精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦優(yōu)化的HHO算法

郭雨鑫，劉 升，高文欣，張 磊

上海工程技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，上海 201620

群智能優(yōu)化算法（intelligence optimization algorithm，IOA）是受自然界中生物行為與物理現(xiàn)象啟發(fā)而設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法，其可以高效處理問題，一直受到廣泛關(guān)注。Heidari等人[1]在2019年提出了一種新穎的群智能算法——哈里斯鷹優(yōu)化算法（Harris hawks optimization，HHO），源于觀察哈里斯鷹和它們的獵物（兔子）之間的圍捕逃跑行為。該算法尋優(yōu)性能較好，已成功應(yīng)用于光伏電池和模塊的參數(shù)識(shí)別[2]、圖像分割[3]以及PM2.5、PM10的預(yù)測等領(lǐng)域[4]。

然而，與其他群智能算法相似，基本的哈里斯鷹算法結(jié)構(gòu)本身存在容易陷入局部最優(yōu)、收斂精度低和收斂速度慢的缺陷。為了克服哈里斯鷹算法的不足，趙世杰等[5]提出能量周期性遞減和牛頓局部增強(qiáng)的方法改進(jìn)HHO算法，增強(qiáng)了算法的開采能力；Kamboj等[6]提出了混合哈里斯鷹-正弦余弦算法，優(yōu)化算法的全局探索階段；Mohammed等[7]融合生存進(jìn)化算法提出三種策略改進(jìn)HHO算法，其中錦標(biāo)賽改進(jìn)策略效果最佳。

雖然現(xiàn)存的HHO改進(jìn)策略在一定程度上改進(jìn)了算法的探索尋優(yōu)性能，但是解決算法收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)值等問題仍需要深入研究。針對(duì)此問題，論文提出了融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦算法的哈里斯鷹優(yōu)化算法（elite opposition-based learning golden-sine Harris hawks optimization，EGHHO）。

1 哈里斯鷹優(yōu)化算法

哈里斯鷹優(yōu)化算法模仿哈里斯鷹捕食獵物的真實(shí)情況，用數(shù)學(xué)公式來模擬哈里斯鷹在不同機(jī)制下捕捉獵物的策略。在HHO算法中，哈里斯鷹是候選解，獵物（兔子）隨迭代逼近最優(yōu)解。HHO算法包括兩個(gè)階段，分別為全局探索階段和局部開采階段。

1.1 全局探索階段

在全局探索階段中，哈里斯鷹檢查和監(jiān)控搜索空間[lb,ub]，并且根據(jù)兩種策略在隨機(jī)的地方尋找獵物，迭代時(shí)以概率q進(jìn)行位置更新，公式如下：

其中，Xt+1和Xt分別為第t+1次和第t次迭代時(shí)哈里斯鷹的位置，X rabbit,t表示第t次迭代時(shí)獵物的位置，r1、r2、r3、r4和q是介于0和1之間的隨機(jī)數(shù)字，lb和ub是搜索空間的下界和上界，X rand,t表示哈里斯鷹第t次迭代時(shí)的隨機(jī)位置，X m,t表示哈里斯鷹第t次迭代時(shí)的平均位置，公式如下：

1.2 過渡階段

保持探索和開采之間適當(dāng)?shù)钠胶馐侨褐悄芩惴ň_運(yùn)行的必要條件。HHO通過獵物（兔子）的能量方程實(shí)現(xiàn)從全局探索到局部開采的過渡，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，E代表獵物逃跑的能量，E0代表獵物能量的初始狀態(tài)，公式為E0=2rand-1，rand是區(qū)間(0,1)上的隨機(jī)數(shù)字，T為最大迭代次數(shù)。當(dāng) ||E≥1時(shí)，HHO算法將執(zhí)行全局探索；當(dāng) ||E＜1時(shí)，HHO算法進(jìn)行局部開采。

