基于線性矩陣不等式的智能飛行器航跡規(guī)劃方法

沈添天，袁思敏，吳芳，陳中祥，余果

( 1. 湖南師范大學(xué) 工程與設(shè)計(jì)學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410082；2. 中南大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410083 )

0 引 言

隨著我國(guó)軍事實(shí)力和航空事業(yè)的飛速發(fā)展，智能飛行器在軍用和民用領(lǐng)域得到越來(lái)越廣泛地使用. 在復(fù)雜的情況下，航跡規(guī)劃已成為智能飛行器研究領(lǐng)域的一個(gè)重要課題. 然而智能飛行器的定位系統(tǒng)受到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的限制，無(wú)法對(duì)自身進(jìn)行精準(zhǔn)的定位. 在飛行過(guò)程中會(huì)不斷累積定位誤差，定位誤差累積到一定程度，就可能導(dǎo)致飛行任務(wù)失敗. 因此，在飛行過(guò)程中對(duì)定位誤差進(jìn)行校正是智能飛行器航跡規(guī)劃中一項(xiàng)重要任務(wù). 航跡規(guī)劃[1]是指在考慮多約束條件(如地形環(huán)境、自身性能等)下，為飛行器提供一條從出發(fā)點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的求解簡(jiǎn)單、航跡較短、費(fèi)時(shí)較少的飛行路徑. 智能飛行器航跡規(guī)劃通常被建模成一個(gè)帶約束的最優(yōu)化問(wèn)題求解[2]. 本文將對(duì)定位精度受限情形下的多約束航跡規(guī)劃問(wèn)題展開(kāi)研究.

航跡規(guī)劃算法作為智能飛行器的核心研究?jī)?nèi)容，已有國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者在這方面做了大量研究，例如Dijkstra算法[3-4]、A*算法[5]、粒子群優(yōu)化(PSO)[6-7]，人工勢(shì)場(chǎng)法[8]等. SEO等[9]利用最短路徑A*算法建立硬件模型，通過(guò)代價(jià)函數(shù)更新規(guī)劃路徑. 但A*算法一般適用于二維平面的搜索，若應(yīng)用在三維環(huán)境中，運(yùn)算量龐大. CARSTEN等[10]則利用D*算法進(jìn)行路徑規(guī)劃，并與立體視覺(jué)結(jié)合使用以實(shí)現(xiàn)三維環(huán)境中的動(dòng)態(tài)路徑. 另有遺傳算法(GA)，因其具備較強(qiáng)的隨機(jī)隨即搜索能力而被廣泛地應(yīng)用于無(wú)人機(jī)3D航跡規(guī)劃中[11]. KOU等[12]使用粒子群優(yōu)化算法(ACO)解決了三維環(huán)境中帶約束的無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃問(wèn)題，但粒子群算法在復(fù)雜約束的路徑規(guī)劃問(wèn)題中航跡精度不理想[13]. 在多種約束條件下，基于Dijkstra算法設(shè)計(jì)了路徑規(guī)劃方法的求解模型，通過(guò)校正策略優(yōu)化和OD鄰接矩陣處理，獲得了滿足約束條件的飛行路徑[4].鑒于上述算法的優(yōu)缺點(diǎn)，在三維環(huán)境及多個(gè)約束條件下，提出了一種基于線性矩陣不等式(LMI)的航跡規(guī)劃方法.

LMI方法可將大量線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，能更好地解決多個(gè)線性約束問(wèn)題. LMI問(wèn)題通?？梢苑譃槿悾嚎尚薪鈫?wèn)題、線性目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題和廣義特征值優(yōu)化問(wèn)題. 文中主要研究目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，以最小路徑長(zhǎng)度和最少校正點(diǎn)數(shù)為目標(biāo)，通過(guò)兩個(gè)目標(biāo)的不同權(quán)重得到最優(yōu)解. 以包含出發(fā)點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)及多個(gè)校正點(diǎn)的飛行區(qū)域?yàn)檠芯繉?duì)象，通過(guò)線性矩陣不等式建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，并且通過(guò)兩組數(shù)據(jù)的仿真結(jié)果，以及與Dijkstra算法(狄克斯特拉)、GA[14]及目標(biāo)導(dǎo)引法的算法性能進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證了所提方法的有效性. 與其他方法相比，所提方法具有校正點(diǎn)少，航跡長(zhǎng)度短的優(yōu)點(diǎn).

