zhǔn)儀表的抗擾動性能，通過對穩(wěn)態(tài)過程施加一個標(biāo)準(zhǔn)負(fù)階躍激勵，就能測量出被校準(zhǔn)儀表響應(yīng)的最大降落值ΔCmax，從擾動激勵到最大降落值之間的過渡時間稱為降落時間tm。

當(dāng)采用脈沖信號、正弦信號等其它激勵源時，還需要通過被校準(zhǔn)傳感器的輸出計(jì)量數(shù)據(jù)的峰谷值、脈沖寬度、平均值等特征指標(biāo)來評價(jià)其動態(tài)計(jì)量性能。

2.3 頻域評價(jià)方法

以典型二階系統(tǒng)為例，無論是時域評價(jià)方法還是頻域評價(jià)方法，關(guān)注的重點(diǎn)均為被校準(zhǔn)儀表輸出響應(yīng)的快速性和穩(wěn)定性。區(qū)別于時域評價(jià)方法，常用頻率特性中的穿越頻率ωc來反映系統(tǒng)的快速性，用相位裕量γ來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

令s=jω，根據(jù)式（8）可知，被校準(zhǔn)儀表的幅頻特性A(ω)可表示為

相頻特性φ(ω)為

1）相位裕量

將穿越頻率ωc代入式（16）并令A(yù)（ωc）=1，即可得到相位裕度γ為

對于典型二階系統(tǒng)，相位裕量γ只與系統(tǒng)的阻尼比ξ有關(guān)，具體地，當(dāng)ξ越大則γ越大，被校準(zhǔn)儀表的平穩(wěn)性及相對穩(wěn)定性越高，如圖10所示。

圖10 典型二階系統(tǒng)幅頻特性曲線Fig.10 Amplitude-frequency characteristic curves of typical second-order systems

2）穿越頻率

將時域分析中的調(diào)節(jié)時間ts，令誤差帶Δ=±5%，則可得到ts與穿越頻率ωc之間滿足

由此可知，調(diào)節(jié)時間ts，ωc與γ之間滿足函數(shù)關(guān)系。具體地，在相位裕度γ不變時，穿越頻率ωc越大，調(diào)節(jié)時間ts越短，被校準(zhǔn)傳感器及系統(tǒng)的響應(yīng)越快。

另外，在進(jìn)行典型高階測試系統(tǒng)的頻域特性評價(jià)時，諧振頻率和阻尼比系數(shù)也常常被用于判斷其系統(tǒng)的跟隨性能及穩(wěn)定性能。由于二者均可與相位裕量、穿越頻率建立算法轉(zhuǎn)換聯(lián)系，因此在功能原理上類似，在此不再贅述。

3 測量不確定度評定

測量不確定度是一個體現(xiàn)測量值分散性的參數(shù)，它由基于概率論和統(tǒng)計(jì)理論的A類評定和基于先驗(yàn)知識的B類評定得到，是兩類傳統(tǒng)評定方法。

3.1 兩類傳統(tǒng)評定方法

3.1.1 A類評定方法

假設(shè)某被測量x，在相同測量條件下獨(dú)立重復(fù)測量n次，觀測值為xi（i=1，2，…，n），任意一次測量值xk的A 類標(biāo)準(zhǔn)不確定度用其實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s（xk）表示，因此，采用統(tǒng)計(jì)分析的方法求得的標(biāo)準(zhǔn)差即為A 類評定方法，以貝塞爾公式法為例，標(biāo)準(zhǔn)差為

除此之外，標(biāo)準(zhǔn)差還可采用極差法、最大殘差法、最大方差法、彼特斯法等進(jìn)行求解。

3.1.2 B類評定方法

該方法是基于信任度的主觀概率方法。當(dāng)輸入量Xi的估計(jì)值xi不由重復(fù)觀測得到時，估計(jì)方差或標(biāo)準(zhǔn)不確定度可根據(jù)Xi的可能變化的全部有關(guān)信息的判斷來評定，這些信息來源可能包含：以前的測量數(shù)據(jù)、對有關(guān)材料和儀器特性的了解、生產(chǎn)廠提供的技術(shù)說明書、校準(zhǔn)證書或其他證書提供的數(shù)據(jù)、手冊給出的參考數(shù)據(jù)的不確定度、規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限r(nóng)或復(fù)現(xiàn)性限R。

