函數(shù)與導數(shù)中的不等式問題

潘敬貞

函數(shù)與導數(shù)中的不等式問題一直是高考考查的熱點和難點問題，主要包括兩種類型：已知不等式求參數(shù)的范圍和證明不等式。該類問題的求解對同學們的分析問題、轉化與化歸、代數(shù)變形、構造新函數(shù)、分類討論、推理論證、運算求解等能力要求比較高。本文結合實例對常見的函數(shù)與導數(shù)中的不等式問題進行歸納、梳理，主要目的是加強同學們對該類題備考的針對性，提高解決該類問題的能力，從而提高高考競爭力。

一、已知不等式求參數(shù)的范圍

例1 已知函數(shù)f（x）=（x—1）e—a（x2+1），xE[1，+o）。

（1）討論函數(shù)f（x）的單調性;（2）若f（x）≥-2a+lnx，求實數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）略。

（2）

評注：解答本題的關鍵是由g'（1）=0得a=e—1，后面只需討論a>e—1和a≤—1時函數(shù)g（x）的符號即可。

例2 已知函數(shù)f（x）=ae-2ax- 2（a≠0）。

（1）討論函數(shù)f（x）的單調性;

（2）

解析：

評注：本題是以探究存在性問題進行設問，具有濃厚的探究味道，但本質上和已知不等式求參數(shù)范圍是一致的，本題的方法1是正面突破，將問題轉化為求函數(shù)的最值問題，通過一系列推導和求解得出矛盾，最后下結論，這是這類問題的一般解法，但過程有點煩瑣;方法2是將問題轉化為f（x）mm>g（x）max，從而求得實數(shù)a的取值范圍，最后得出結論，該思路也非常清晰、自然，解答過程簡潔，是一種好的解法;方法3是通過分離參數(shù)，然后構造新函數(shù)，該解法容易理解，也常用，但對運算能力要求比較高，解答過程比較繁雜，沒有一定的數(shù)學功底很難完整地解答出來。＼

二、證明函數(shù)不等式

有關證明不等式問題，一般有轉化后求函數(shù)的最值問題，極值點偏移問題，對數(shù)均值不等式問題，有時還需要對函數(shù)進行同構等。例3 已知函數(shù)f（x）=x2+ax+21nx （a為常數(shù)）。

（1）當a≤4時，討論函數(shù)f（x）的單調性;

（2）

解析：（1）

評注：本題第（2）問根據(jù)題意利用韋達定理將參數(shù)消掉，進而將問題轉化為求函數(shù)的最值問題，解題過程中的換元、變形是關鍵，試題難度較大，需要豐富的解題經(jīng)驗和較高的數(shù)學綜合能力。

函數(shù)不等式問題一直是高考考查的熱點問題，也是難點問題，一般都是考卷中的壓軸題，該類題的解決對同學們的數(shù)學能力要求較高，不僅需要豐富的解題經(jīng)驗，還需要很強的推理論證和運算求解能力。只有勤于思考，經(jīng)常歸納解題思路，提煉思想方法，不斷反思小結，從而提高自己的數(shù)學綜合能力，才能在高考考場中擊敗函數(shù)與導數(shù)壓軸題。

（責任編輯王福華）08CE8C89-F2FC-4130-9EB6-5ED8C07E1D51