基于準靜態(tài)撓度曲面的橋梁無模型損傷定位*

方圣恩，黃繼源

（1.福州大學土木工程學院 福州，350108）

（2.福州大學土木工程防震減災信息化國家地方聯(lián)合工程研究中心 福州，350108）

引言

橋梁結(jié)構(gòu)經(jīng)過長期運營后必然發(fā)生性能退化和損傷，存在安全隱患，有必要通過健康監(jiān)測系統(tǒng)實時評估橋梁的安全狀態(tài)［1］。損傷識別是橋梁監(jiān)測系統(tǒng)的核心功能之一［2］，可以及時發(fā)現(xiàn)并定位橋梁由于外部因素或自身缺陷所造成的損傷，以便及時維修和加固，延長橋梁的使用壽命［3-4］。常見的橋梁損傷識別方法一般基于振動測試數(shù)據(jù)［5］，通過時域信號或頻域信息構(gòu)建目標函數(shù)，再基于模型修正和優(yōu)化算法實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)參數(shù)的識別［6］。時域方面，可以采用小波變換［7］或?qū)⑿〔ò纸夂椭貥?gòu)信號的樣本熵相結(jié)合的方式［8］，構(gòu)建損傷指標；頻域方面，可以基于模態(tài)分析獲取橋梁結(jié)構(gòu)的頻率［9］、振型［10］及二者衍生的模態(tài)柔度［11-12］，或直接根據(jù)頻率響應函數(shù)建立損傷判別方法［13］。實際工程中振動信號容易受到測試噪聲和環(huán)境因素的影響，使得基于振動的損傷識別方法難以有效應用。同時對復雜結(jié)構(gòu)而言，模型修正過程容易碰到病態(tài)矩陣導致難以收斂，或反向優(yōu)化求解工作量大等問題。相對于動力響應來說，靜力測試數(shù)據(jù)受環(huán)境和噪聲的影響相對小，測試結(jié)果比較穩(wěn)定，因此基于靜力數(shù)據(jù)如撓度和轉(zhuǎn)角的損傷識別方法也獲得了關注［14-17］。

土木工程實踐中，撓度曲線和位移影響線常用于分析靜態(tài)或準靜態(tài)荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移響應?？梢越Y(jié)合撓度曲線樣條插值和應變能損傷定位指標來判斷可能損傷的單元［15］，或利用撓度影響線的一、二階導數(shù)（曲率）來識別損傷，常通過中心差分法來計算導數(shù)［17］。采用橋梁損傷前后撓度影響線變化作為指標，基于多影響線信息融合來增強損傷定位的準確性［18］。此外，根據(jù)截面轉(zhuǎn)角測量結(jié)果，通過橋梁損傷前后的轉(zhuǎn)角影響線差來識別損傷［16］，可以僅在橋梁前后端布設測點［19］。實際應用時撓度影響線的導數(shù)對測試和環(huán)境噪聲極為敏感，數(shù)據(jù)的微小擾動都會對識別結(jié)果造成顯著影響，同時轉(zhuǎn)角測試難度大，精度難以保證，因此亟需提出更可靠的靜力損傷識別方法。

考慮到成本因素，結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)往往布設于大跨徑橋梁。筆者針對中小跨徑橋梁的損傷識別，首先，把橋梁上移動的車輛荷載簡化為準靜態(tài)荷載，不考慮慣性力效應；其次，將撓度曲線和撓度影響線相結(jié)合，提出一種準靜態(tài)撓度曲面（后文簡述為撓度曲面）的概念，本質(zhì)是橋梁上所有測點在移動荷載作用下的影響線集合，也包括荷載分別作用在每個測點上所得到的撓度曲線集合；然后，通過虛功原理推導了撓度曲面的分段解析表達式；最后，對橋梁損傷前后的實測撓度曲面做差，得到撓度曲面差，以此判斷損傷位置。所提出的方法力學概念清晰，使用方便，無需結(jié)構(gòu)的有限元模型，是一種無模型的損傷定位方法。

1 準靜態(tài)撓度曲面

1.1 撓度曲面解析表達式

橋梁上車輛荷載的軸重可以認為是施加于橋面板的集中荷載，沿著橋梁縱向移動。筆者以單跨等截面簡支梁為例（見圖1），利用虛功原理中的單位荷載法［20］，將簡支梁在移動集中荷載P作用下的撓度求解過程進行簡化，并結(jié)合圖乘法進行計算。