1 問(wèn)題描述

1.1 問(wèn)題引出與分析

在飛行過(guò)程中，飛行器會(huì)逐漸累積其定位誤差，因此需要多個(gè)校正點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行誤差校正. 其中，誤差校正次數(shù)和航跡長(zhǎng)度是兩個(gè)重要的考慮因素. 文中主要研究在多個(gè)約束條件下的航跡規(guī)劃，使得經(jīng)過(guò)校正區(qū)域內(nèi)的校正次數(shù)盡可能少并且航跡長(zhǎng)度盡可能短.

飛行器航跡規(guī)劃主要考慮如下幾個(gè)約束條件：

1) 起點(diǎn)誤差約束

在出發(fā)點(diǎn)，飛行器的垂直和水平誤差均為0.

2) 誤差增長(zhǎng)約束

飛行器在飛行過(guò)程中由系統(tǒng)限制所產(chǎn)生的垂直誤差和水平誤差只與飛行距離線性相關(guān)，飛行器每飛行1 m，垂直誤差和水平誤差均增加 δ ，單位為m.

3) 誤差校正點(diǎn)功能約束

在每個(gè)校正點(diǎn)上，垂直誤差和水平誤差不能同時(shí)校正. 在此前提下，當(dāng)飛行器進(jìn)行垂直誤差校正后，垂直誤差為0，水平誤差不變. 同理，飛行器進(jìn)行水平誤差校正后，垂直誤差不變，水平誤差為0.

4) 誤差校正點(diǎn)執(zhí)行條件約束

為約束校正點(diǎn)執(zhí)行校正功能的誤差范圍，設(shè)定飛行器的垂直誤差校正的條件為累計(jì)垂直誤差不大于α1， 累計(jì)水平誤差不大于 α2；飛行器的水平誤差校正條件為累計(jì)垂直誤差不大于 β1，累計(jì)水平誤差不大于β2，單位均為m.

5) 終點(diǎn)誤差約束

為確保飛行器飛行任務(wù)能順利完成，到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，飛行器的垂直誤差和水平誤差均應(yīng)小于 θ (m).

在上述條件下，為飛行器規(guī)劃出一條從出發(fā)點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的航跡. 在本文中實(shí)現(xiàn)的是雙優(yōu)化目標(biāo)航跡規(guī)劃，即在實(shí)現(xiàn)最短航跡長(zhǎng)度的同時(shí)經(jīng)過(guò)最少校正點(diǎn)數(shù). 在航跡規(guī)劃中存在大量無(wú)序的誤差校正點(diǎn)，這些校正點(diǎn)的坐標(biāo)和校正類型已知. 在滿足約束條件的前提下，我們需要從中選出幾個(gè)校正點(diǎn)來(lái)確定最優(yōu)航跡規(guī)劃模型.

1.2 符號(hào)說(shuō)明

本文中R為實(shí)數(shù)集.VT和 ‖V‖分 別代表向量V的轉(zhuǎn)置和歐幾里得范數(shù). 其余符號(hào)所表示的含義列在下表1中予以說(shuō)明.

表1 常用符號(hào)含義

2 多約束優(yōu)化模型的建立與求解

本節(jié)通過(guò)引入LMI方法，經(jīng)過(guò)凸優(yōu)化后，構(gòu)建既能滿足多個(gè)約束條件，又能實(shí)現(xiàn)校正次數(shù)最少和航跡長(zhǎng)度最短的航跡規(guī)劃模型. 首先通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)0～1決策變量數(shù)組來(lái)描述一個(gè)可變航跡，然后將基于航跡的決策矩陣描述提出所有約束條件，最后將這些約束條件轉(zhuǎn)化成矩陣形式，從而促進(jìn)了LMI優(yōu)化.

