伺服系統(tǒng)速度環(huán)控制器參數(shù)的自整定及優(yōu)化*

李方俊，王生捷

（北京機(jī)械設(shè)備研究所，北京 100854）

0 引言

由于較高的功率密度與穩(wěn)定的輸出轉(zhuǎn)矩，以永磁同步電機(jī)為基礎(chǔ)的交流伺服控制系統(tǒng)在工業(yè)生產(chǎn)中得到了廣泛的應(yīng)用。而速度環(huán)作為伺服控制系統(tǒng)中重要的中間控制環(huán)路，其決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度與魯棒能力，因此速度環(huán)控制器參數(shù)的設(shè)計(jì)影響著伺服系統(tǒng)的控制性能。常見的速度環(huán)自整定方法主要基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量直接決定了速度環(huán)控制器參數(shù)的大小，因此許多研究論文中速度環(huán)的控制器參數(shù)整定過程前常伴隨著轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的辨識(shí)過程。如文獻(xiàn)［1］中采用改進(jìn)加減速法對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行辨識(shí)，克服了傳統(tǒng)加減速法精度較差，負(fù)載慣量識(shí)別過程應(yīng)用場(chǎng)景受限的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［2］中利用朗道自適應(yīng)的辨識(shí)算法對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行辨識(shí)，并重點(diǎn)考量了噪聲對(duì)辨識(shí)過程的影響。文獻(xiàn)［3］利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器對(duì)永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)研究，取得了較高的辨識(shí)精度。但以上方法存在調(diào)試參數(shù)較多，算法實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜的特點(diǎn)。本文希望轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)潔，試參數(shù)少，且對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程無特別要求，采用遺忘因子遞推最小二乘法更加符合工程應(yīng)用的需要［4-6］。

考慮到伺服系統(tǒng)本身具有諸多的非線性因素，建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際系統(tǒng)不能完全匹配，辨識(shí)出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量仍包含有辨識(shí)誤差，故在數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上整定出來的控制器參數(shù)往往并非最優(yōu)結(jié)果，需要進(jìn)一步的優(yōu)化處理。如采用粒子群優(yōu)化及其改進(jìn)算法［7-8］，基于線性最優(yōu)二次型調(diào)節(jié)器（linear qua?dratic regulator，LQR）方法等，對(duì)辨識(shí)出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后的控制器參數(shù)進(jìn)行整定與優(yōu)化［9］。

然而，智能尋優(yōu)算法計(jì)算量大，且難以在MCU（micro control unit）中編程實(shí)現(xiàn)，基于模型的優(yōu)化算法也依賴數(shù)學(xué)模型建立的精確性。

因此，本文提出一種基于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)的速度環(huán)控制器參數(shù)自整定及優(yōu)化算法，即利用速度環(huán)數(shù)學(xué)模型，經(jīng)頻域分析推導(dǎo)出控制器參數(shù)后［10-11］，采用基于超調(diào)量和系統(tǒng)剛度的變步長(zhǎng)迭代尋優(yōu)算法，逐步完成對(duì)速度環(huán)控制器參數(shù)的整定和優(yōu)化過程。此方法不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，且實(shí)現(xiàn)過程簡(jiǎn)單直觀。通過仿真實(shí)驗(yàn)，證明了該方法的有效性。

1 速度環(huán)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)

1.1 速度環(huán)控制器數(shù)學(xué)模型

交流伺服系統(tǒng)的控制器結(jié)構(gòu)常由電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)構(gòu)成，永磁同步電機(jī)作為其重要的執(zhí)行單元，數(shù)學(xué)模型常表示為［12-13］

式中：Ld，Lq為d-q軸電感；R為電機(jī)電阻；Ud，Uq為電機(jī)d-q軸電壓；id，iq為d-q軸電流；ψf為電機(jī)轉(zhuǎn)子磁鏈；np為電機(jī)極對(duì)數(shù)；Te為電機(jī)電磁力矩；ωe為電機(jī)電角速度。對(duì)于表貼式永磁同步電機(jī)，系統(tǒng)常采用d軸參考電流指令= 0 的控制方式，故電機(jī)模型可簡(jiǎn)化為

因此交流伺服系統(tǒng)的電流環(huán)傳遞函數(shù)框圖可表示為如圖1 所示。

圖1 電流環(huán)傳遞函數(shù)框圖Fig.1 Block diagram of current loop transfer function

圖1中kcur_p為電流環(huán)PI 控制器的比例系數(shù)；τ=kcur_p/kcur_i，kcur_i為電流環(huán)控制器的積分系數(shù)；kpwm為逆變器增益，Tpwm為逆變器延時(shí)時(shí)間常數(shù)；T1為電流環(huán)濾波系數(shù)，可將圖1 中電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)表示為

將式（3）合并后略去高階項(xiàng)可簡(jiǎn)化為

式中：Tc=Lq/R為電氣時(shí)間常數(shù)；TΣ=Tpwm+T1，通常情況下電流環(huán)電氣時(shí)間常數(shù)較大，故常采用控制器零極點(diǎn)對(duì)消的方式將電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)校正為I型系統(tǒng)，令