圖1 單跨簡支梁計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of a single-span simply supported beam

圖1 中：x，y分別表示P與梁上某截面到左支座中心的距離，L為簡支梁計算長度。橋梁上部結(jié)構(gòu)一般處于彈性工作狀態(tài)，類似歐拉-伯努利梁，此時彎矩對撓度的貢獻占主要地位，可以忽略剪力和軸力的影響。因此，應用虛功原理計算撓度時只考慮彎矩引起的撓度。

根據(jù)圖1 繪制P和虛擬單位力=1 作用下的彎矩圖MP和，如圖2 所示。得到彎矩圖的分段函數(shù)表達式為

圖2 集中荷載和虛擬單位力作用下的簡支梁彎矩圖Fig.2 Bending moment diagram of the simply supported beam under a concentrated load or a virtual unit force

撓度曲面ΔP(x，y)的表達式為

其中：E為彈性模量；I為截面慣性矩。

按照x，y的坐標位置關系，可將ΔP(x，y)分為兩個部分，并將式（1）、式（2）代入式（3），結(jié)合圖乘法得到無損梁的ΔP(x，y)表達式為

由式（4）可知，撓度曲面上任意一點(x0，y0)表示P作用于x0位置時，y0位置產(chǎn)生的撓度。同時x，y具有交換對稱性，即二元函數(shù)ΔP(x，y)的三維曲面圖是關于x=y坐標平面對稱的。例如，假設梁的參數(shù)與外荷載為E=200 GPa，I=2.04×10-8m4，L=2 m，P=1 kN，對應的撓度曲面如圖3 所示。由圖可見，無損簡支梁的三維撓度曲面關于x=y坐標平面呈對稱。

圖3 單跨簡支梁撓度曲面Fig.3 Deflection surface of the single-span simply supported beam

1.2 撓度曲面差

仍以圖1 簡支梁為例，若梁上距離左支座48 cm處存在損傷，損傷梁段長度為2 cm，抗彎剛度EI降低25%（采用E降低模擬，比如E'=150 GPa），此時MP和如圖4 所示。

圖4 簡支梁損傷后彎矩圖（單位：mm）Fig.4 Bending moment diagrams of the damaged simply supported beam (unit:mm)

為求解梁上任意一點（截面）的撓度值，根據(jù)實際荷載P、虛擬單位力=1 和損傷的位置關系，將式（3）積分曲面分為圖5 所示的12 個部分。

由于簡支梁為靜定結(jié)構(gòu)，局部剛度的改變不會引起內(nèi)力重分布，因此計算損傷梁的撓度仍可沿用無損梁的彎矩圖，只是積分計算過程中需要考慮損傷和完好梁段的彈性模量不同，進行分段積分。因此，分別對圖5 每個區(qū)域進行積分，損傷后的ΔP(x，y)表達式包含有12 個部分。將梁參數(shù)與荷載信息代入表達式，將其與無損梁的撓度曲面做差，即得到撓度曲面差如圖6 所示。

圖5 簡支梁損傷后撓度曲面函數(shù)積分區(qū)域（單位：m）Fig.5 Domain of integration of deflection surface formula of the damaged simply supported beam (unit:m)

相同荷載作用下，損傷梁各截面的撓度值都會變大，但幅度不同。撓度測試截面的位置、加載位置與損傷越近，撓度增幅就越大。圖6 中撓度曲面差三維圖上形成了一個尖峰，處于坐標（0.5，0.5）位置，與假設損傷的位置相同，驗證了撓度曲面差可以用于損傷定位。進一步來說，荷載P沿梁縱向移動，當P位于損傷處時，發(fā)生的撓度差最大，差值依次向梁端支座遞減，說明梁上各點的位移影響線和撓度曲線對損傷的敏感度不同，且敏感度與損傷的位置有關，這有利于損傷定位。

圖6 簡支梁撓度曲面差（解析形式）Fig.6 Difference of deflection surfaces of the simply supported beam (analytical form)

