例談證明不等式的幾種思路

彭慧

不等式證明題的解法多種多樣.證明不等式的常用方法有：比較法、分析法、綜合法、反證法、導(dǎo)數(shù)法等.本文以一道題為例，談一談證明不等式的幾種思路，以幫助同學(xué)們拓寬解題的思路.

例題：已知 a >0，b >0，證明：? +? ≥ a +b .

題目中的已知條件較為簡單，我們需從目標(biāo)不等式入手，對其進行合理的變形、構(gòu)造，靈活運用相關(guān)的公式、定理、性質(zhì)來證明結(jié)論.主要有以下幾種方法.

一、將不等式兩邊的式子作差

運用作差法證明不等式，首先將不等式兩邊的式子作差，再將差式變形，通過通分、分解因式、配湊完全平方式等方式，將差式變形為易于判斷符號的式子，再將差式與0 比較.若 a -b >0，則 a >b ;若 a -b <0，則 a <b .對于本題，可將不等式左右兩邊的式子作差，通過分解因式證明差式大于或等于0，即可證明不等式成立.

證明：由? +? ≥ a +b，得? +?? -a +b=a +b，

因為 a >0且 b >0，所以a +b≥0，所以? +? ≥ a +b 成立.

二、將不等式兩邊的式子作商

運用作商法證明不等式的步驟是：①將不等式兩邊的式子作商→②將不等式變形→③判斷商式與1的大小關(guān)系→④得出結(jié)論.當(dāng) b >0時， a >b?> 1; a <b ?<1.

證明：

一般來說，只有在所要證明的不等式兩邊的符號相同時，才能用作商法來證明不等式成立.

三、采用分析法

運用分析法證明不等式，需從所要證明的不等式出發(fā)，利用相關(guān)的定理、公式、定義等，逐步進行推理，直到找出使結(jié)論成立的充分條件，就可以證明不等式成立.一般采用“要證--即證--需證--則證”的格式解題.

證明：要證? + ≥ a +b 成立，

即證? +? ≥ a +b，需證a3+b3≥ aba +b，需證a +ba2-ab + b2≥ aba + b，則需證a2+ b2≥ 2ab .

因為 a >0，b >0，a2+b2≥ 2ab，

因此? +? ≥ a +b 成立.

我們由所要證明的不等式出發(fā)，將其通分、移項，運用立方和公式、基本不等式以及放縮法，最后證明結(jié)論.

四、運用綜合法

運用綜合法證明不等式，需從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論.在運用綜合法證明不等式時，需仔細(xì)分析已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓健⒍ɡ?、性質(zhì)等進行求證.對于本題，需將所證不等式看作是一個整體，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式對其進行合理的變形，從而證明結(jié)論.

證明：已知 a >0，b >0，

則 則? +b +&nbsp;? +a ≥ 2a +2b，

因此， +? ≥ a +b 成立.

五、利用反證法

運用反證法證明不等式，需先假設(shè)所要求證的不等式不成立，再以這個假設(shè)為依據(jù)，利用已知條件進行推理，得到一個與已知條件、公理、定義、定理、法則和公式等相矛盾的結(jié)論，便可說明假設(shè)不成立，從而證明原不等式成立.

證明：假設(shè)? +? <a +b，

因為 a >0，b >0，

所以? +? <a + b，則a3+ b3<aba + b，則a + b

a2- ab + b2<aba + b，則a2- ab + b2< ab，則a2+ b2< 2ab.

這個結(jié)論與 a2+b2≥2ab 相矛盾，因此該假設(shè)不

成立.因此， +? ≥ a +b 成立.

在證明不等式的過程中，我們可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇不同的方法進行證明.當(dāng)不等式為多項式、分式時，可采用作差法;當(dāng)不等式為冪指數(shù)或分式時，可使用作商法;若不等式為對稱式，可使用綜合法;若不等式為根式或者分式，可使用分析法;若從正面求證受阻時，可采用反證法.

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江中學(xué)）