初等函數(shù)中的“創(chuàng)新問題”的思維方法

張志峰

“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些新概念、新運(yùn)算、新符號，要求同學(xué)們讀懂題意，收集反饋處理信息，根據(jù)新的定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型。這類題目具有啟發(fā)性、思考性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點，是考查同學(xué)們的核心素養(yǎng)、挖掘同學(xué)們的潛力的較佳題型，因而備受命題者的青睞。本文對初等函數(shù)中的“創(chuàng)新問題”的思維方法進(jìn)行歸納提煉，希望對同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考能有所幫助。

歸納1：函數(shù)值求解的“創(chuàng)新”——尋求函數(shù)對稱中心整體代換求解

例1

解析：

提煉：

歸納2：自變量與函數(shù)值求和中的“創(chuàng)新”尋求兩函數(shù)的同一對稱中心整體代換求解

例2

解析：

提煉：利用換元法探究函數(shù)的對稱中心是本題的一個創(chuàng)新，求兩函數(shù)交點的自變量與函數(shù)值的和，探究兩函數(shù)的同一對稱中心，利用函數(shù)的對稱中心整體簡化求解是本題的另一個創(chuàng)新。

歸納3：超越方程根的“創(chuàng)新”—借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的對稱性尋求切入

例3 已知方程2018=a—x和方程log2018x=a-x（a>1）的根分別為x1，x2，則 x2+x2的取值范圍為（）。

解析：

提煉：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與同一個一次函數(shù)構(gòu)成的方程的根，利用互為反函數(shù)其圖像關(guān)于直線y=x對稱探究兩根的關(guān)系，選主元挖掘隱含條件，構(gòu)建函數(shù)求解范圍問題。

歸納4：函數(shù)不等式探究中的“創(chuàng)新”——函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的合理轉(zhuǎn)化

例4 已知函數(shù)f（x）=2且f（x）=g（x）+h（x），其中g(shù)（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)。若不等式3ag（x）+h（2x）≥0對任意xE[1，2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為。

解析：

提煉：利用奇偶性構(gòu)建方程組是本題的一個創(chuàng)新，揭示了定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)都可以寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。函數(shù)不等式問題可以轉(zhuǎn)化為含指數(shù)變量的不等式恒成立問題，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的值域問題，換元法轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)的單調(diào)性問題，是待定系數(shù)法、構(gòu)造法、換元法等解題方法的交匯創(chuàng)新。

歸納5：等高線下的最值“創(chuàng)新”—由函數(shù)圖像探究自變量的關(guān)系降元構(gòu)造函數(shù)求解

例5（2021年河北衡水中學(xué)一調(diào)）

解析：

提煉：對于分段函數(shù)或不同函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值相等時，利用對應(yīng)自變量滿足的關(guān)系式求最值，這是等高線下的最值創(chuàng)新。這類問題既要注意等高線隱含的范圍，同時還要挖掘等高線下自變量之間的關(guān)系，合理地選擇主元構(gòu)建函數(shù)在區(qū)間上的最值求解。本題關(guān)鍵在于如何求出

歸納6：復(fù)合函數(shù)不等式的“創(chuàng)新”借助分段函數(shù)的圖像和性質(zhì)簡化求解

例6

解析：

提煉：關(guān)于分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)不等式問題，屬于函數(shù)圖像和性質(zhì)應(yīng)用的創(chuàng)新，求解的關(guān)鍵在于整體變量的“對號入座”，運(yùn)用解析式和單調(diào)性作出分段函數(shù)的圖像，便于尋找分界點和討論函數(shù)的單調(diào)性，注意整體變量觀念可避免多解或漏解的發(fā)生。

（責(zé)任編輯王福華）9AFAE1D0-7AB8-4345-885D-2AFDB6DE90A2