選擇合適的方法，求圓錐曲線中三角形的面積

劉喜蘭

圓錐曲線中的三角形面積問題具有較強(qiáng)的綜合性.解答此類問題，需要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)、三角形的面積公式、弦長公式等.求解圓錐曲線中三角形面積問題主要有三種方法：公式法、割補(bǔ)法、利用正余弦定理等.下面，結(jié)合例題來探討一下這三種方法.

一、公式法

三角形的面積公式主要有兩種：（1）S = ×底 ×高;（2）S =2ab sinC .對于簡單的圓錐曲線中三角形的面積問題，可采用公式法求解，先求出三角形底邊所在直線的方程，然后運(yùn)用弦長公式求得三角形底邊的長，用點(diǎn)到直線的距離公式求得三角形頂點(diǎn)到底邊的距離，即可得到高線的長度，最后運(yùn)用三角形的面積公式S =1 ×底 ×高求解.

例1.過 P（0，2）的直線 l 與橢圓? +y2= 1相交于A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB 的面積為3，求直線 l 的方程.

解：

將 AB視為三角形的底邊、O 視為三角形的頂點(diǎn)，然后運(yùn)用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式分別求得△AOB 的底邊邊長和高，就能運(yùn)用公式法求得問題的答案.

二、割補(bǔ)法

割補(bǔ)法常常用于求解一些不規(guī)則圖形的面積問題.有些圓錐曲線中的三角形面積不易求得，此時可以采用分割法，將三角形分割為幾個便于計算面積的三角形、梯形、矩形、平行四邊形，再將幾個圖形的面積相加減，即可求得三角形的面積.

例2.已知過拋物線 y2=4x 焦點(diǎn) M 的直線 L 與拋物線交于 A，B 兩點(diǎn)，|AM|= 3，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB 的面積.

解：

在求三角形底邊的邊長時，除了要用到了弦長公式，還需運(yùn)用韋達(dá)定理.

三、利用正余弦定理

運(yùn)用正余弦定理能夠快速建立三角形的三邊、三角之間的關(guān)系.在求解圓錐曲線中的三角形面積問題時，可運(yùn)用正余弦定理求得三角形某個角的正弦值以及兩邊的長，這樣就可利用三角形的面積公式S = ab sinC，求得三角形的面積.

例3.已知 F1，F(xiàn)2是橢圓 x2 + y2= 1的兩個焦點(diǎn)，P 是橢圓上的一點(diǎn)，若∠F1PF2=? ，求△F1PF2的面積.

解：

求解焦點(diǎn)三角形的面積問題，可結(jié)合圓錐曲線的定義以及正余弦定理建立三角形的邊與角的關(guān)系式，再用公式 S = ab sinC求得面積.采用這種設(shè)而不求的方法解題，往往能極大地減少計算量.

相比較而言，公式法應(yīng)用的范圍較廣一些，另外兩種方法均有一定的局限性.同學(xué)們在解題時要根據(jù)題目的特點(diǎn)選用合適的方法求解，這樣就能盡可能地簡化運(yùn)算，減少計算量，提升解題的效率.

（作者單位：安徽省阜陽市臨泉第二中學(xué)）