函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題中的零點問題

■廣東省汕頭市六都中學(xué) 杜龍安

函數(shù)零點是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,函數(shù)零點問題一直是高考全國卷考查的熱點、難點問題,常以壓軸題的形式出現(xiàn)。該類問題主要考查同學(xué)們分析問題和解決問題的能力,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),考查分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。試題通過引入?yún)?shù),由于參數(shù)不確定而引起分類討論,通常設(shè)置的問題有:討論零點個數(shù)、證明零點個數(shù)、已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍、已知零點范圍求參數(shù)范圍等。本文結(jié)合例題幫助同學(xué)們梳理函數(shù)零點問題的考查形式和求解思路,從而提高備考的針對性,最終達(dá)到提高高考競爭力的目的。

一、討論零點個數(shù)

例1設(shè)函數(shù)f(x)=-(a+1)x+alnx,a＞0。

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)。

解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)。

由已知得f＇(x)=x-(a+1)+=。

當(dāng)0＜a＜1時,令f＇(x)＜0,得a＜x＜1;令f＇(x)＞0,得0＜x＜a或x＞1。

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a)和(1,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(a,1)。

當(dāng)a=1時,f＇(x)=≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);無減區(qū)間。

當(dāng)a＞1時,令f＇(x)＜0,得1＜x＜a;令f＇(x)＞0,得0＜x＜1或x＞a。

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(a,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(1,a)。

(2)由(1)可知,當(dāng)0＜a＜1 時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a)和(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(a,1)。

所以f(x)極大值=f(a)=-a+alna＜0,f(x)極小值=f(1)=-a＜0。

因為f(2a+2)=aln(2a+2)＞0,所以函數(shù)f(x)有唯一零點。

當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

又因為f(1)=＜0,f(4)=ln 4＞0,所以函數(shù)f(x)有唯一零點。

當(dāng)a＞1時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1)和(a,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(1,a),所以f(x)極大值=f(1)=-a＜0,f(x)極小值=f(a)=-a+alna＜0。

因為f(2a+2)=aln(2a+2)＞0,所以函數(shù)f(x)有唯一零點。

綜上可得,函數(shù)f(x)有唯一零點。

評注:該題第(1)問的難度不大,體現(xiàn)試題的低起點,有利于同學(xué)們的解答,主要通過對a進(jìn)行分類討論后得出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;第(2)問可根據(jù)第(1)問的結(jié)果求出函數(shù)f(x)的極值,然后再對函數(shù)f(x)的極值的符號進(jìn)行討論,并結(jié)合函數(shù)零點存在定理,從而確定函數(shù)f(x)的零點個數(shù)。該題求解的關(guān)鍵是求函數(shù)的極值,以及對函數(shù)的極值的符號的討論,分類討論思想在該題中起到舉足輕重的作用。

二、證明零點個數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)。

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)證明:函數(shù)f(x)只有兩個零點。

解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-1,+∞),f＇(x)=cosx-,f＇(0)=0,切點為(0,0),故所求切線方程為y=0。

(2)令g(x)=f＇(x)=cosx-(x＞-1),則g＇(x)=-sinx+。

當(dāng)x∈(-1,0]時,-sinx＞0,所以g＇(x)＞0,所以g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)≤g(0)=0,即f＇(x)≤0,所以f(x)單調(diào)遞減,又f(0)=sin 0-ln 1=0,所以函數(shù)f(x)在(-1,0]上有唯一零點0。

當(dāng)x∈(π,+∞)時,sinx≤1＜ln(1+x),則f(x)=sinx-ln(1+x)＜0恒成立,所以函數(shù)f(x)在(π,+∞)上無零點。

綜上所述,函數(shù)f(x)只有兩個零點。

評注:本題分類討論的標(biāo)準(zhǔn)與例1不同,主要結(jié)合三角函數(shù)值的有界性進(jìn)行分類,整道題的求解思路還是討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,求函數(shù)f(x)的極值,判斷函數(shù)f(x)的極值的符號,最后結(jié)合函數(shù)零點存在定理即可確定函數(shù)f(x)的零點個數(shù)。

三、已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍

例3已知函數(shù)f(x)=(2ax2+bx+1)e-x(e為自然對數(shù)的底數(shù))。

(1)若a=,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在(0,1)內(nèi)有解,求實數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)略。

