基于反饋線性化解耦的直驅(qū)H型平臺(tái)滑模輪廓控制

魏惠芳， 王麗梅， 張 康

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 沈陽 110870)

由永磁直線同步電機(jī)(PMLSM)驅(qū)動(dòng)的H型平臺(tái)可以在平面實(shí)現(xiàn)二維高頻運(yùn)動(dòng)，廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床、精密測(cè)量和激光打印行業(yè)中[1-2].但直驅(qū)H型平臺(tái)三軸之間的機(jī)械耦合會(huì)影響輪廓控制精度[3]，此外，在實(shí)際工作中，橫梁上工作臺(tái)頻繁加減速運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能造成影響，從而增加系統(tǒng)機(jī)械耦合程度，大大降低控制精度[4].為提高直驅(qū)H型平臺(tái)的輪廓控制精度，需要采用合理的解耦控制策略解決機(jī)械耦合問題，同時(shí)選用具有強(qiáng)魯棒性的控制器抑制不確定性問題，從而實(shí)現(xiàn)平臺(tái)的精密控制.

為提高直驅(qū)H型平臺(tái)跟蹤精度，Chen等[5]提出軸間協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)與冗余執(zhí)行器同步相結(jié)合的輪廓控制方法.該方法在輪廓誤差計(jì)算中引入轉(zhuǎn)角進(jìn)行了相應(yīng)的修正，提高輪廓跟蹤性能，但該方法在建立動(dòng)力學(xué)模型時(shí)進(jìn)行了近似估計(jì)，僅適合轉(zhuǎn)角較小的情況[6].王麗梅等[7]針對(duì)直驅(qū)H型平臺(tái)直線電機(jī)參數(shù)變化和擾動(dòng)等不確定因素的影響，建立了含不確定集的直驅(qū)H型平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型，然后在此模型基礎(chǔ)上提出了交叉耦合模糊PID控制方法，從而提高了系統(tǒng)的跟蹤性和魯棒性，但該方法在建立模型過程中忽略了機(jī)械耦合的影響.

針對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)機(jī)械耦合對(duì)輪廓控制的影響，一些學(xué)者通過解耦輪廓誤差模型進(jìn)行控制.Chen等[8]通過將輪廓誤差解耦成切線誤差和等效輪廓誤差進(jìn)行控制，能夠克服跟蹤精度不高對(duì)輪廓控制的影響.為解決由于輪廓誤差累積，系統(tǒng)出現(xiàn)收斂速度降低甚至發(fā)散這一問題，王麗梅等[9]提出一種與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法相結(jié)合的交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制方法.該方法首先通過設(shè)計(jì)交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制降低輪廓誤差，然后利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)學(xué)習(xí)算法分解控制過程中的輪廓誤差，提高系統(tǒng)收斂速度和輪廓精度.

為解決多輸入、多輸出系統(tǒng)耦合程度高、難控制的問題，肖友剛等[10]利用線性擴(kuò)張觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)的耦合部分、非線性部分及擾動(dòng)部分進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)各環(huán)節(jié)的自解耦，但其對(duì)整體系統(tǒng)缺乏宏觀的解耦控制.許偉[11]將反饋線性化控制策略應(yīng)用到永磁同步電動(dòng)機(jī)這一強(qiáng)耦合、非線性的系統(tǒng)中，獲得精確的控制性能.屈高敏等[12]將反饋線性化解耦理論應(yīng)用到無人機(jī)姿態(tài)控制系統(tǒng)中，很好地實(shí)現(xiàn)了各自由度之間的解耦，并保證了系統(tǒng)的響應(yīng)速度.雖然反饋線性化解耦在精密控制上有一系列的成果，但其對(duì)于直驅(qū)H型平臺(tái)應(yīng)用成果卻相對(duì)較少.

為解決直驅(qū)H型平臺(tái)的機(jī)械耦合問題，提高輪廓控制精度，本文設(shè)計(jì)了基于反饋線性化解耦的輪廓控制算法.采用反饋線性化理論設(shè)計(jì)解耦控制律，將耦合動(dòng)力學(xué)模型分解為獨(dú)立的單輸入單輸出系統(tǒng).設(shè)計(jì)了滑?？刂破骺朔到y(tǒng)干擾和未建模動(dòng)態(tài)等不確定性的影響，進(jìn)一步提高解耦模型的魯棒性和輪廓跟蹤性能.

1 直驅(qū)H型平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

直驅(qū)H型平臺(tái)集總參數(shù)模型如圖1所示.其中，y1、y2為平行軸的實(shí)際位置，la為橫梁長(zhǎng)度，θ為橫梁與水平位置夾角，x1為工作臺(tái)到橫梁中點(diǎn)的距離(此處忽略了扭轉(zhuǎn)引起的橫梁的水平誤差)，ma為橫梁質(zhì)量(包括y軸電機(jī)動(dòng)子)，me為x軸滑動(dòng)塊質(zhì)量，d為滑動(dòng)塊到橫梁中心線的垂直距離，Ja和Je分別為橫梁和滑動(dòng)塊質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)慣量，le為橫梁上滑動(dòng)塊的長(zhǎng)度.k1和k2為扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)，μgx、μg1和μg2為x軸、y1和y2軸的粘滯摩擦系數(shù)，cx、c1和c2為x軸、y1和y2軸的庫(kù)倫摩擦系數(shù).

