在“求聯(lián)”中加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解
——以“用假設(shè)的策略解決問題”的教學(xué)為例

江蘇省南京致遠外國語小學(xué) 范韋莉

一、案例描述與分析

“解決問題的策略”是蘇教版數(shù)學(xué)教材富有特色的教學(xué)內(nèi)容，六年級上冊“解決問題的策略”重點關(guān)注的是假設(shè)策略。

假設(shè)是一種常用的分析和解決問題的策略，其本質(zhì)是當(dāng)某一變量因素的存在形式限定在有限種可能時，假設(shè)該因素處于某種情況，并以此為條件進行推理，從而得到問題的答案。

對于假設(shè)這一策略學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)是什么？對于這一策略的理解已經(jīng)達到什么程度？為此我們進行了學(xué)情調(diào)查，出示了以下兩個問題，讓學(xué)生獨立解決。

（1）小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（2）小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M，已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

在對收上的36份學(xué)情問卷進行分析后，我們發(fā)現(xiàn)第一個問題有30個學(xué)生都能順利完成，這說明學(xué)生在處理兩種未知量是幾分之一的關(guān)系時沒有太大問題。第二個問題，有18個學(xué)生解答完全正確，其中13人是通過列方程解決的，3人將小杯假設(shè)成大杯，2人將大杯假設(shè)成小杯；在剩下的18人中，有2人思路正確但計算錯誤，還有16人不知道如何解答。訪談中，學(xué)生表示，如果教師不教他們也可以獨立解決像例題那樣的問題，也能說出采用的就是假設(shè)的策略，但把兩種未知量的關(guān)系改編成幾分之幾后就不知道如何進行假設(shè)了。問題究竟出在哪兒呢？

仔細研讀教材，可以看到例題及練習(xí)中的數(shù)據(jù)都具有特殊性，即一種未知量是另一種未知量的幾分之一，若將幾分之一換成幾分之幾時學(xué)生將無法調(diào)動相關(guān)經(jīng)驗，而教師往往只會關(guān)注兩種未知量關(guān)系為幾分之一這種特例。教學(xué)中如何從學(xué)生的認(rèn)知學(xué)情出發(fā)，幫助學(xué)生從不同的角度探尋有效解決問題的策略，并且在類似的情境、不同的方法中尋求本質(zhì)的關(guān)聯(lián)，從中發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出更具一般意義的策略，這些是教師要關(guān)注與思考的。

二、教學(xué)改進與思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著很強的系統(tǒng)性、關(guān)聯(lián)性。從這個意義上說，假設(shè)策略的本質(zhì)就是尋求某兩個量或幾個量之間的關(guān)系。具體來說，可以對教材進行適當(dāng)改編和補充，借助問題中的特殊條件（可全部假設(shè)成大杯，也可全部假設(shè)成小杯）走向一般條件（靈活選擇假設(shè)的方法），引導(dǎo)學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)不同方法在思路上的相通之處，初步形成思考的模型，并將其與原有的認(rèn)知進行聯(lián)系。下面為改進后的教學(xué)環(huán)節(jié)：

（一）聯(lián)系舊知，激活經(jīng)驗

教學(xué)伊始，教師直接告知學(xué)生將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，并詢問學(xué)生對策略的理解。

教師首先出示了一個簡單問題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯，正好都倒?jié)M。小杯的容量是少毫升？學(xué)生很快列出算式并口算出結(jié)果。

接著，教師呈現(xiàn)了這樣的問題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

學(xué)生在解決這個問題時感到疑惑，認(rèn)為現(xiàn)在有兩種大小不同的杯子，給出的信息并不能解決這個問題，要想順利求得小杯和大杯的容量，需要補充大杯和小杯之間的關(guān)系才行。

