對2021年高考數(shù)學(xué)金國卷(I卷)中數(shù)學(xué)情境化試題的評析

何雪芬

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：在命題中，選擇合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體.基于高考數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，審視高考評價體系提出的生活實踐情境和學(xué)習(xí)探索情境，可將其重新整合劃分為課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境和生活實踐情境.這樣的劃分使得高考數(shù)學(xué)試題情境的材料來源和載體作用更為明確.下面重點(diǎn)分析一下2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（Ⅰ卷）中的數(shù)學(xué)情境化試題.

一、課程學(xué)習(xí)情境

課程學(xué)習(xí)情境是指以數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中熟悉的概念、定理、命題等為背景而創(chuàng)設(shè)的情境.解答此類情境化試題，學(xué)生需從試題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的概念、定理、命題等來解題.此類試題側(cè)重于考查學(xué)生的理性思維和邏輯推理能力，著重凸顯基礎(chǔ)性和綜合性.

例 1（. 2021 年高考數(shù)學(xué)全國卷新高考Ⅰ卷，第 6題）若 tan θ = -2 ，則 sin θ（1 + sin 2θ）

sin θ + cos θ =（）.

A. - 6

B. - 2

C. 2

D. 6

評析：本題主要考查進(jìn)行三角恒等變換的技巧，是課程學(xué)習(xí)情境化試題.此類問題在高中數(shù)學(xué)試題中較為常見，解答此題的方法很多，其一是根據(jù) tan θ = -2 求出sin θ = - 2 55 ， cos θ = 55 或者 sin θ = 2 55 ， cos θ = - 55 ，然后將其代入目標(biāo)式中進(jìn)行計算即可解題.其二是利用公式 （sin θ + cos θ）2 = 1 + sin 2θ ，化簡目標(biāo)式，得到 sin θ（sin θ + cos θ） ，再根據(jù)已知條件和 tan θ = sin θcos θ來求值.. 其三，可構(gòu)造齊次式：sin θ（sin θ + cos θ）=sin2θ + sin θ os θsin2θ + cos2θ = tan2θ + tan θtan2θ + 1 ，再將已知條件代入即可求值.這三種方法都需靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的基本公式來進(jìn)行三角恒等變換，才能求得目標(biāo)式的值.

例 2（. 2021 年高考數(shù)學(xué)全國卷新高考Ⅰ卷，第 8題）從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的6個相同的球中有放回的取球兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）.

A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立

評析：本題屬于課程學(xué)習(xí)情境化試題，主要考查相互獨(dú)立事件的概念和概率公式.學(xué)生只要靈活運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概念和概率公式，即可求得問題的答案.在人教版教材必修二中明確指出：對任意兩個事件A 和 B ，如果 P（AB）= P（A）P（B） 成立，則稱事件 A 和事件B 相互獨(dú)立.因此，設(shè)事件 A ，B ，C 和 D 分別代表甲乙丙丁四個事件，則 P（A）= 1.由于“第一次取出的球的數(shù)字是 1”與“兩次取出的球的數(shù)字之和是 8”不可能同時發(fā)生，則P（AC）= 0 ，所以 P（AC） ≠ P（A）P（C） ，從而可判定甲與丙不是相互獨(dú)立事件.同理可對題干中的另外三個選項進(jìn)行甄別.

二、探索創(chuàng)新情境

探索創(chuàng)新情境是指對與數(shù)學(xué)或相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行進(jìn)一步探索的情境，包括數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)創(chuàng)新等問題情境.此類情境化試題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)探究和創(chuàng)新能力，著重體現(xiàn)創(chuàng)新性，通常要求學(xué)生在原有課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)或相關(guān)聯(lián)的知識、方法進(jìn)行更深入的探索.

例3（. 2021年高考數(shù)學(xué)全國卷新高考Ⅰ卷，第12題）在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB = AA1 = 1，點(diǎn) P 滿足 BP = λ BC + μ BB1，其中λ ∈[0， 1]，μ ∈[0， 1]，則（）.