1.3 局部開采階段

在局部開采階段，哈里斯鷹根據(jù)全局探索階段的觀察逮捕預(yù)期獵物，獵物則試圖逃離危險(xiǎn)。根據(jù)哈里斯鷹的追逐策略和獵物的逃跑行為，哈里斯鷹算法提出了四種可能的策略來模擬追逐攻擊行為。用u表示獵物成功逃跑的概率，當(dāng)u＜0.5時(shí)，獵物逃跑成功；當(dāng)u≥0.5時(shí)，獵物逃跑失敗。用參數(shù)E模擬哈里斯鷹的圍攻策略。當(dāng)|E|≥0.5時(shí)，執(zhí)行軟圍攻；否則，執(zhí)行硬圍攻。

Case1軟圍攻。當(dāng)|E|≥0.5，u≥0.5時(shí)，獵物有足夠的能量E且以跳躍的方式逃跑，而哈里斯鷹選擇逐漸消耗獵物的能量，然后在最佳的位置突襲俯沖以逮捕獵物，位置更新策略如下：

其中，ΔX t是迭代時(shí)哈里斯鷹與獵物的位置之差，J=2(1-r5)表示獵物逃脫圍捕過程中的隨機(jī)跳躍，r5是區(qū)間(0,1)上的隨機(jī)數(shù)字。

Case2硬圍攻。當(dāng) |E|＜0.5，u≥0.5時(shí)，獵物筋疲力盡，逃避能量E很低，哈里斯鷹會(huì)迅速突襲獵物，位置更新的策略如下：

Case3累速俯沖式軟圍攻。當(dāng) |E|≥0.5，u＜0.5時(shí)，獵物有足夠的能量E逃跑，哈里斯鷹在突襲之前會(huì)建立一個(gè)軟圍攻。為了模擬獵物的跳躍動(dòng)作和逃跑模式，將Levy函數(shù)[8]LF集成在HHO算法中，更新位置的方程為：

其中，D為問題維度，S為D維隨機(jī)行向量。

Case4累速俯沖式硬圍攻。當(dāng) ||E＜0.5，u＜0.5時(shí)，獵物沒有足夠的能量E逃跑，哈里斯鷹通過在突襲前構(gòu)建硬圍攻以捕捉獵物，試圖減小與逃跑獵物之間的平均位置距離，位置更新如下：

HHO算法利用獵物能量E與因子u調(diào)節(jié)哈里斯鷹和獵物（兔子）之間的四種圍捕機(jī)制，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化求解問題。

2 融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦的EGHHO

2.1 精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制

2015年，Tizhoosh[9]提出了反向?qū)W習(xí)機(jī)制（oppositionbased learning，OBL），其研究發(fā)現(xiàn)反向解比當(dāng)前解接近最優(yōu)解的概率高出50%，該機(jī)制可以有效增加種群的多樣性和質(zhì)量。目前反向?qū)W習(xí)機(jī)制已被較好地應(yīng)用于多種算法的改進(jìn)，Saunhita等[10]利用對(duì)立學(xué)習(xí)優(yōu)化蛾焰算法，改善了蛾焰算法的趨同性；Tubishat等[11]提出基于對(duì)立學(xué)習(xí)的樽海鞘群算法，提高了種群在搜索空間中的多樣性。反向?qū)W習(xí)機(jī)制首先計(jì)算當(dāng)前解的反向解，然后從當(dāng)前解和其反向解的種群中選取最優(yōu)解并更新個(gè)體。

針對(duì)反向?qū)W習(xí)存在其生成的反向解可能比當(dāng)前搜索空間更難搜索到最優(yōu)值的問題，精英反向?qū)W習(xí)（elite opposition-based learning，EOBL）被提出，這一機(jī)制同樣已經(jīng)成功應(yīng)用于多種算法的改進(jìn)。肖子雅等[13]利用EBOL提高鯨魚算法的種群多樣性和收斂精度；方旭陽等[14]引入EBOL優(yōu)化正余弦算法，防止個(gè)體盲目地向當(dāng)前學(xué)習(xí)。EBOL機(jī)制利用精英個(gè)體比普通個(gè)體攜帶更多有效信息的優(yōu)勢，先通過種群中精英個(gè)體形成反向種群，然后從反向種群和當(dāng)前種群中選取優(yōu)秀個(gè)體構(gòu)成新的種群，增加了種群多樣性，提高了種群質(zhì)量，有效地避免算法“早熟”。