1.3 撓度曲面的矩陣表示

實際工程上的橋型往往更復雜，難以通過理論推導獲取式（4）所示的解析解，構(gòu)建連續(xù)曲面。此外，考慮測試難度和成本因素，通常只能布設一定數(shù)目的撓度測點，因此可以采用矩陣形式來表示撓度曲面。不失一般性，此時無需建立橋梁的有限元模型或力學模型，只須對無損和損傷橋梁進行移動荷載加載，并記錄測試點截面的撓度，比起解析解來說更為實用和方便。若需要更光滑的撓度曲面，只須增加測點數(shù)目即可。

比如將圖1 簡支梁劃分為20 梁段，布設21 個測點（1 和21 號點為支座處，豎向撓度恒為0），如圖7所示。分別求得無損和損傷梁在移動荷載P作用下的撓度值，組成21×21 階的撓度矩陣。對損傷前后的撓度矩陣做差，得到撓度矩陣差，也為一個同維度矩陣。由于撓度矩陣中每個元素都包含有撓度測試位置與荷載位置信息，因此可以采用撓度矩陣差來繪制撓度曲面差，如圖8 所示。

圖7 單跨簡支梁梁段劃分和測點布設Fig.7 Beam segment layout and measurement points of the single-span simply supported beam

對比圖7、圖8 可見，兩個撓度曲面差一致，圖8曲面尖峰的位置仍位于坐標（0.5，0.5）處，與解析法的結(jié)果相同，說明了采用撓度矩陣表示撓度曲面的可行性。

圖8 簡支梁撓度曲面差（矩陣形式）Fig.8 Difference of deflection surfaces of the simply supported beam (matrix form)

2 連續(xù)箱梁橋撓度曲面差

對于更復雜的橋梁形式，可以采用1.3 節(jié)所述的撓度矩陣來繪制撓度曲面，本節(jié)采用有限元模擬建立橋梁中常見的連續(xù)變截面箱梁橋的上部結(jié)構(gòu)模型（見圖9），研究撓度曲面差損傷定位的可行性。

圖9 兩跨變截面連續(xù)箱梁橋上部結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.9 Finite element model of the superstructure of a twospan variable cross-section continuous box girder bridge

該箱梁橋的上部結(jié)構(gòu)模型計算長度為2 m，沿縱向共劃分22 個梁段（單元），共設有21 個測點，荷載P=200 N 沿著測點依次移動。梁材料彈性模量為2.75 GPa，密度為1 200 kg/m3，截面幾何尺寸見第3 節(jié)試驗部分。假設單損傷和雙損傷兩個工況，位于［0.3，0.4］m 和［1.6，1.7］m 區(qū)域，損傷梁段（單元）的彈性模量降低25%。通過有限元計算得到無損梁和損傷梁的各截面撓度，構(gòu)建撓度矩陣并做差，進而繪制撓度曲面差，如圖10 所示。由圖可見，不論是單損傷還是雙損傷工況，撓度曲面差的峰值位置均處于設定的梁段，說明撓度曲面差同樣可以對變截面箱梁橋進行損傷定位。

由圖10 還可發(fā)現(xiàn)，連續(xù)梁結(jié)構(gòu)與簡支梁不同，當移動荷載作用在前者的某一跨時，會在該跨的撓度曲面上形成一個峰，同時相鄰跨的撓度曲面上生成一個谷。這是由于荷載作用跨的撓度是向下的，相鄰跨會產(chǎn)生一個向上的反拱變形，即負撓度現(xiàn)象（撓度以向下為正）。與簡支梁相同的是，當荷載作用在損傷處時，會使此處梁截面的撓度變大，撓度差以此截面為中心向兩側(cè)支座發(fā)生遞減，同時損傷越嚴重，則峰越高，谷越深。

圖10 變截面連續(xù)箱梁橋撓度曲面差Fig.10 Difference of deflection surfaces of the variable cross-section continuous box girder bridge