2.1 描述飛行軌跡的變量矩陣

由于飛行器在飛行過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生垂直方向和水平方向上的累積誤差，因此一定間隔的定位校正對(duì)于獲得滿足條件的航跡至關(guān)重要. 假設(shè)航跡是由笛卡爾空間中一系列引導(dǎo)飛行器從起始位置(記為A點(diǎn))開(kāi)始向目標(biāo)位置(記為B點(diǎn))飛行的校正點(diǎn)連接而成的.

一般來(lái)說(shuō)，每次校正時(shí)，定位誤差都會(huì)在水平方向或垂直方向上重新校正. 為便于后續(xù)描述，把校正點(diǎn)分別命名為水平校正點(diǎn)和垂直校正點(diǎn)來(lái)表示它們對(duì)飛行器定位的影響. 圖1中在大量的冗余校正點(diǎn)中，它們的選擇將直接決定在多重約束下以及目標(biāo)滿足度方面的飛行性能.

圖1 起始點(diǎn)A和目標(biāo)點(diǎn)B周圍的冗余校正點(diǎn)

在篩選過(guò)后，對(duì)被選中的校正點(diǎn)采用面向目標(biāo)的方式進(jìn)行重新排列，以便后續(xù)變量矩陣的定義. 具體方式以圖2所示的篩出的一小組校正點(diǎn)為例來(lái)解釋這種以目標(biāo)為導(dǎo)引的重新排列.

圖2 篩選出的校正點(diǎn)以目標(biāo)為導(dǎo)引的方式重新排列(以一小組選中校正點(diǎn)為例)

A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的直線軌跡被視為不可能發(fā)生的參考軌跡，因此被視為理想情況. 如圖2(a)所示，假設(shè)有6個(gè)篩出的校正點(diǎn)，根據(jù)其投影在參考軌跡上的分布重新排序. 這些校正點(diǎn)的次序是根據(jù)它們的投影到A點(diǎn) 的距離進(jìn)行重新排列的. 我們把它們和A點(diǎn)、B點(diǎn)一起記作Ck，k=1,···,n, 其中C1表 示點(diǎn)A，Cn表示點(diǎn)B，C2和Cn-1分別表示在參考軌跡上的投影距A點(diǎn)最近和最遠(yuǎn)的校正點(diǎn). 在6個(gè)被選中的校正點(diǎn)所形成的具體例子中，它們被重新排序?yàn)镃1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8，如圖2(b)所示. 至此，校正點(diǎn)的預(yù)處理完成，并生成一組經(jīng)過(guò)篩選和重新排序的校正點(diǎn)用于后續(xù)的變量定義和選擇最優(yōu)化. 這種預(yù)處理確保了校正點(diǎn)以目標(biāo)為導(dǎo)引的選擇.

基于校正點(diǎn)ck，k=1,···,n, 的重新排列，我們建立了一個(gè)特定的變量矩陣，記作X∈Rn×n，以此來(lái)描述不同的航跡. 該矩陣的元素值為0或1，第i行和第j列的元素記作xi,j，其中i∈[1,n] ，j∈[1,n] .

當(dāng)xi,j=1 時(shí)，表示航跡的一部分是從第i個(gè)校正點(diǎn)出發(fā)到第j個(gè)校正點(diǎn)結(jié)束. 其中x1,k=1 表示第一部分軌跡，從A點(diǎn)(第一個(gè)校正點(diǎn))開(kāi)始到第k個(gè)校正點(diǎn)結(jié)束. 航跡至少要經(jīng)過(guò)一個(gè)校正點(diǎn)，而且變量矩陣X的第一行有且只能有一項(xiàng)被賦值為1，表示航跡的第一部分是從點(diǎn)A出發(fā)到第一個(gè)被選中的校正點(diǎn). 因此對(duì)于第一行引出的結(jié)論為

該校正點(diǎn)作為一個(gè)新的起點(diǎn)只能被選擇一次，且下一個(gè)校正點(diǎn)必須要比前一個(gè)更接近終點(diǎn)B，即Cn.

