合理設(shè)線 優(yōu)化計(jì)算

鄭國贊

直線與圓錐曲線的綜合問題在各類考試中多以高難題、壓軸題形式出現(xiàn)，主要考查位置關(guān)系、弦長、定值與定點(diǎn)、最值與范圍等問題，對數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及分析與解決問題的能力要求較高，縱觀近幾年的浙江高考數(shù)學(xué)卷中的此類問題，均涉及到了直線與拋物線的問題，可謂文風(fēng)不變，一脈相承，本文將從2020年高考浙江卷第21題入手，談?wù)劥祟悊栴}的解決方法及其拓展.

1 問題呈現(xiàn)

（2020年高考浙江卷.21）如圖1，己知橢圓C1：X +y2 =1，拋物線C2：y2=2px（p>0），點(diǎn)A是橢圓C1與拋物線C的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交橢圓C于點(diǎn)B，交拋物線于M（M，B不同于A）.

（1）略.

（2）若存在不過原點(diǎn)的直線，使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值，

分析本題涉及到直線與橢圓、直線與拋物線的關(guān)系，顯然要引入直線，方程，考慮到拋物線的方程形式，直線，選擇x=my+n的方程形式，解題思路即根據(jù)己知條件列出參變量m，n，p的關(guān)系，消元后再構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，最終求出參數(shù)p的最值.

2 探究分析

實(shí)際上，對于拋物線y2= 2px（p>0）與直線的問題，直線方程通常設(shè)為y= kx +b，或者x=my+n，這兩種形式均引入了兩個(gè)參變量k，b或m，n，相對而言，第二種設(shè)法優(yōu)于第一種設(shè)法，它避免了代入時(shí)平方的運(yùn)算.除了上述兩種形式的直線設(shè)法之外，其實(shí)還有如下的方程形式，

評注這種直線方程的形式也是引入了兩個(gè)參變量y1，y2，且這兩個(gè)參變量有著顯著的幾何特征即兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，我們也可以把y1+y2與y1，y2視為兩個(gè)整體，亦相當(dāng)于引入兩個(gè)參變量，

由上述性質(zhì)1，2020年高考浙江卷第21題還可作如下分析解答：

評注解法3充分利用幾何性質(zhì)，無需設(shè)直線方程代入圓錐曲線，解法顯得簡潔明了，

除了上述的幾種解法之外，本題還可利用直線與橢圓相交時(shí)的一個(gè)性質(zhì)進(jìn)行分析，即KOM KAB=e2一l（e為橢圓的離心率），具體解法與解法3中的KOM KAM=一1相同，本文不展開敘述.

由上述可知，直線與拋物線的問題思維要求高，計(jì)算量大，當(dāng)問題中含一個(gè)或多個(gè)參數(shù)時(shí)，對數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)就要求更高，教師在此類問題的教學(xué)過程中應(yīng)對每一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算的算理（為什么能這樣算，計(jì)算的依據(jù)）、算法（如何算，計(jì)算的步驟或程序）、算力（計(jì)算的功力，最終算出正確的結(jié)果）[2]進(jìn)行分析，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識運(yùn)算的目的性，設(shè)計(jì)合理的計(jì)算程序，訓(xùn)練代數(shù)式及多參數(shù)計(jì)算與轉(zhuǎn)化的能力，培養(yǎng)學(xué)生選擇簡捷運(yùn)算途徑的意識和習(xí)慣，只有這樣才能提高教學(xué)的有效性與針對性，

參考文獻(xiàn)

[1]姚良玲.一個(gè)優(yōu)美結(jié)論的再推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（7）：54-55

[2]陸建根.數(shù)學(xué)運(yùn)算，算法從哪里來[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（7）：23