2.2 黃金正弦算法

2017年，Tanyildizi等[15]提出了黃金正弦算法（golden sine algorithm，Golden-SA），該算法魯棒性好且收斂速度較快，其通過構(gòu)造正弦函數(shù)模型以求解優(yōu)化問題。根據(jù)單位圓與正弦函數(shù)的關(guān)系，Golden-SA算法遍歷單位圓上的所有點(diǎn)即正弦函數(shù)上的所有點(diǎn)，使算法的尋優(yōu)區(qū)域更加全面。另外，Golden-SA在位置更新的過程中融入黃金分割數(shù)系數(shù)，在每次迭代過程中都充分搜索能產(chǎn)生優(yōu)質(zhì)解的區(qū)域，加快了算法的收斂速度，增強(qiáng)了算法的局部開發(fā)能力。

其中，R1是區(qū)間[0,2π]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)字，R2是區(qū)間[0,π]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)字，R1決定個(gè)體i的移動(dòng)距離，R2決定個(gè)體i的移動(dòng)方向；融入黃金分割數(shù)得到系數(shù)x1和x2,x1=-π+(1-τ)×2π,x2=-π+τ×2π,黃金分割數(shù)τ=這些系數(shù)有效縮小了搜索區(qū)域，引導(dǎo)個(gè)體趨向最優(yōu)值。

2.3 EGHHO算法

針對(duì)基本哈里斯鷹優(yōu)化算法存在的不足，論文提出了精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制與黃金正弦的哈里斯鷹優(yōu)化算法（EGHHO）。基本HHO算法采用隨機(jī)初始化的方法初始化種群，沒有先驗(yàn)知識(shí)，易導(dǎo)致鷹群多樣性差的問題。初始種群的質(zhì)量對(duì)算法的尋優(yōu)性能有較大影響，優(yōu)良的初始種群有利于全局尋優(yōu)。因此，論文引入精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制改進(jìn)哈里斯鷹算法，采用群體選擇的方法，將當(dāng)前哈里斯鷹群體與其反向群體按適應(yīng)值排序，選擇出最優(yōu)的哈里斯鷹個(gè)體作為新一代個(gè)體，以此提高HHO算法的種群質(zhì)量。首先，融入EBOL策略的HHO算法提高了初始化種群的多樣性，增加了搜索空間，奠定了全局優(yōu)化的基礎(chǔ)；其次，在每次迭代時(shí)，EBOL策略可以產(chǎn)生遠(yuǎn)離局部極值點(diǎn)的反向解，指引HHO算法跳出局部極值，增強(qiáng)算法全局搜索的能力。另外，EBOL策略采用動(dòng)態(tài)邊界的跟蹤搜索模式將個(gè)體定位在逐步縮小的搜索區(qū)域中，提高HHO算法的收斂精度和速度。

另外，在保留傳統(tǒng)HHO算法Case3和Case4的基礎(chǔ)上，利用黃金正弦算法改進(jìn)Case1和Case2。無論是Case1軟圍攻還是Case2硬圍攻，哈里斯鷹都成功圍捕獵物。獵物的位置X rabbit,t是哈里斯鷹個(gè)體運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)向標(biāo)，在融入黃金正弦算法的哈里斯鷹算法中，哈里斯鷹以黃金正弦方式移動(dòng)逮捕獵物，在每一次迭代的過程中，普通個(gè)體會(huì)與最佳個(gè)體交流信息，充分吸收與最佳個(gè)體位置差距的信息，提升算法尋優(yōu)性能和尋優(yōu)精度。另外，根據(jù)黃金分割系數(shù)逐步減小搜索區(qū)域，根據(jù)R1、R2調(diào)節(jié)哈里斯鷹個(gè)體的更新距離和方向，引導(dǎo)個(gè)體在優(yōu)質(zhì)解區(qū)域內(nèi)快速接近最優(yōu)值，優(yōu)化了傳統(tǒng)HHO算法的尋優(yōu)方式，提高了算法的尋優(yōu)速度和開發(fā)能力。融合黃金正弦策略按如下公式更新位置：