因此，式(3)中的變量矩陣X實(shí)際上是一個(gè)三角矩陣. 進(jìn)一步分析可以得到，由于飛行器在每一個(gè)校正點(diǎn)上只能經(jīng)過(guò)一次，所以1的值限定了該矩陣每一行及每一列的元素和的最大值. 這些條件可以被表述為：

為確保飛機(jī)最終能到達(dá)終點(diǎn)B，矩陣X的最后一列中至少有一項(xiàng)要設(shè)為1. 由此可以得到

我們以圖2的8個(gè)點(diǎn)為例來(lái)描述最優(yōu)航跡和決策矩陣之間的關(guān)系. 如圖3所示，假設(shè)最優(yōu)航跡為A→C3→C5→B，校正次數(shù)最少且飛行距離最短，決策矩陣如表2所示. 由圖3和表2可知，飛行器的航跡是從A到C3，然后到C5，最后到B；它們對(duì)應(yīng)的變量為x1,3=1,x3,5=1,x5,8=1 .

圖3 經(jīng)過(guò)規(guī)劃后的軌跡

表2 圖3所示規(guī)劃后軌跡的變量矩陣

2.2 約束條件

1)初始校正約束點(diǎn)

由于一般環(huán)境(風(fēng)、GPS不穩(wěn)定等因素)造成的飛行器漂移，會(huì)導(dǎo)致飛行器在飛行過(guò)程中產(chǎn)生垂直和水平誤差. 根據(jù)誤差校正點(diǎn)執(zhí)行條件約束，第一個(gè)被選中的校正點(diǎn)必須滿足以下關(guān)系式：

式中：d1,j表示A點(diǎn)到第j點(diǎn)的歐氏距離；Nj為指示變量；當(dāng)Nj=1 ， 表示第j點(diǎn)為垂直校正點(diǎn)；當(dāng)Nj=0 ，表示第j點(diǎn)為水平校正點(diǎn). 從A點(diǎn)到第j點(diǎn)的飛行航跡會(huì)導(dǎo)致定位誤差. 根據(jù)誤差校正點(diǎn)功能約束，無(wú)人機(jī)經(jīng)過(guò)校正點(diǎn)Cj誤差校正后的水平誤差 ΔX1,j和垂直誤差 ΔY1,j為：

2)中間校正點(diǎn)約束

飛行器從第j點(diǎn)(j≠1 ) 飛到第k點(diǎn)(k≠1 )，根據(jù)誤差校正點(diǎn)執(zhí)行條件約束可以求得滿足條件的水平誤差和垂直誤差如下：

考慮到飛行中的累積誤差，分別用 ΔXj,k和 ΔYj,k來(lái)表示在第k點(diǎn)校正后的水平誤差和垂直誤差. 根據(jù)誤

差校正點(diǎn)功能約束，對(duì)于 ΔXj,k和 ΔYj,k有如下的表述：

3)最終校正點(diǎn)約束

在最終校正點(diǎn)約束中，飛行器從第j點(diǎn)(j＜k)出發(fā)到第k點(diǎn)(k=n)，根據(jù)終點(diǎn)誤差約束，水平誤差和垂直誤差必須滿足以下關(guān)系式：

4)目標(biāo)函數(shù)的建立

本文針對(duì)航跡規(guī)劃模型設(shè)定了雙優(yōu)化目標(biāo).Obj1是為了獲得最小飛行距離， O bj2是為了使經(jīng)過(guò)的校正點(diǎn)數(shù)最少，

2.3 基于LMI的軌跡優(yōu)化

在2.2節(jié)中可以選擇611個(gè)校正點(diǎn)時(shí)，線性約束條件達(dá)300 000以上. 在本節(jié)中，這些約束通過(guò)線性矩陣不等式被轉(zhuǎn)換為若干個(gè)約束.