圖1 直驅(qū)H型平臺(tái)集總參數(shù)模型Fig.1 Lumped-parameter model of direct drive H-type platform

定義q=[x1，y1，θ]，則直驅(qū)H型平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型[13]可表示為

(1)

式中：M為慣性矩陣；B為摩擦力系數(shù)矩陣；K為剛度矩陣；D為前饋余項(xiàng)；Q為相對(duì)廣義力矩陣.各項(xiàng)分別表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Qem為在各個(gè)自由度上的驅(qū)動(dòng)力；Qd為在各自由度上的阻力；Sf(·)為近似于sgn(·)的連續(xù)函數(shù).

根據(jù)式(1)可以看出，直驅(qū)H型平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型中的質(zhì)量矩陣為非對(duì)角矩陣，因此，直驅(qū)H型平臺(tái)各個(gè)自由度之間存在動(dòng)力學(xué)耦合現(xiàn)象.工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中，各軸之間相互作用，影響輪廓控制性能.

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 反饋線性化解耦理論

為確保系統(tǒng)完全解耦，需使系統(tǒng)每一個(gè)輸出被一個(gè)輸入單獨(dú)控制.一般情況下，多輸入多輸出非線性系統(tǒng)[14]可描述為

(7)

式中：X∈R2n為狀態(tài)向量；u∈Rn為控制向量；Y∈Rn為輸出向量；f(·)∈R2n、h(·)∈Rn×2n、g(·)∈R2n×n為X的函數(shù)，其中，n為伺服系統(tǒng)的自由度.

根據(jù)李導(dǎo)數(shù)定義，引入李導(dǎo)數(shù)算子L.對(duì)于平衡點(diǎn)X0，該非線性系統(tǒng)具有相對(duì)階Oi，如果存在：對(duì)所有X(X屬于X0的一個(gè)鄰域)以及i，j∈n，k

(8)

且n×n矩陣P(X)在平衡點(diǎn)X0處非奇異，P(X)可表示為

(9)

則系統(tǒng)在控制律u(X)=-P-1(X)b(X)+P-1(X)v的作用下可解耦為基于控制律v的線性系統(tǒng)，v=[v1，v2，v3]T為滑?？刂破鬏敵觯?/p>

(10)

2.2 直驅(qū)H型平臺(tái)反饋線性化解耦

通過式(1)和(6)可知

(11)

f(X)=[X2，f1(X)X4，f2(X)X6，f3(X)]T

(12)

(13)

式中：f1(X)，f2(X)，f3(X)為x1，y1，θ的耦合函數(shù)，則系統(tǒng)輸出表示為

Y=[x1，y1，θ]T

(14)

由式(11)可將式(12)、(13)進(jìn)一步表示為

(15)

(16)

由于Lg1h2(X)，Lg1h3(X)，…，Lg3h3(X)，Lg3h1(X)皆為零，滿足

(17)

同理，Lfh2=X3，Lfh3=X6，則

M-1

(18)

由于P(X)為非奇異矩陣，可知該系統(tǒng)的相對(duì)階Oi=2，則

Z(X)=P-1(X)=

(19)

(20)

令

(21)

由式(19)～(21)可知解耦控制律的表達(dá)式為

(22)

由式(22)可以看出，多輸入多輸出的耦合系統(tǒng)通過反饋線性化理論將耦合動(dòng)力學(xué)模型分解為獨(dú)立的單輸入單輸出系統(tǒng)，避免了H型平臺(tái)運(yùn)行過程中各自由度之間存在耦合而影響輪廓控制精度.

2.3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

由于解耦后的系統(tǒng)存在參數(shù)變化、外部擾動(dòng)等不確定項(xiàng)，因此算法必須具備較強(qiáng)魯棒性.滑模控制對(duì)外部擾動(dòng)和系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)具有強(qiáng)魯棒性，有助于減弱反饋線性化控制策略對(duì)精確參數(shù)的依賴性.本文在控制器設(shè)計(jì)上采用滑模控制策略，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒控制.選取線性滑模面為

(23)

式中：e1=xd-x為x軸跟蹤誤差；e2=yd-y為y軸跟蹤誤差；e3=θd-θ為橫梁與水平之間夾角的誤差；k11、k12、k21、k22、k31、k32為正常數(shù)；xd、yd、θd為參考輸入信號(hào).

(24)

根據(jù)特定的趨近律來設(shè)計(jì)滑?？刂?，既能減小抖振又能保持系統(tǒng)的魯棒性，本文采用指數(shù)趨近律vs進(jìn)行設(shè)計(jì)，可得

(25)

式中：ε1、ε2、ε3和η1、η2、η3均為正常數(shù)；sgn為符號(hào)函數(shù).

s1[-ε1sgn(s1)-η1s1]=

(26)

直驅(qū)H型平臺(tái)反饋線性化滑模解耦控制系統(tǒng)框圖如圖2所示，虛框內(nèi)為平臺(tái)解耦后線性系統(tǒng).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)及參數(shù)

本文實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖3所示，主要由上位機(jī)、多軸直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)控制箱及多軸運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)構(gòu)成.實(shí)驗(yàn)平臺(tái)及控制器參數(shù)如表1、2所示.實(shí)驗(yàn)中控制器參數(shù)均是經(jīng)過多次調(diào)試選取而得，以保證系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)性能.