綜上所述，融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦算法的哈里斯鷹優(yōu)化算法（EGHHO）具體執(zhí)行步驟如下：

步驟1初始化種群，主要包括初始化種群個(gè)體數(shù)N、問題維度D、最大迭代次數(shù)T；

步驟2根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算哈里斯鷹個(gè)體的適應(yīng)度值；

步驟3生成反向種群OP={}；

步驟4根據(jù)lb j=min(Xi,j),ub j=max(X i,j)計(jì)算個(gè)體的搜索邊界；

步驟5對(duì)種群個(gè)體根據(jù)式（9）生成并添加到OP種群中；

步驟6從當(dāng)前種群和OP種群中選取適應(yīng)度值優(yōu)良的個(gè)體作為新一代種群，并將最優(yōu)個(gè)體位置設(shè)為獵物位置；

步驟7計(jì)算獵物能量E；

步驟8若 |E|≥1，則根據(jù)式（1）執(zhí)行全局探索的位置更新；

步驟9若 |E|＜1，u＜0.5，則根據(jù)式（7）和（8）進(jìn)行局部開采的位置更新；

步驟10若 |E|＜1，u≥0.5，則根據(jù)融合黃金正弦的式（12）進(jìn)行局部開采的位置更新；

步驟11計(jì)算步驟8、步驟9和步驟10的函數(shù)適應(yīng)度值，若得到更優(yōu)的適應(yīng)度值，則更新全局最優(yōu)解和全局最優(yōu)適應(yīng)度值；

步驟12判斷結(jié)束條件，如果滿足，則結(jié)束程序，輸出最優(yōu)值及最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)至步驟2。

融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦算法的EGHHO算法的流程圖如圖1所示。

圖1 EGHHO算法的流程圖Fig.1 Flow chart of EGHHO algorithm

2.4 EGHHO算法的時(shí)間復(fù)雜度分析

算法計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度主要取決于三個(gè)過程，即種群初始化、適應(yīng)度評(píng)估和哈里斯鷹的位置更新。哈里斯鷹群體規(guī)模為N，問題維度為D，最大迭代次數(shù)為T，根據(jù)HHO算法描述和時(shí)間復(fù)雜度的運(yùn)算規(guī)則，基本哈里斯鷹算法時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D×T)。對(duì)于改進(jìn)的EGHHO算法，精英反向?qū)W習(xí)初始化種群的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)，適應(yīng)度評(píng)估的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)，融合黃金正弦算法位置更新的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D×T)，因此EGHHO的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D×T)。文獻(xiàn)[6]混合哈里斯鷹-正弦余弦算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×(T+D×T+1))比本文的時(shí)間復(fù)雜度高O(N×(T+1))，文獻(xiàn)[7]中最優(yōu)錦標(biāo)賽改進(jìn)HHO策略的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D×T×L)，其中L為錦標(biāo)賽規(guī)模，該改進(jìn)策略亦比本文的時(shí)間復(fù)雜度高。綜上，EGHHO算法的時(shí)間復(fù)雜度低于上述兩種策略的改進(jìn)算法，與標(biāo)準(zhǔn)HHO算法相同，說明改進(jìn)的算法沒有增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本次仿真測試環(huán)境為：操作系統(tǒng)Win7、64位，CPU為AMD A8-7410 APU with AMD Radeon R5 Graphics，內(nèi)存4 GB，主頻2.2 GHz，仿真軟件為Matlab2018b。

3.2 初始參數(shù)設(shè)置

論文選取了新穎的群智能算法——蝴蝶優(yōu)化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）[16]和黑猩猩優(yōu)化算法（chimp optimization algorithm，Chimp OA）[17]以及基本哈里斯鷹優(yōu)化算法（HHO），和融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦的哈里斯鷹優(yōu)化算法（EGHHO）進(jìn)行對(duì)比。所有算法種群規(guī)模N設(shè)為30，問題維度D設(shè)為30，最大迭代次數(shù)T設(shè)為500，四種算法共有參數(shù)保持一致。