【設(shè)計意圖】學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平是其展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的重要起點，也是學(xué)習(xí)真正發(fā)生的基礎(chǔ)。學(xué)生在此前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)有過一些借助假設(shè)策略解決問題的經(jīng)歷，此處意在引導(dǎo)學(xué)生喚起相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式，借助條件不完備的實際問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：有兩個未知量的問題，必須知道兩個量之間的關(guān)系才可以解決。在對比交流中，學(xué)生自然產(chǎn)生“如果是同一種杯子就能解決”的設(shè)想，學(xué)生在辨析能否解決及如何解決的過程中與已有的知識儲備產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，主動借助已有經(jīng)驗，自覺運用“求聯(lián)”的思維方式去分析、處理新問題，思維方式由無序變得有序，這也就為后續(xù)補充條件并初步應(yīng)用策略打下了良好的基礎(chǔ)。

（二）加強溝通，把握聯(lián)系

1.出示問題，自主探索

教師出示：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

教師鼓勵學(xué)生嘗試用不同方法解決，并給出幾點學(xué)習(xí)建議：

（1）如果有困難，可以再次尋找數(shù)量之間的關(guān)系。

（2）獨立解決，你還能想到了哪些不同的解法。

（3）如果你有不同的解法，這些方法之間有什么聯(lián)系。

2.展示解法，交流思路

反饋時，學(xué)生展示了教材中的幾種方法：全部假設(shè)成小杯；全部假設(shè)成大杯；列方程解答。

3.分析比較，體會策略

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧剛才分析和解決問題的過程，比較黑板上幾種方法之間的相同之處。在交流與反思中，學(xué)生有了如下的感受：

（1）這些方法都用到了假設(shè)，有的假設(shè)成小杯，有的假設(shè)成大杯。

（2）列方程解決問題的方法中也蘊含著假設(shè)策略，方程是假設(shè)策略中一種解決問題的形式。

（3）問題中有兩個未知量，這些方法都是通過把兩個未知量轉(zhuǎn)化成一個未知量，從而解決問題。

學(xué)生小結(jié)：在解決問題的時候，雖然思考的角度和表達的方式不同，但都運用了假設(shè)的策略。我們通過假設(shè)把兩種大小不同的杯子轉(zhuǎn)化成一種杯子，也就是將兩種未知量轉(zhuǎn)化成一種未知量。

【設(shè)計意圖】本節(jié)課的教學(xué)重點不在于教會學(xué)生某一道題的解法，而在于幫助學(xué)生在了解策略知識、體驗策略價值的基礎(chǔ)上積累活動經(jīng)驗。教師將視角放在通過例題教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方法間的相同之處，溝通方法間的聯(lián)系。首先，反饋中重點圍繞“為什么假設(shè)”和“怎么樣假設(shè)”兩個問題展開，逐步明確假設(shè)思考的主要過程和關(guān)鍵環(huán)節(jié)；其次，特別注意讓學(xué)生將算式和方程進行關(guān)聯(lián)，促使學(xué)生對不同方法背后所蘊含的關(guān)系進行聚焦性的、反思性的探究，發(fā)現(xiàn)其在思考時的相通模型。比如，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論是在算術(shù)方法（見圖1）中還是在方程（見圖2）中，都可以清楚地看到這兩種方法本質(zhì)都是假設(shè)成9個小杯。這樣對不同方法進行“求聯(lián)”的過程，實則就是破除形式，探索本質(zhì)意義的過程。

圖1

圖2

（三）豐富歷程，緊扣本質(zhì)

1.橫向聯(lián)系

出示四年級下冊畫圖策略中的問題（見圖3）。詢問學(xué)生當(dāng)時是如何解決的，這個例子與當(dāng)下學(xué)習(xí)的假設(shè)有無關(guān)聯(lián)。學(xué)生領(lǐng)悟到這些問題的本質(zhì)相同，都是把兩種未知量假設(shè)成一種未知量。