3.2 實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證基于反饋線性化解耦滑模輪廓控制算法的可行性和有效性，針對(duì)本文提出的解耦控制方法，分別采用PID控制策略及滑?？刂撇呗詫?duì)解耦前后系統(tǒng)性能進(jìn)行分析.

圖2 反饋線性化滑模解耦控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of feedback linear sliding mode decoupling control

表2 控制器參數(shù)Tab.2 Parameters of controller

3.2.1 單軸跟蹤精度對(duì)比

直驅(qū)H平臺(tái)給定輸入信號(hào)為r1=20sin(2πt) mm，r2=20cos(2πt) mm，即給定輸入軌跡為圓形軌跡.

實(shí)驗(yàn)1：在空載條件下進(jìn)行單軸的軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn).基于PID控制器的位置跟蹤響應(yīng)曲線如圖4所示.系統(tǒng)解耦前的位置跟蹤誤差大約在-12.2～12.5 μm，解耦后的誤差有所減小，大約為-4.8～4.8 μm.這表明在空載狀態(tài)下，本文采用的解耦算法可行有效，將跟蹤誤差減小了58.33%，保證了直驅(qū)H平臺(tái)單軸電機(jī)的位置跟蹤精度，明顯提高跟蹤性能.

圖4 基于PID控制器的y軸電機(jī)位置響應(yīng)曲線Fig.4 Position response curve of y-axis motor based on PID controller

實(shí)驗(yàn)2：由于系統(tǒng)存在參數(shù)變化、外部擾動(dòng)等不確定項(xiàng)的影響，需要控制器具有較強(qiáng)的魯棒性.在3 s時(shí)對(duì)系統(tǒng)突加50 N的負(fù)載擾動(dòng)，基于滑?？刂频膯屋S電機(jī)位置響應(yīng)曲線如圖5所示.在突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，解耦前的位置跟蹤誤差約為7.8 μm，而解耦后的誤差約為4.2 μm，且在更短的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定，具有較快的響應(yīng)速度.對(duì)比圖4、5兩種方法下的位置跟蹤誤差響應(yīng)曲線可以看出，盡管存在負(fù)載擾動(dòng)，滑?？刂葡碌南到y(tǒng)仍然具有較小的跟蹤誤差，且解耦后的系統(tǒng)跟蹤精度較高.這表明本方法不但可以保證系統(tǒng)單軸跟蹤精度，還對(duì)不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性.

圖5 基于滑?？刂频膟軸電機(jī)位置響應(yīng)曲線Fig.5 Position response curve of y-axis motor based on sliding mode control

3.2.2 輪廓誤差對(duì)比

為驗(yàn)證解耦后系統(tǒng)的輪廓跟蹤精度，在實(shí)驗(yàn)2所述的情況下，解耦前后基于滑模控制的H型平臺(tái)輪廓誤差曲線如圖6所示.系統(tǒng)解耦前的輪廓誤差約為-1.3～2.1 μm，而在解耦后系統(tǒng)輪廓誤差約為-0.7～0.9 μm，相比于解耦前的系統(tǒng)，輪廓跟蹤精度大大提高.

圖6 基于滑?？刂频腍型平臺(tái)輪廓誤差曲線Fig.6 Contour error curve of H-type platform based on sliding mode control

此外，將本文設(shè)計(jì)的輪廓控制方法與文獻(xiàn)[7]的交叉耦合迭代學(xué)習(xí)輪廓控制方法進(jìn)行對(duì)比.在相同的輸入信號(hào)下，交叉耦合迭代學(xué)習(xí)輪廓控制的輪廓誤差曲線如圖7所示.從圖7可以看出，該方法控制下的直驅(qū)H型平臺(tái)輪廓跟蹤誤差大約在-1.3～1.5 μm之間波動(dòng)，同圖6b相比，輪廓誤差稍大.這表明，對(duì)直驅(qū)H型平臺(tái)進(jìn)行反饋線性化解耦可以很好地改善輪廓跟蹤精度.

圖7 基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制的H型平臺(tái)輪廓誤差曲線

4 結(jié) 論

本文針對(duì)多輸入多輸出直驅(qū)H型平臺(tái)的輪廓控制問題，設(shè)計(jì)了基于動(dòng)力學(xué)耦合模型的反饋線性化解耦控制器；同時(shí)，利用滑模控制解決系統(tǒng)存在的外部擾動(dòng)等不確定影響，保證系統(tǒng)的魯棒性.通過實(shí)驗(yàn)表明，基于反饋線性化解耦的直驅(qū)H型平臺(tái)滑模輪廓控制方法可以有效解決機(jī)械耦合問題，克服不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響，進(jìn)而提高了系統(tǒng)的輪廓跟蹤精度和魯棒性.