我們定義一個(gè)所有元素值都為1的輔助矩陣v

根據(jù)每行、每列之和的上界，可以將約束(5)～(6)轉(zhuǎn)化為如下所示的線性矩陣不等式：

建 立b1=[1,01×(n-1)]T和b2=[01×(n-1),1]T為 兩 個(gè) 輔助 矩陣，其 中 01×(n-1)表 示1 ×(n-1) 的 零 向 量. 由式(4)和式(8)可得出第一行和最后一列的下界如下：

根據(jù)2.1中校正點(diǎn)的順序，距離矩陣D被描述為

根據(jù)誤差校正點(diǎn)功能約束，所選的第一個(gè)校正點(diǎn)必須滿足

式中：b1X表示式(3)中變量矩陣的第一行；N=[N1,N2,···,Nj,···,Nn]為校正點(diǎn)類型向量.為了區(qū)分其他校正點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)N1=-1，Nn=-1.根據(jù)Nj在2.2節(jié)2)中的描述，N=[-1,N2,···,Nj,···,-1].

基于式(3)中的決策變量矩陣X，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)特殊的矩陣M. 將第i行和第j列的元素記作xi,jdi,j，其中i∈[1,n]，j∈[1,n] .

由式(13)～(14)可將水平誤差約束和垂直誤差約束等效化為：

最后根據(jù)約束式(17)～(18)，當(dāng)飛行器從選定的第j個(gè)校正點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)B(k=n)時(shí)，垂直誤差和水平誤差必須滿足表達(dá)式

式中：v為 式(21)中的矩陣；為矩陣

雙優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)式(19)和式(20)可表示成：

總之，2.2節(jié)中數(shù)量超過(guò)300 000的約束通過(guò)2.3節(jié)中的線性矩陣不等式可以轉(zhuǎn)換成若干個(gè)約束，當(dāng)可以選擇的校正點(diǎn)數(shù)量增加時(shí)，只增加了變量數(shù)量而不增加約束條件，從而大大減少了計(jì)算量，簡(jiǎn)化了內(nèi)存空間.

3 數(shù)據(jù)驗(yàn)證結(jié)果

本節(jié)通過(guò)兩組仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性. 具體來(lái)說(shuō)，首先通過(guò)圖1中繪制的一系列校正點(diǎn)將提出的方法與許多現(xiàn)有的方法進(jìn)行比較，然后根據(jù)另一組較小規(guī)模的數(shù)據(jù)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，來(lái)證明所提方法的通用性. 使用的電腦配置為標(biāo)準(zhǔn)PC (Intel i5-3 470 CPU，8.00 GB內(nèi)存，Windows 10操作系統(tǒng))，使用MATLAB和Gurobi求解器.

3.1 和現(xiàn)有方法的比較

圖1繪制的合成場(chǎng)景中包含給定的611個(gè)校正點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)(出發(fā)點(diǎn)A和目標(biāo)點(diǎn)B)，校正點(diǎn)的坐標(biāo)及類型由MATLAB中隨機(jī)函數(shù)生成. 將這611個(gè)校正點(diǎn)表示為Ck,k=1,···,613 ，其中有306個(gè)水平校正點(diǎn)和305個(gè)垂直校正點(diǎn). 誤差約束參數(shù)給定為α1=25m， α2=15m ， β1=20m ， β2=25m ， θ =30m ，δ=0.001m. 應(yīng)用提出的基于LMI的航跡規(guī)劃方法來(lái)實(shí)現(xiàn)式 (38) ～ (39) 中的雙重目標(biāo)，生成的最優(yōu)規(guī)劃三維航跡圖如圖4所示. 具體飛行軌跡如下：A→C504→C295→C92→C608→C90→C12→C404→C595→C502→B.