3.3 測試函數(shù)

為了驗(yàn)證EGHHO算法的優(yōu)化效果，論文選取10個(gè)不同特點(diǎn)的測試函數(shù)進(jìn)行函數(shù)優(yōu)化的對(duì)比測試，包括5個(gè)單模態(tài)函數(shù)(f1~f5)、5個(gè)多模態(tài)函數(shù)(f6~f10)，具體信息如表1所示。

表1 測試函數(shù)Table 1 Test functions

3.4 與其他群智能算法對(duì)比分析

為了驗(yàn)證EGHHO算法改進(jìn)策略的有效性，論文對(duì)BOA[16]、Chimp OA[17]、HHO與EGHHO算法在10個(gè)測試函數(shù)上進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)。四種算法在各個(gè)測試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次的結(jié)果見表2。

表2的測試結(jié)果顯示：對(duì)于所選測試函數(shù)，無論是單模態(tài)還是多模態(tài)函數(shù)，EGHHO算法的尋優(yōu)性能最強(qiáng)，明顯優(yōu)于BOA[16]、Chimp OA[17]和HHO算法。函數(shù)f1、f3、f6、f8尋優(yōu)效果達(dá)到100%，可以直接搜索到最優(yōu)值0；除了函數(shù)f5、f9、f10，改進(jìn)算法的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，說明EGHHO算法具有較強(qiáng)穩(wěn)定性；對(duì)于函數(shù)f2、f7，改進(jìn)后的EGHHO算法尋優(yōu)效果明顯高于其他新穎算法，其最優(yōu)值均超過270個(gè)數(shù)量級(jí)，比基礎(chǔ)的HHO算法的尋優(yōu)精度提高了上百個(gè)數(shù)量級(jí)；對(duì)于函數(shù)f4，改進(jìn)算法的最優(yōu)值達(dá)到1.68E-287的水平，比HHO算法同樣提高了超過200個(gè)數(shù)量級(jí)；對(duì)于函數(shù)f5、f9、f10，在BOA和Chimp OA的尋優(yōu)效果普遍較差的情況下，改進(jìn)的算法仍可提高基本算法的尋優(yōu)精度，說明改進(jìn)的EGHHO算法克服了基本HHO算法尋優(yōu)精度不高的問題，極大地提高了基本算法的尋優(yōu)能力，與其他三種算法對(duì)比具有明顯的競爭優(yōu)勢。

表2 測試函數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 2 Experimental results of test functions

為了直觀展示EGHHO算法的尋優(yōu)速度和性能，論文給出部分基準(zhǔn)測試函數(shù)的收斂曲線圖，如圖2所示。

由圖2的收斂曲線可以直觀看出，改進(jìn)EGHHO算法的收斂精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于BOA[16]、Chimp OA[17]和HHO算法，并且其收斂速度也相對(duì)快于其他三種算法。函數(shù)f1~f5屬于單模態(tài)函數(shù)，常常用來測試算法的開發(fā)能力，由函數(shù)f2和f4收斂曲線圖知，改進(jìn)后EGHHO算法的收斂精度大幅提高；f6~f10屬于多模態(tài)函數(shù)，對(duì)于函數(shù)f6，HHO和EGHHO算法的最優(yōu)值均為0，但由收斂曲線圖可以直觀地看出EGHHO在150代左右達(dá)到最優(yōu)值，比基本算法的收斂速度快。另外，雖然根據(jù)表2測試結(jié)果，函數(shù)f5、f9、f10的尋優(yōu)精度提高相對(duì)較小，但根據(jù)收斂曲線圖可知，改進(jìn)后的EGHHO算法在這三個(gè)測試函數(shù)上具有更快的收斂速度，說明改進(jìn)的算法不僅有利于提高基本算法的尋優(yōu)精度，而且有利于提高其收斂速度；函數(shù)f5、f6、f9、f10的收斂曲線圖在迭代過程中出現(xiàn)了多個(gè)拐點(diǎn)，證明改進(jìn)后的EGHHO算法容易跳出局部極值，能夠更好地進(jìn)行全局尋優(yōu)。