在動態(tài)力校準(zhǔn)過程中，誤差主要來源于各個觀測值。其中，沖擊力校準(zhǔn)裝置主要測量誤差源包括有效碰撞質(zhì)量的測量誤差、激光光軸與運(yùn)動方向的夾角誤差、激光干涉儀的測量誤差、落錘的加速度分布不均勻引入的誤差、落錘的橫向偏擺引入的誤差、二次儀表誤差和重復(fù)性測量誤差等；正弦力校準(zhǔn)裝置的測量誤差主要來源于等效質(zhì)量的測量誤差、激光光軸與運(yùn)動方向的夾角誤差、激光干涉儀的測量誤差、質(zhì)量塊的加速度分布不均勻引入的誤差、激振器的橫向偏擺引入的誤差、激振器波形失真和重復(fù)性測量誤差等。其中，重復(fù)性測量誤差可采用A 類評定方法求解標(biāo)準(zhǔn)差，其他誤差來源可采用B類評定方法求解標(biāo)準(zhǔn)差。

3.2 蒙特卡洛法

傳統(tǒng)評定方法僅適用于高斯分布模型，當(dāng)測量模型具有偏導(dǎo)、積分等復(fù)雜函數(shù)時，測量不確定度的傳統(tǒng)評定方法很難解決。為此，ISO/IEC Guide 98-3系列標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了蒙特卡洛法評定測量不確定度的實(shí)施步驟。

已知測量模型為Y=f（X），抽樣樣本X=（x1，x2，…，xN），其概率分布函數(shù)為px(ξ)，對應(yīng)輸出模型樣本為Y=（y1，y2，…，yN），對應(yīng)的概率分布函數(shù)為py(ξ)。蒙特卡洛法的具體步驟如下：

1）選擇蒙特卡洛仿真試驗(yàn)次數(shù)

蒙特卡洛仿真試驗(yàn)次數(shù)M決定輸出量的樣本容量。M值越大，樣本容量越大，越接近于輸出量的真實(shí)情況。通常M的取值使包含區(qū)間達(dá)到95%及以上為宜。

2）確定輸入樣本的概率密度函數(shù)

蒙特卡洛法的評定結(jié)果依賴于測量模型，因此各輸入量的概率密度函數(shù)是評定結(jié)果的約束。由于各輸入量的概率密度函數(shù)依賴于數(shù)據(jù)本身規(guī)律，因此可以通過直接法、貝葉斯法、最大熵原理等統(tǒng)計(jì)分析方法來設(shè)定X的概率密度函數(shù)。

3）輸入樣本的概率密度函數(shù)抽樣

根據(jù)上述概率密度函數(shù)，對輸入樣本X進(jìn)行M次隨機(jī)抽樣，得到M×N維輸入樣本的偽隨機(jī)數(shù)矩陣VM×N。

4）輸出樣本值的計(jì)算

將上述矩陣VM×N代入測量模型Y=f（X）中，即可得到對應(yīng)的M組輸出量WM×N。

5）輸出評定結(jié)果

根據(jù)輸出量Y的抽樣WM×N，計(jì)算輸出量Y的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差，其中數(shù)學(xué)期望即為Y的估計(jì)值，標(biāo)準(zhǔn)差即為標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度；通過分布函數(shù)py(ξ)得到Y(jié)的包含區(qū)間和置信概率。

3.3 其他評定方法

由于傳統(tǒng)評定方法依據(jù)大數(shù)定律和中心極限定理，當(dāng)先驗(yàn)信息缺乏或測量數(shù)據(jù)為小樣本量時，GUM 因缺乏理論基礎(chǔ)會出現(xiàn)評估偏差和置信度下降的問題。為此，依據(jù)先驗(yàn)知識的貝葉斯理論、灰模型法及自助法等非統(tǒng)計(jì)分析方法被用于測量不確定度的評定上。