圖4 最優(yōu)規(guī)劃三維航跡圖

誤差校正點(diǎn)數(shù)和校正前誤差的航跡規(guī)劃結(jié)果如表3所示，校正點(diǎn)類型取1表示該點(diǎn)為垂直誤差校正點(diǎn)，取0表示該點(diǎn)為水平誤差校正點(diǎn). 由表3可知，第一個(gè)選定的校正點(diǎn)C504是垂直校正點(diǎn)，到達(dá)C504時(shí)的累積誤差均為13.39 m. 因此，在C504處進(jìn)行垂直校正之前定位誤差滿足施加的約束條件(垂直誤差上限為α1=25m ，水平誤差上限為 α2=15m )，C92等其他垂直校正點(diǎn)也滿足這個(gè)約束條件. 從表中可以明顯看出，飛行器到達(dá)所有選定的水平校正點(diǎn)時(shí)累積誤差也滿足執(zhí)行水平校正的約束條件(即垂直誤差上限為β1=20m ，水平誤差上限為 β2=25m ). 在目標(biāo)點(diǎn)B處的最終垂直誤差和水平誤差分別為8.49 m和19.69 m，它們都小于到達(dá)終點(diǎn)的誤差上限 θ = 3 0m .飛行器的定位誤差隨選取校正點(diǎn)順序的變化情況如圖5所示. 圖中校正點(diǎn)序號(hào)代表選定的9個(gè)校正點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)B. 結(jié)合航跡規(guī)劃結(jié)果表3，由折線圖5可以直觀地看出，選取的校正點(diǎn)交替出現(xiàn)，且誤差都在約束條件之內(nèi)盡可能大，能夠在誤差即將超出約束條件時(shí)及時(shí)進(jìn)行校正. 最優(yōu)航跡長(zhǎng)度為104 890.55 m，經(jīng)過(guò)的校正點(diǎn)個(gè)數(shù)為9.

表3 航跡規(guī)劃結(jié)果 m

圖5 校正點(diǎn)序號(hào)對(duì)定位誤差的影響

為驗(yàn)證上述LMI方法的優(yōu)越性，將上述結(jié)果與一些現(xiàn)有的航跡規(guī)劃方法在相同的611個(gè)校正點(diǎn)區(qū)域場(chǎng)景所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比：

1) Dijkstra算法：Dijkstra算法計(jì)算從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑，進(jìn)而得到最短路徑樹(shù). 它使用廣度優(yōu)先搜索來(lái)解決單源最短路徑問(wèn)題，所以空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度都比較高.

2) 遺傳算法：遺傳算法通過(guò)模仿自然選擇和遺傳學(xué)的機(jī)制尋找最優(yōu)解，并根據(jù)適應(yīng)度值或交叉操作循環(huán)執(zhí)行新一代操作，直到達(dá)到優(yōu)化目標(biāo). 數(shù)據(jù)量較大時(shí)，遺傳算法容易陷入局部最優(yōu).

3) 目標(biāo)引導(dǎo)法：目標(biāo)導(dǎo)引法通過(guò)最小化與目標(biāo)點(diǎn)和前一個(gè)通過(guò)的校正點(diǎn)的距離來(lái)一個(gè)一個(gè)地選擇校正點(diǎn)，產(chǎn)生下一個(gè)相鄰的校正點(diǎn)，將軌跡引導(dǎo)到目標(biāo)點(diǎn). 算法邏輯簡(jiǎn)單，但每次選擇一個(gè)校正點(diǎn)，都必須遍歷所有校正點(diǎn).