3 試驗驗證

3.1 變截面連續(xù)箱梁橋模型

筆者采用有機玻璃制作了一個變截面連續(xù)箱梁橋上部結(jié)構(gòu)的模型，并進行了靜載試驗。兩跨箱梁計算長度為2 m，每跨包含0.85 m 的變截面段（改變腹板高度），立面線形為二次拋物線（見圖11）。有機玻璃材料的彈性模量為2.75 GPa，密度為1 200 kg/m3。沿梁長方向每0.2 m 布置1 個測點，共8 個撓度測點，測點下布設位移計，此時3 個支座測點的撓度默認為0，無需布設位移計。采用鋼棒加重物（約108 N）方式模擬集中荷載，按測點順序依次移動加載，每個荷載步下記錄所有位移計的示數(shù)，作為各梁截面的撓度，然后將獲得的撓度數(shù)據(jù)按照加載次序和測點位置次序排列成矩陣形式，撓度矩陣包含了支座的0 撓度值數(shù)據(jù)，進而繪制撓度曲面，完成一次完整的試驗流程。根據(jù)完好梁和損傷梁的撓度曲面矩陣，計算得到撓度曲面差。

圖11 變截面連續(xù)箱梁橋上部結(jié)構(gòu)模型（單位：mm）Fig.11 Superstructure model of a variable cross-section continuous box girder bridge (unit:mm)

該梁采用切割梁底板的方式模擬損傷，如圖12所示。共設置3 個損傷工況：①單損傷，將2 號測點處梁底板厚度削弱1.5 mm，寬度為底板全寬，長度為沿箱梁橋模型縱向20 mm；②將2 號測點處梁底板厚度進一步削弱到4.0 mm，寬度和長度保持不變；③模擬雙損傷，進一步將7 號測點處梁底板厚度削弱4.0 mm，寬度仍為底板全寬，長度為沿箱梁橋模型縱向20 mm。

圖12 變截面連續(xù)箱梁橋模型試驗和損傷切口Fig.12 Experiment of the variable cross-section continuous box girder bridge model with the damage notch

變截面連續(xù)梁的撓度曲面差如圖13 所示，前2個工況撓度曲面差的峰值都出現(xiàn)在0.4 m 坐標處，且峰值隨著底板削弱厚度的增加而升高，直觀體現(xiàn)了損傷程度的增加，即撓度曲面差可以根據(jù)峰值的高低來判斷損傷的程度。工況3 時發(fā)現(xiàn)1.6 m 坐標處出現(xiàn)了新的峰值，說明雙損傷情況得到了很好的識別。綜上可見，本研究方法很好地定位了3 種損傷工況的梁底切口位置，特別是損傷定位過程無需建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，是一種無模型識別方法，非常便于工程實際應用。

圖13 變截面連續(xù)箱梁橋模型撓度曲面差Fig.13 Difference of deflection surfaces of the variable cross-section continuous box girder bridge model

3.2 結(jié)果討論

由數(shù)值和試驗模型算例可見，損傷的存在均會導致簡支梁和連續(xù)梁結(jié)構(gòu)的撓度曲面差生成峰，峰的坐標對應了損傷的位置，峰的個數(shù)也代表了損傷數(shù)目，且峰值隨著損傷程度的增加而增加，如圖13（a，b）所示。

對試驗箱梁橋模型的單損傷情況而言，由于測試誤差的存在，完好跨的撓度曲面上也可能產(chǎn)生許多小的局部峰值，但遠小于損傷所導致的峰值，不影響對損傷的整體判斷。

此外，試驗箱梁橋模型為了更貼近實際工程中傳感器數(shù)目有限的情況，測點數(shù)目比數(shù)值箱梁橋少一半，但并不影響損傷定位的效果，說明本方法具有較好的魯棒性。現(xiàn)實中為了得到更光滑的撓度曲面，在布設難度和測試成本允許的情況下，增加橋梁的測點數(shù)目，有助于實現(xiàn)更好的判別。

4 結(jié)論

1）對梁式橋來說，橋梁形式（簡支、連續(xù)）和截面形狀（等截面、變截面）不影響本研究方法的識別效果，且識別過程無需建立橋梁有限元模型，屬于一種正向求解方法，避免了如模型修正所需的反問題求解過程，極大地方便了實際工程應用。

2）通過撓度差曲面的峰值位置可以準確判斷損傷的位置，峰值高低也一定程度體現(xiàn)了損傷程度。

3）撓度曲面的構(gòu)建采用靜力撓度數(shù)據(jù)，對測點數(shù)目具有一定魯棒性，但實際應用時為獲得更好的曲面形狀和識別精度，可以增設撓度測點。