A.當(dāng) λ = 1時，△AB1P 的周長為定值

B.當(dāng) μ = 1時，三棱錐 P - A1BC 的體積為定值

C.當(dāng) λ = 12 時，有且僅有一個點(diǎn) P ，使得 A1P ⊥ BP

D.當(dāng) μ = 12 時，有且僅有一個點(diǎn) P ，使得 A1B ⊥平面 AB1P

評析：本題主要考查空間立體幾何中線面的位置關(guān)系，探究動點(diǎn) P 在不同位置時線面的不同位置關(guān)系，是一道綜合性較強(qiáng)的試題.本題中動點(diǎn) P 的位置由λ，μ值決定，而四個選項中均已告知λ（或μ）值，所以需重點(diǎn)探究在μ（或λ）變化時是否存在定值、特殊點(diǎn)、特殊位置.本題中的情境屬于探索創(chuàng)新情境，本題重點(diǎn)考查學(xué)生在開放創(chuàng)新的情境中分析、解答問題的能力，重視理性思維和邏輯思維的考查，突出數(shù)學(xué)本質(zhì).

例4.（2021年高考數(shù)學(xué)全國卷新高考Ⅰ卷，第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn) F1（- ， 0）， F2（ ， 0），點(diǎn)M滿足MF1-MF2=2.記 M 的軌跡為C .

（1）求 C 的方程;

（2）設(shè)點(diǎn) T 在直線x = 上，過T的兩條直線分別交

C 于 A，B兩點(diǎn)和P，Q 兩點(diǎn)，且|TA|?|TB|=|TP|?|TQ|，求直線 AB 的斜率與直線PQ 的斜率之和.

評析：本題的第（2）問屬于有序開放探索性問題，要求考生運(yùn)用解析幾何的基本思想方法分析問題.學(xué)生需由|TA|?|TB|=|TP|?|TQ|得出直線 AB 的斜率與直線 PQ 的斜率之和為定值的結(jié)論.本題重點(diǎn)考查考生在開放的情境中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力.

三、社會實踐情境

社會實踐情境是指與其他學(xué)科或是社會生活相關(guān)的情境，包括現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際、科學(xué)研究等問題情境.考生需要將問題情境與數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法建立起聯(lián)系，以數(shù)學(xué)知識為“工具”解答問題.此類問題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，著重體現(xiàn)應(yīng)用性.

例5.（2021年高考數(shù)學(xué)全國卷新高考Ⅰ卷，第18題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有 A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)出局;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論該同學(xué)回答正確與否，比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分; B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答 A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記 X 為小明的累計得分，求 X 的分布列;

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

評析：本題屬于一道統(tǒng)計、概率的綜合問題，以“一帶一路”知識競賽為背景，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國社會現(xiàn)實與經(jīng)濟(jì)、科技進(jìn)步與發(fā)展.學(xué)生需從實體情境中精準(zhǔn)獲取有用信息，并對其進(jìn)行加工、分析，運(yùn)用古典概型概率公式以及離散型隨機(jī)變量的概率分布列求得問題的答案，并做出決策.該試題情境屬于社會實踐情境.

例6.（2021年高考數(shù)學(xué)全國卷新高考Ⅰ卷，第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20 dm×12 dm 的長方形紙，對折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm ×6 dm 兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和 S1=240 dm2，對折2次共可以得到5 dm×12 dm ，10 dm ×6 dm，20 dm ×3 dm 三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和 S2=180 dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_____;如果對折 n 次，那么Sk =____ dm2.

評析：此題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，試題的情境屬于社會實踐情境.要求學(xué)生運(yùn)用從特殊到一般的思想探索問題，重點(diǎn)考查考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題的能力.本題具有探索性、創(chuàng)新性，是一道立意好，綜合性強(qiáng)的題目.

從2021年的高考數(shù)學(xué)全國卷新高考Ⅰ卷不難看出，高考中的情境化試題通過對于背景材料的組織，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識與生活、學(xué)習(xí)的聯(lián)系，彰顯出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的價值和意義.同時，情境化試題具有較強(qiáng)的時代性，選擇的背景材料可以更好地圍繞“立德樹人”展開;其次，情境化試題具有一定的開放性和探索性，突出對分析問題和解答問題能力的考查，真正做到服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué).

因此，在今后的教學(xué)中，教師應(yīng)該更關(guān)注并精心研究教材，注重研究知識的產(chǎn)生背景、發(fā)展過程，合理創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生扎實地掌握基礎(chǔ)知識.其次，教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)合理創(chuàng)設(shè)探索創(chuàng)新情境，將課堂交給學(xué)生，給予他們更多探索思考的機(jī)會，培養(yǎng)其勇于質(zhì)疑的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).再者，在數(shù)學(xué)課堂上還應(yīng)更多地關(guān)注人文知識背景、數(shù)學(xué)發(fā)展史，更要緊扣時代主旨，落實好“立德樹人”的根本任務(wù).

（作者單位：福建省漳州第一中學(xué)）