3.5 與其他改進(jìn)策略的HHO算法對(duì)比分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文改進(jìn)策略的優(yōu)化效果，論文選取文獻(xiàn)[5]修正能量遞減與牛頓增強(qiáng)機(jī)制的哈里斯鷹算法（improved Harris hawks optimization，IHHO）、文獻(xiàn)[6]混合哈里斯鷹-正弦余弦算法（hybrid Harris hawks-sine cosine algorithm，hHHO-SCA）和文獻(xiàn)[7]中效果最優(yōu)的策略——錦標(biāo)賽改進(jìn)HHO算法（tournament HHO，THHO）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，與本文融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦的哈里斯鷹算法（EGHHO）進(jìn)行對(duì)比，所有算法共有參數(shù)設(shè)置同3.2節(jié)，對(duì)比結(jié)果見表3。

表3中的“—”表示原文獻(xiàn)中沒有出現(xiàn)的測試函數(shù)數(shù)據(jù)。對(duì)于函數(shù)f6，所有改進(jìn)策略均達(dá)到最優(yōu)值0，對(duì)于其他函數(shù)，EGHHO算法的尋優(yōu)精度在各項(xiàng)指標(biāo)上均優(yōu)于hHHO-SCA算法[6]和THHO算法[7]；對(duì)于函數(shù)f2和f4，EGHHO的尋優(yōu)精度高于hHHO-SCA算法和THHO算法上百個(gè)數(shù)量級(jí)；對(duì)于論文與文獻(xiàn)[5]中IHHO共同使用的函數(shù)f2、f7、f8，雖然IHHO在最優(yōu)值上均為0，但是EGHHO算法的其他3個(gè)指標(biāo)均優(yōu)于IHHO，EGHHO算法在這3個(gè)測試函數(shù)上標(biāo)準(zhǔn)差均為0；對(duì)于函數(shù)f8，各個(gè)指標(biāo)均為最優(yōu)值0，說明融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦的EGHHO算法具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性。

表3 改進(jìn)算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of experimental results of improved algorithms

3.6 改進(jìn)策略的有效性分析

本文融合了兩種策略改進(jìn)基本HHO算法，即采用精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制和黃金正弦算法。為了分析這兩種改進(jìn)策略的有效性，論文選取僅采用精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制改進(jìn)的哈里斯鷹算法（elite opposition-based learning Harris hawks optimization，EHHO）、僅引入黃金正弦算法的哈里斯鷹算法（golden-sine Harris hawks optimization，GHHO）和融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦的改進(jìn)EGHHO算法進(jìn)行比較。參數(shù)設(shè)置與3.2節(jié)相同，三種算法在各測試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表4。

由表4不同策略改進(jìn)HHO算法的測試結(jié)果可知，采用兩種改進(jìn)策略的EGHHO算法的平均尋優(yōu)精度（平均值）和尋優(yōu)穩(wěn)定性（標(biāo)準(zhǔn)差）要優(yōu)于采用單一改進(jìn)方法的EHHO和GHHO。對(duì)于函數(shù)f2、f4、f5、f7、f9、f10，EGHHO算法的尋優(yōu)精度均優(yōu)于兩種單一策略；對(duì)于函數(shù)f6，融合兩種策略和單一策略的尋優(yōu)效果均達(dá)到100%；對(duì)于函數(shù)f1、f3、f8，EGHHO算法的尋優(yōu)精度高于EHHO算法，與GHHO算法均達(dá)到最優(yōu)值0。為了直觀地顯示融合兩種策略的優(yōu)勢，論文給出函數(shù)f1、f3、f6、f8的收斂曲線圖，見圖3。

表4 不同策略改進(jìn)HHO算法的測試結(jié)果Table 4 Test results of improved HHO with different strategies

融合兩種策略和單一策略的改進(jìn)算法雖然對(duì)于部分函數(shù)均可達(dá)到最優(yōu)值0，但是從圖3收斂曲線圖可以看出，融合兩種策略的EGHHO算法比單一改進(jìn)策略優(yōu)先達(dá)到最優(yōu)值，說明融合兩種策略可以進(jìn)一步提高算法的尋優(yōu)速度。綜上所述，單一的精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制或黃金正弦算法可以提高算法的尋優(yōu)性能，但效果相對(duì)較小，融合兩種策略的改進(jìn)算法更有效地提高了HHO算法的尋優(yōu)精度和尋優(yōu)速度。

