導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性易錯(cuò)題剖析

孫英環(huán)

考綱要求了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)參數(shù)問題。函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一。下面對(duì)同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類問題時(shí)經(jīng)常失分的情況歸類總結(jié)，以防高考時(shí)再出現(xiàn)此類錯(cuò)誤。

一、討論不含參函數(shù)的單調(diào)性

例1

解析：

易錯(cuò)點(diǎn)分析：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)。（2）單調(diào)區(qū)間不能取并集，應(yīng)該用“，”隔開或“和”字相連。

例2

解析：

易錯(cuò)點(diǎn)分析：不等式f'（x）>0的解集在定義域內(nèi)的部分為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;不等式f'（x）<0的解集在定義域內(nèi)的部分為f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間。本題不能直接解f'（x）>0，f'（x）<0，需構(gòu)造函數(shù)再次求導(dǎo)才可求出單調(diào)區(qū)間。

二、討論含參函數(shù)的單調(diào)性

例3若函數(shù)f（x）=x-1/2-alnx （aER），試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

解析：

易錯(cuò)點(diǎn)分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，通常歸結(jié)為求含參不等式的解集問題。含參一元二次不等式問題是熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)，著重考查分類討論思想，而對(duì)含有參數(shù)的不等式問題要針對(duì)具體情況進(jìn)行討論，但要始終注意定義域及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)。（2）此題中g(shù)（x）=x2-ax+1，需對(duì)Δ=a2-4中的a的取值進(jìn)行分類討論，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。

三、已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例4 已知函數(shù)f（x）=x3+/2（x≠0，常數(shù)aER），若f（x）在[2，+o）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

解析：

易錯(cuò)點(diǎn)分析：（1）由單調(diào)性可得f'（x）≥0或f'（x）≤0在相應(yīng)區(qū)間上恒成立，而不是f'（x）>0或f'（x）<0在相應(yīng)區(qū)間上恒成立，即f'（x）>0（f'（x）<0）是函數(shù)f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）的充分不必要條件。（2）對(duì)等號(hào)需單獨(dú)驗(yàn)證說明，否則會(huì)扣分。

例5 已知x=1是f（x）=2x+/2+1nx的一個(gè)極值點(diǎn)。

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間;（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-3+a，若函數(shù) g（x）在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：

易錯(cuò)點(diǎn)分析：第（1）問求出b的值后要檢驗(yàn)。第（2）問由g'（x）≥0在[1，2]上恒成立，可利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問題。

例6 已知g（x）=2x+1nx-/a2在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：g'（x）=2+1/2+/2（x>）

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)，所以g'（x）=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)有解，則a=-2x2-x=-2（x+1/4）2+1/8在（1，2）內(nèi)有解，易知該函數(shù)在（1，2）上是減函數(shù)，所以a=—2x2—x的值域?yàn)椋ā?0，—3），

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（—10，—3）。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上不單調(diào)，則可轉(zhuǎn)化為f'（x）=0在（a，b）上有解。

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性問題的重要工具，所以同學(xué)們需要掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性相關(guān)問題的基本思路、基本運(yùn)算技巧及運(yùn)算法則。另外，數(shù)形結(jié)合思想、構(gòu)造新函數(shù)、轉(zhuǎn)化思想可以化繁為簡(jiǎn)，進(jìn)而準(zhǔn)確把握函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。含參一元二次不等式問題是高考考查的熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)，著重考查分類討論思想，學(xué)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)求解一元二次不等式的熟練度。

（責(zé)任編輯王福華）C4D6AB70-3F79-4ABD-A6C2-92B590D8D090