3.3.1 貝葉斯理論方法

設(shè)測量模型的參數(shù)為θ，測量數(shù)據(jù)樣本集為X=（x1，x2，…，xN），該樣本的似然函數(shù)為L（x|θ），采用貝葉斯理論可計(jì)算后驗(yàn)分布，即

由此即可確定后驗(yàn)分布的概率密度函數(shù)，測量結(jié)果取n次測量數(shù)據(jù)的平均值μ，將后驗(yàn)分布密度函數(shù)的數(shù)學(xué)期望表示最佳估計(jì)值μ?，其標(biāo)準(zhǔn)差表示標(biāo)準(zhǔn)不確定度u，即

由此即可實(shí)現(xiàn)測量不確定度的評定。

3.3.2 灰模型法

設(shè)被測量重復(fù)測量n次，測量數(shù)據(jù)為X=(x(k)|k= 1，2，…，n)，首先，將數(shù)據(jù)序列X按升序的方式排列成序列X（0），利用灰色模型將X（0）一次累加生成（1-AGO）得到新序列X（1），即

同時，定義

對式（28）取最大值Δmax，表示測量序列累加曲線與X（0）極值連線之間的偏差最大值，即

若用單次測量值xi作為測量結(jié)果，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以表示為

式中：c為灰度系數(shù)，由灰色GM（0，N）模型求得。

由此可以看出，貝葉斯法側(cè)重于建立后驗(yàn)分布規(guī)律，灰模型法側(cè)重于小樣本數(shù)據(jù)的挖掘，這兩種方法都旨在解決數(shù)據(jù)規(guī)律未知情況下的不確定度評價(jià)。但鑒于這類新方法在適用場合上的特殊性和對數(shù)據(jù)的二次加工處理，通常只會作為兩類傳統(tǒng)評定方法和MCM方法的補(bǔ)充。

3.4 不確定度合成與表示方法

根據(jù)測量模型Y=f（X），測量的估計(jì)值y?為

根據(jù)上述方法求得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，被測量估計(jì)值的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc（y）表示為

式中：xi為X的估計(jì)值；u（xi）為估計(jì)值xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；?f/?xi為y與xi之間的相關(guān)系數(shù)。當(dāng)確定了各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u（xi）的自由度vi，即可利用式（33）計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度v，即

為了保證擴(kuò)展不確定度是被測量可能值包含區(qū)間的半寬度，擴(kuò)展不確定度U由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc乘以包含因子k得到，即

測量不確定度的表示方式有很多，最為常見的有以下兩種情況：

1）當(dāng)不確定度用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示時，表示形式為

2）當(dāng)不確定度用擴(kuò)展不確定度表示時，表示形式為

通過上述過程，即可實(shí)現(xiàn)測量不確定度的評價(jià)。

4 結(jié)論

系統(tǒng)性地綜述了動態(tài)力計(jì)量的建模和分析方法，探討了激勵源、參數(shù)建模、數(shù)據(jù)評價(jià)、測量不確定度評定等計(jì)量基礎(chǔ)理論在實(shí)際計(jì)量工程案例中的應(yīng)用。針對動態(tài)力校準(zhǔn)過程中標(biāo)準(zhǔn)激勵發(fā)生方式，探討了各類激勵信號源的原理、數(shù)學(xué)表示形式，簡要介紹了不同量值溯源中的激勵裝置。針對被校準(zhǔn)儀表的黑白箱模型，以動態(tài)力校準(zhǔn)為例，分別介紹了基于物理環(huán)節(jié)的微分-傳遞函數(shù)建模方法和基于卷積、歸一化、聚類、模態(tài)分解或正則化等信號處理的參數(shù)辨識方法。建立動態(tài)力校準(zhǔn)模型的時域評價(jià)體系和頻域評價(jià)體系，實(shí)現(xiàn)動態(tài)力校準(zhǔn)模型的動態(tài)性、跟隨性和穩(wěn)定性的綜合評價(jià)；系統(tǒng)地建立了動態(tài)力校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的測量不確定度評價(jià)方法體系，實(shí)現(xiàn)測量數(shù)據(jù)的可溯源。