圖3 有效性分析收斂曲線圖Fig.3 Convergence curve of effectiveness analysis

3.7 求解高維函數(shù)的實(shí)驗(yàn)分析

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，論文改進(jìn)的EGHHO算法對(duì)于低維測試函數(shù)取得了較高的收斂精度和較好的收斂效果，但是一般的改進(jìn)策略在較為復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題上容易陷入“維數(shù)災(zāi)難”。為了更好地測試EGHHO算法的高維適應(yīng)性，論文進(jìn)行了EGHHO的高維函數(shù)測試實(shí)驗(yàn)，HHO算法與EGHHO算法在100維、500維、1 000維和10 000維的測試函數(shù)上分別獨(dú)立運(yùn)行30次，其他參數(shù)設(shè)置同3.2節(jié)。因?yàn)楹瘮?shù)f3耗時(shí)過長，兩種算法對(duì)于函數(shù)f6在各個(gè)維度上的尋優(yōu)結(jié)果均為0，沒有對(duì)比性，所以選取其他8個(gè)函數(shù)作為高維測試函數(shù)，并與文獻(xiàn)[18]中求解大規(guī)模問題的改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法（improved whale optimization algorithm，IWOA）的高維實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表5。

表5 高維函數(shù)求解結(jié)果Table 5 Results of solving high dimensional functions

表5中的“—”表示原文獻(xiàn)中沒有進(jìn)行測試的函數(shù)和維度。由表5結(jié)果可知，改進(jìn)的EGHHO算法在各個(gè)維度上4項(xiàng)指標(biāo)值均優(yōu)于基本HHO算法。對(duì)于函數(shù)f2、f4、f7，改進(jìn)算法在高維實(shí)驗(yàn)里仍然比基本的HHO算法的尋優(yōu)精度提升上百個(gè)數(shù)量級(jí)；對(duì)于函數(shù)f1、f8，改進(jìn)算法在各個(gè)維度上都能夠收斂到最優(yōu)值0，說明改進(jìn)算法處理高維問題的尋優(yōu)性能較好，尋優(yōu)成功率可以達(dá)到100%；對(duì)于函數(shù)f1、f2、f4、f7、f8，改進(jìn)算法的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，說明改進(jìn)策略具有較強(qiáng)的魯棒性；對(duì)比與文獻(xiàn)[18]在相同維度下共同使用的函數(shù)f1、f2、f5、f7、f9，EGHHO算法的高維平均尋優(yōu)精度和標(biāo)準(zhǔn)差均優(yōu)于IWOA[18]，說明本文改進(jìn)策略的高維尋優(yōu)性能相對(duì)更好。綜上，EGHHO算法對(duì)高維問題仍保持較好適用性和尋優(yōu)性能，可以有效處理現(xiàn)實(shí)生活中復(fù)雜的高維問題。

4 結(jié)束語

哈里斯鷹優(yōu)化算法是近年來提出的一種尋優(yōu)性能較好的新穎群智能算法，為了使算法性能進(jìn)一步提高，論文提出融合精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦算法的EGHHO算法。在初始化種群階段，融入精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制，提高種群多樣性和種群質(zhì)量，為全局尋優(yōu)奠定基礎(chǔ)，有利于算法跳出局部最優(yōu)值和提高尋優(yōu)精度；另外，哈里斯鷹以黃金正弦的方式移動(dòng)逮捕獵物，通過黃金分割系數(shù)減小搜索空間，有效增強(qiáng)算法局部開發(fā)能力。通過單模態(tài)、多模態(tài)多個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，研究結(jié)果表明融合兩種改進(jìn)策略較好地提升了算法的全局尋優(yōu)性能、尋優(yōu)精度、尋優(yōu)速度和魯棒性。今后研究方向主要是拓展EGHHO算法的實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域。