則校正后電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中：K=kcur_pkpwmτR，其閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

按照二階系統(tǒng)最佳阻尼比K TΣ= 0.5，可得電流環(huán)控制器參數(shù)為［14-15］

由于速度環(huán)的帶寬遠(yuǎn)小于電流環(huán)的帶寬，故在速度環(huán)內(nèi)的電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)可簡(jiǎn)化為

伺服系統(tǒng)的速度環(huán)傳遞函數(shù)框圖可表示如圖2所示。

圖2 速度環(huán)傳遞函數(shù)框圖的Fig.2 Block diagram of speed loop transfer function

圖2中，kspd_p，kspd_i為速度環(huán)控制器比例、積分增益系數(shù)；kt為電機(jī)力矩系數(shù)，J為電機(jī)端等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，B為動(dòng)摩擦因數(shù)，T2為速度環(huán)濾波系數(shù)，則轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

合并略去高階項(xiàng)后可得

1.2 頻域法設(shè)計(jì)速度環(huán)控制器參數(shù)

本文采用頻域法分析速度環(huán)控制器參數(shù)的設(shè)計(jì)規(guī)則，在式（10）的基礎(chǔ)上，設(shè)定速度環(huán)開環(huán)截止頻率和相角裕度分別為ωsc，φss，可得到速度環(huán)的幅頻特性和相頻特性關(guān)系式為

可計(jì)算得到

2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)

從速度環(huán)控制器參數(shù)的設(shè)計(jì)規(guī)則可看出，欲完成自整定過程需已知系統(tǒng)電機(jī)軸端的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小。本文采用遺忘因子遞推最小二乘算法完成系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的辨識(shí)過程。首先依據(jù)永磁同步電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程

忽略掉動(dòng)摩擦因數(shù)的影響，對(duì)式（17）進(jìn)行離散化處理［16］：

式中：k為采樣時(shí)刻；T為采樣周期。假設(shè)采樣頻率較高，系統(tǒng)在相鄰2 個(gè)周期內(nèi)的擾動(dòng)力矩近似不變，根據(jù)（18）可得

令

則可根據(jù)如下的遺忘因子遞推最小二乘法完成轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的辨識(shí)過程：

3 控制器參數(shù)尋優(yōu)

將辨識(shí)出來的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量代入式（16）后即可完成交流伺服系統(tǒng)速度環(huán)的自整定過程，但由于系統(tǒng)建模過程中的簡(jiǎn)化以及存在的未建模動(dòng)態(tài)因素，因此自整定出來的速度環(huán)控制器參數(shù)往往并非最優(yōu)的系統(tǒng)控制參數(shù)，需要對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理。

本文設(shè)計(jì)了變步長(zhǎng)迭代算法對(duì)系統(tǒng)的控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理，其流程圖如圖3 所示。圖中kω1，kω2為速度波動(dòng)的上下限系數(shù)，用于限制參數(shù)初始優(yōu)化階段時(shí)轉(zhuǎn)速的調(diào)整范圍，避免轉(zhuǎn)速響應(yīng)過大且為后續(xù)的轉(zhuǎn)速調(diào)整保留余量；δ為速度反饋曲線的實(shí)際超調(diào)量，δspd為系統(tǒng)設(shè)置的超調(diào)量閾值。

圖3 迭代尋優(yōu)算法流程圖Fig.3 Procedural diagram of the iterative optimization algorithm

系統(tǒng)采用方波信號(hào)作為速度環(huán)的參考輸入指令，參數(shù)優(yōu)化流程如圖4 所示。系統(tǒng)根據(jù)變步長(zhǎng)迭代算法在轉(zhuǎn)速信號(hào)到達(dá)期間，對(duì)速度響應(yīng)超調(diào)量進(jìn)行計(jì)算并優(yōu)化控制器參數(shù)，下一個(gè)轉(zhuǎn)速信號(hào)到來時(shí)進(jìn)行下一輪迭代，直至得到滿足要求的控制器參數(shù)。

圖4 參數(shù)優(yōu)化過程Fig.4 Parameters optimization process

4 仿真結(jié)果及分析

本文針對(duì)所提出的算法在Matlab/Simulink 中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，所用永磁同步電機(jī)參數(shù)為：d-q軸電感Ld，q為6 mH，電 機(jī) 電 阻R為0.34 Ω，力 矩 系 數(shù)kt為0.579 N·m/A，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)量J為0.05 kg. m2，摩擦因數(shù)B為0.01 N·m·s，額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min；系統(tǒng)電流環(huán)控制周期為0.000 1 s，濾波系數(shù)為0.01，電流環(huán)控制器比例系數(shù)為0.3，積分系數(shù)為0.001 7。