對(duì)圖1的數(shù)據(jù)采用Dijkstra算法、GA和目標(biāo)導(dǎo)引法分別進(jìn)行處理，算法性能比較如表4所示，從表中可以看出4種算法的各數(shù)據(jù)點(diǎn)誤差均滿足約束條件，其中Dijkstra算法的航跡長(zhǎng)度最優(yōu)，但是校正點(diǎn)數(shù)量最多，表明Dijkstra算法不適用于雙目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題. 除Diijkstra算法外，其他3種算法的校正點(diǎn)數(shù)量相同. 而采用LMI方法的飛行軌跡長(zhǎng)度比GA短1 947.42 m，比目標(biāo)導(dǎo)引法短6 395.948 m，說(shuō)明LMI方法優(yōu)于GA和目標(biāo)導(dǎo)引法. 本文提出的LMI方法的有效性在于它可以將大量約束轉(zhuǎn)換為幾個(gè)約束. 當(dāng)校正點(diǎn)數(shù)變化時(shí)，約束條件不變，只需要調(diào)整變量矩陣的大小. 它可以應(yīng)用于通過(guò)調(diào)整變量矩陣解決較大尺度校正點(diǎn)問(wèn)題的軌跡，因此適用于解決多約束下的航行軌跡問(wèn)題.

表4 算法性能指標(biāo)

3.2 較小規(guī)模數(shù)據(jù)的仿真

上節(jié)的大規(guī)模數(shù)據(jù)用于驗(yàn)證算法的有效性，本節(jié)的較小規(guī)模數(shù)據(jù)主要用于驗(yàn)證算法的正確性. 對(duì)包含325個(gè)校正點(diǎn)的合成場(chǎng)景進(jìn)行航跡規(guī)劃，校正點(diǎn)數(shù)幾乎是第一組數(shù)量的一半. 誤差約束參數(shù)給定為α1=20m， α2=10m ， β1=15m ， β2=20m ， θ =20m ，δ=0.001m. 基于上述提出的LMI方法得到的最優(yōu)規(guī)劃三維航跡圖如圖6所示. 具體航跡規(guī)劃如下：A→C163→C114→C8→C309→C305→C123→C45→C160→C92→C93→C61→C292→B.

圖6 最優(yōu)規(guī)劃三維航跡圖

表5顯示了飛行軌跡經(jīng)過(guò)的校正點(diǎn)及進(jìn)行校正前的誤差，由表5數(shù)據(jù)可知，用于執(zhí)行垂直改正的α1=20m (累積垂直誤差)和 α2=10m (累積水平誤差)的上邊界條件在所有垂直校正點(diǎn)均得到滿足. 飛行器到達(dá)所有選定的水平校正點(diǎn)時(shí)累積誤差也滿足執(zhí)行水平校正的約束條件(即垂直誤差上限為β1=15m ，水平誤差上限為 β2=20m ). 飛行器到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)B的垂直誤差和水平誤差均小于 θ =20m 的上限. 最優(yōu)飛行軌跡的行程長(zhǎng)度約為109 342.28 m，校正點(diǎn)個(gè)數(shù)為12.

表5 航跡規(guī)劃結(jié)果 m

4 結(jié) 論

本文對(duì)工作在復(fù)雜環(huán)境下的智能飛行器提出了一種基于LMI的航跡規(guī)劃方法. 首先通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)0～1三角變量矩陣來(lái)表示飛行航跡，該航跡以目標(biāo)為導(dǎo)引，不重復(fù)的經(jīng)過(guò)一系列校正點(diǎn). 對(duì)于航跡相關(guān)矩陣變量項(xiàng)施加了一些強(qiáng)制性的約束條件，如最終定位誤差的上限、進(jìn)行校正的條件等. 所有這些約束條件作為一個(gè)整體之后被轉(zhuǎn)換并施加到先前定義的變量矩陣，然后采用基于線性矩陣不等式的優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)了最小校正次數(shù)和最小行程長(zhǎng)度的雙重目標(biāo). 仿真結(jié)果驗(yàn)證了LMI方法的有效性，并且證明了該方法具有較少的校正次數(shù)和較短的航跡長(zhǎng)度. 在未來(lái)的研究中，我們將進(jìn)一步研究具有不確定性的航跡規(guī)劃.