(2)由f(1)=1得2a+b+1=e,則b=e-1-2a。

由f(x)=1得ex=2ax2+bx+1。

設(shè)g(x)=ex-2ax2-bx-1,則g(x)在(0,1)內(nèi)有零點。

設(shè)x0為g(x)在(0,1)內(nèi)的一個零點,則由g(0)=0與g(1)=0 知g(x)在區(qū)間(0,x0)和(x0,1)上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減。設(shè)h(x)=g＇(x),則h(x)在區(qū)間(0,x0)和(x0,1)上均存在零點,即h(x)在(0,1)上至少有兩個零點。

g＇(x)=ex-4ax-b,h＇(x)=ex-4a。

當(dāng)a≤時,h＇(x)＞0,h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,h(x)不可能有兩個及以上零點。

當(dāng)a≥時,h＇(x)＜0,h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,h(x)不可能有兩個及以上零點。

h(ln(4a))=4a-4aln(4a)-b=6a-4aln(4a)+1-。

設(shè)φ(x)=-xlnx+1-e(1＜x＜e),則φ＇(x)=-lnx。

令φ＇(x)=0,得x=。

當(dāng)1＜x＜時,φ＇(x)＞0,φ(x)單調(diào)遞增;當(dāng)＜x＜e時,φ＇(x)＜0,φ(x)單調(diào)遞減。

所以φ(x)max=,所以h(ln(4a))＜0恒成立。

由h(0)=1-b=2a-e+2＞0,h(1)=e-4a-b＞0,得。

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為。

評注:本題較為復(fù)雜,難度較大,主要因為需要多次求導(dǎo),多次換元,利用數(shù)形結(jié)合思想分析函數(shù)的單調(diào)性、最值,結(jié)合函數(shù)零點存在定理判斷函數(shù)零點情況。求解整道題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)這個工具,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最小值,然后根據(jù)函數(shù)f(x)有兩個零點得到h(x)＜0,求得實數(shù)a的取值范圍,最后利用零點存在定理進(jìn)一步驗證。

四、已知零點范圍求參數(shù)范圍

例4已知函數(shù)f(x)=,g(x)=-x2+ax+1。

(1)求函數(shù)y=f(x)在[t,t+2](t＞0)上的最大值;

(2)若函數(shù)y=x2f(x)+g(x)有兩個不同的極值點x1,x2(x1＜x2),且x2-x1＞,求實數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)略。

(2)由題意得y=x2f(x)+g(x)=xlnx-x2+ax+1,則y＇=lnx-2x+1+a。

由題意可知y＇=lnx-2x+1+a有兩個不等的實根x1,x2(x1＜x2),即方程a=-lnx+2x-1 有兩個不等的實根,也就是函數(shù)h(x)=-lnx+2x-1 的圖像與直線y=a有兩個不同的交點。

令h＇(x)=+2=0,得x=。

當(dāng)0＜x＜時,h＇(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＞時,h＇(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增。

所以當(dāng)a＞h(x)min==ln 2 時,x1,x2存在,且x2-x1的值隨著a的增大而增大。

下面計算x2-x1=時的情況。

當(dāng)x2-x1=時,由題意得兩式相減可得lnx2-lnx1=2(x2-x1)=ln 2,即=ln 2,所以x2=2x1。

由x2-x1=,得到x2=2x1=ln 2,此時a=h(x2)=-ln(ln 2)+2ln 2-1,所以實數(shù)a的取值范圍為a＞-ln(ln 2)+2ln 2-1。

評注:本題求解的關(guān)鍵是在求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值后,利用數(shù)形結(jié)合思想得出x2-x1的值隨著a的增大而增大,后面就只需求解當(dāng)x2-x1=時a的值即可。

研究函數(shù)零點問題需要借助導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性,然后求函數(shù)的極值、最值,再利用數(shù)形結(jié)合思想分析函數(shù)的變化趨勢。函數(shù)零點問題有較強的綜合性,問題的求解對同學(xué)們的數(shù)學(xué)綜合能力要求比較高,對分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的考查尤為透徹,因此,此類題一直是高考得分率較低的題目。同學(xué)們只要平時勤于思考,勤于動手,多歸納總結(jié),勤于提煉思想方法,積累解題經(jīng)驗,提升解題能力,就可以攻破此類問題。