圖3

2.縱向深入

教師告知學(xué)生，判斷自己是否掌握了一個新方法，得通過很多問題進行檢驗?？梢园褑栴}中的條件在結(jié)構(gòu)不變的情況下進行變化。

（1）教師出示：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

教師提醒學(xué)生：剛才條件中都是分子為1的分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在有了新變化。在獨立嘗試的過程中，教師發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生面露難色，無從下筆。

交流時，教師詢問學(xué)生遇到什么困難，以及可以采取怎樣的方法進行假設(shè)。學(xué)生指出，剛才接觸的兩種未知量的關(guān)系都是幾分之一的情況，這里卻變成幾分之幾，因而無法調(diào)動剛才的經(jīng)驗靈活地進行假設(shè)。同時，有學(xué)生提出這個問題如果用方程（見圖4）解決就好辦多了。

圖4

當(dāng)然，反饋過程中也有個別學(xué)生用算術(shù)方法。但通過討論，學(xué)生一致認(rèn)為就此題而言，方程能更好地幫助他們理清數(shù)量關(guān)系，進而解決問題。

教師指出：算術(shù)方法和方程都可以幫助我們解決問題，但在假設(shè)的時候，還應(yīng)根據(jù)題目中數(shù)據(jù)的特點靈活選擇解決問題的方法，有時候算式方法方便，有時方程能更好地幫助我們解決問題。

（3）把例題中的條件“正好都倒?jié)M”依次改為：“全部倒?jié)M后還剩下20毫升果汁”和“還差20毫升果汁就可以將所有杯子倒?jié)M”，其他不變。

學(xué)生想到只要把原來的720毫升果汁減去20毫升或加上20毫升就與例題一樣。

（4）教師告知學(xué)生，還可以更換問題的情境來檢驗自己是否真的掌握。

教師出示：1張桌子和4把椅子的總價是2700元，椅子的單價是桌子的桌子和椅子的單價分別是多少？

學(xué)生在交流中指出，這題與倒果汁問題的結(jié)構(gòu)一樣，且這個問題假設(shè)全部都是椅子較方便。

【設(shè)計意圖】認(rèn)知心理學(xué)家布魯納提出：學(xué)習(xí)就是認(rèn)識結(jié)構(gòu)的組織與重新組織，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物間是如何聯(lián)系的。誠然，學(xué)習(xí)的目的不是增加新知識、淘汰舊知識，而是通過意義建構(gòu)，使新知和舊知融合為一種新的形態(tài)結(jié)構(gòu)，進而納入自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。策略教學(xué)的練習(xí)安排很容易走向“做題—交流—做題—再交流”這樣的流程，要改變這一現(xiàn)狀，就需要讓練習(xí)具有節(jié)奏感和層次感，以結(jié)構(gòu)化的視角進行整體設(shè)計。在上述教學(xué)中，教師首先呈現(xiàn)之前運用假設(shè)策略解決過的問題，幫助學(xué)生從策略的角度重新反思以前學(xué)過的內(nèi)容，使得學(xué)生對知識間的縱向關(guān)聯(lián)具有清晰的認(rèn)知與把握。接著，教師通過更改數(shù)據(jù)大小、總量狀態(tài)、事物場景來對例題進行適當(dāng)改編。在這樣一系列的情境中促使學(xué)生從整體上把握解決問題的思路方向仍是假設(shè)，只是所用的具體方法有所不同，從而獲得數(shù)學(xué)知識具有一致性和連通性的感悟。構(gòu)建“求聯(lián)”，不僅讓學(xué)生在問題解決時獲得了有效的知識和方法，更重要的是促使學(xué)生經(jīng)歷了多元體驗與構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程。

總而言之，策略教學(xué)必須超越具體知識和技能深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與學(xué)生思維品質(zhì)的提升。當(dāng)學(xué)生能用聯(lián)系與發(fā)展的眼光看待問題時，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能經(jīng)歷一個結(jié)構(gòu)化的過程，在掌握知識的同時，也能做到觸類旁通、舉一反三。