怎樣求平面直角坐標系內(nèi)三角形的面積

曹翁云

在平面直角坐標系中求三角形的面積，一般要根據(jù)三角形各頂點的坐標，確定圖形的邊長和高，進而利用面積公式求得.但根據(jù)三角形的三邊與坐標軸的位置關系不同，求解面積的方法也有所區(qū)別.下面介紹三角形的三邊在平面直角坐標系中不同情況下三角形面積的求法，以供大家參考.

一、求一邊在坐標軸上的三角形的面積

當三角形有一邊在x軸（或y軸）上時，一般以x軸（或y軸）上的邊為底邊，其長等于x軸（或y軸）上兩個頂點橫坐標（或縱坐標）差的絕對值，這邊上的高就等于另一個頂點縱坐標（或橫坐標）的絕對值，然后直接利用三角形的面積公式求解.

例1如圖1，三角形ABC的三個頂點的坐標分別是A（4，0），B（-2，0），C（2，4），求三角形ABC的面積.

分析：要求三角形的面積，需要分別求出其底邊及高.由圖1可知，三角形ABC的邊AB在x軸上，容易求得AB的長，而AB邊上的高，恰好是C點到x軸的距離，也就是C點的縱坐標的絕對值.

解：∵A（4，0），B（-2，0），∴AB=4-（-2）=6.

∵C（2，4），∴C點到x軸的距離，即AB邊上的高為4，

點評：當三角形的兩個頂點同時在x軸（或y軸）上時，求面積的關鍵就是求出三角形的高.這個距離就等于這個點的縱坐標（或橫坐標）的絕對值.

二、求一邊平行于坐標軸的三角形的面積

當三角形中有一條邊與坐標軸平行時，我們解題的思路與例1相似，選擇平行于坐標軸的線段作為底，這條邊的長等于兩個頂點橫坐標（平行橫軸）或縱坐標（平行縱軸）的差的絕對值；這條邊上的高則等于平行于坐標軸的邊與第三個點的距離.

例2如圖2，已知A（-3，-2），B（3，-2），C（-2，2），求△ABC的面積.

分析：由于A、B兩點的縱坐標都是-2，所以線段AB平行于x軸，因此，我們以AB為三角形的底邊，過點C作CD⊥AB，垂足為D，再根據(jù)坐標的意義分別求出AB的長和AB邊上的高CD的長，即可求出這個三角形的面積.

解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，如圖2.

∵A（-3，-2），B（3，-2），∴AB=3+3=6 .

又∵C（-2，2），

∴點C到AB的距離為2+2=4，即AB邊上的高CD的長為4.

例3如圖3，三角形ABC三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面積.

分析：由A（4，1），B（4，5）兩點的橫坐標相同，可知邊AB與y軸平行，因而易求AB的長度.作AB邊上的高CD，則D點的橫坐標與A點的橫坐標相同，也是4，這樣就可求得線段CD的長，進而可求得三角形ABC的面積.

解：∵A，B兩點的橫坐標相同，

∴邊AB∥y軸，∴AB=5-1=4.

作AB邊上的高CD，則D點的橫坐標為4，

∴CD=4-（-1）=5，

點評：這兩類題目都是最基礎的求三角形面積問題，都可以直接利用三角形的面積公式求解.求底時一般選擇位于坐標軸上或平行于坐標軸的線段，利用兩點的縱坐標之差或橫坐標之差得出邊長，關鍵點在于找到底邊對應的高.

三、求直角坐標系中任意三角形的面積

如果三角形三邊均不平行于坐標軸，無法直接求邊長和高，我們通常采用割補法.用平行于坐標軸的直線將三角形割補成“橫平豎直”的基本圖形，或?qū)⑷切窝a為長方形、直角梯形，運用求差法計算三角形的面積；或?qū)⑷切畏指畛蓭讉€小直角三角形，運用求和法求得原三角形的面積.

例4在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），求△ABC的面積.

分析：本題所求三角形的面積不易直接計算，可運用分割法或形補法將三角形轉(zhuǎn)化為其他易于求解的圖形，通過求有關圖形面積的和或差求得原三角形的面積.

解法1：形補法.

如圖4，分別過B、C作y軸的垂線，再分別過A、C作x軸的垂線，組成矩形EFCR，

∵A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），

∴EH=FQ=3，EM=RN=3，F(xiàn)M=CN=3，RH=CQ=2，AM=1，

∴EA=3+1=4，RE=3+1=4，BR=2- 1=1，RC=3+3=6，CF=2+3=5，

點評：由于平面直角坐標系的特殊性，水平線段和豎直線段的長度比較容易計算.當所求三角形的面積不易直接計算時，就可以利用割補法得到各種基本圖形的面積來進行和差計算.