潘敬貞
函數(shù)與導數(shù)中的不等式問題一直是高考考查的熱點和難點問題,主要包括兩種類型:已知不等式求參數(shù)的范圍和證明不等式。該類問題的求解對同學們的分析問題、轉化與化歸、代數(shù)變形、構造新函數(shù)、分類討論、推理論證、運算求解等能力要求比較高。本文結合實例對常見的函數(shù)與導數(shù)中的不等式問題進行歸納、梳理,主要目的是加強同學們對該類題備考的針對性,提高解決該類問題的能力,從而提高高考競爭力。
一、已知不等式求參數(shù)的范圍
例1 已知函數(shù)f(x)=(x—1)e—a(x2+1),xE[1,+o)。
(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;(2)若f(x)≥-2a+lnx,求實數(shù)a的取值范圍。
解析:(1)略。
(2)
評注:解答本題的關鍵是由g'(1)=0得a=e—1,后面只需討論a>e—1和a≤—1時函數(shù)g(x)的符號即可。
例2 已知函數(shù)f(x)=ae-2ax- 2(a≠0)。
(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;
(2)
解析:
評注:本題是以探究存在性問題進行設問,具有濃厚的探究味道,但本質上和已知不等式求參數(shù)范圍是一致的,本題的方法1是正面突破,將問題轉化為求函數(shù)的最值問題,通過一系列推導和求解得出矛盾,最后下結論,這是這類問題的一般解法,但過程有點煩瑣;方法2是將問題轉化為f(x)mm>g(x)max,從而求得實數(shù)a的取值范圍,最后得出結論,該思路也非常清晰、自然,解答過程簡潔,是一種好的解法;方法3是通過分離參數(shù),然后構造新函數(shù),該解法容易理解,也常用,但對運算能力要求比較高,解答過程比較繁雜,沒有一定的數(shù)學功底很難完整地解答出來。\
二、證明函數(shù)不等式
有關證明不等式問題,一般有轉化后求函數(shù)的最值問題,極值點偏移問題,對數(shù)均值不等式問題,有時還需要對函數(shù)進行同構等。例3 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+21nx (a為常數(shù))。
(1)當a≤4時,討論函數(shù)f(x)的單調性;
(2)
解析:(1)
評注:本題第(2)問根據(jù)題意利用韋達定理將參數(shù)消掉,進而將問題轉化為求函數(shù)的最值問題,解題過程中的換元、變形是關鍵,試題難度較大,需要豐富的解題經(jīng)驗和較高的數(shù)學綜合能力。
函數(shù)不等式問題一直是高考考查的熱點問題,也是難點問題,一般都是考卷中的壓軸題,該類題的解決對同學們的數(shù)學能力要求較高,不僅需要豐富的解題經(jīng)驗,還需要很強的推理論證和運算求解能力。只有勤于思考,經(jīng)常歸納解題思路,提煉思想方法,不斷反思小結,從而提高自己的數(shù)學綜合能力,才能在高考考場中擊敗函數(shù)與導數(shù)壓軸題。
(責任編輯王福華)08CE8C89-F2FC-4130-9EB6-5ED8C07E1D51