首先在系統(tǒng)電流環(huán)工作條件下進(jìn)行電機(jī)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的辨識(shí)實(shí)驗(yàn)，給定系統(tǒng)斜率為1 A/s 的斜坡電流指令信號(hào)，RLS 辨識(shí)模塊中電流與轉(zhuǎn)速的采樣周期為0.000 5 s，遺忘因子λ為0.95，得到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)曲線如圖5 所示，大小為0.049 kg·m2，辨識(shí)誤差為2%，辨識(shí)時(shí)間為0.4 s 左右。隨后以2 倍大小變化系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，得到不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下系統(tǒng)的辨識(shí)曲線如圖6 所示。從圖6 中可看出遺忘因子遞推最小二乘法能準(zhǔn)確辨識(shí)出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，辨識(shí)時(shí)間長(zhǎng)短與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小呈正相關(guān)關(guān)系。

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)Fig.5 Inertia identification

圖6 變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)Fig.6 Variable inertia identification

依據(jù)辨識(shí)出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即可開始速度環(huán)控制器參數(shù)的自整定過程。設(shè)定系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.005 kg·m2，速度環(huán)開環(huán)頻率為電流環(huán)開環(huán)頻率的1/20，初始相角裕度按90°計(jì)算，計(jì)算可得速度環(huán)控制器自整定參數(shù)為：kspd_p= 0.423，kspd_i= 0，速度的上下限系數(shù)kω1，kω2為0.91和0.90。給定系統(tǒng)幅值為157 rad/s（約為電機(jī)額定轉(zhuǎn)速）的方波速度指令后，得到的速度響應(yīng)曲線如圖7所示。由于轉(zhuǎn)速上升過程中最大值為157 rad/s且存在小幅波動(dòng)，說明比例系數(shù)設(shè)置偏大。為減小剛度和為后續(xù)比例系數(shù)的小范圍調(diào)整留足余量，系統(tǒng)以步長(zhǎng)0.01逐步減小比例系數(shù)，最終得到kspd_p= 0.16的轉(zhuǎn)速曲線。過程中最大轉(zhuǎn)速大小為141.7 rad/s 且變化平穩(wěn)，穩(wěn)態(tài)誤差為15.7 rad/s。

圖7 比例系數(shù)初始標(biāo)定Fig.7 Proportion gain initial setting

現(xiàn)保持比例系數(shù)kspd_p= 0.16 不變，目標(biāo)轉(zhuǎn)速為157 rad/s，以速度環(huán)采樣周期（0.000 5 s）的10%為步長(zhǎng)逐漸增加控制系積分系數(shù)，系統(tǒng)超調(diào)量閾值為5%，如圖8 可以看到隨著積分系數(shù)的增加，轉(zhuǎn)速反饋曲線超調(diào)量增大，恢復(fù)穩(wěn)態(tài)的調(diào)整時(shí)間變短；而比例系數(shù)的相對(duì)增加能壓縮速度曲線的超調(diào)量，但會(huì)延長(zhǎng)調(diào)整時(shí)間，且比例和積分系數(shù)大小同時(shí)影響著系統(tǒng)的剛度。表1 為上述積分系數(shù)調(diào)整過程中系統(tǒng)超調(diào)量的變化。

圖8 積分系數(shù)調(diào)整Fig.8 Integral gain adjustment

表1 系統(tǒng)超調(diào)量變化Table1 System overshoot

針對(duì)如何調(diào)整系統(tǒng)的控制器參數(shù)使得轉(zhuǎn)速曲線超調(diào)量合適，調(diào)整時(shí)間短，魯棒性強(qiáng)，本文接下來采用小步長(zhǎng)迭代尋優(yōu)的算法尋找合適的控制器參數(shù)。以控制器參數(shù)kspd_p= 0.16，kspd_i= 0.000 35 為基準(zhǔn)（系統(tǒng)超調(diào)量為6.3%），為了進(jìn)一步增加系統(tǒng)的剛度和減小超調(diào)量，以當(dāng)前比例系數(shù)大小的5%~10%（本文選取為0.01）為步長(zhǎng)動(dòng)態(tài)增加kspd_p，得到的曲線如圖9 所示。直至系統(tǒng)超調(diào)量δ≤5%，此時(shí)比例系數(shù)kspd_p= 0.2，進(jìn)一步增加比例系數(shù)會(huì)仍會(huì)增加系統(tǒng)的剛度，但過大的kspd_p會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間延長(zhǎng)，甚至引起系統(tǒng)的抖動(dòng)，故目前得到的尋優(yōu)參數(shù)kspd_p= 0.2，kspd_i= 0.000 35，既能保證系統(tǒng)的快速響應(yīng)能力也能提高系統(tǒng)的魯棒性。

圖9 比例系數(shù)調(diào)整Fig.9 Proportion gain adjustment

如圖10 所示，為檢驗(yàn)尋優(yōu)參數(shù)的抗擾能力，給定系統(tǒng)157 rad/s 的階躍轉(zhuǎn)速指令信號(hào)，系統(tǒng)在10 s時(shí)施加大小為10 N·m 的擾動(dòng)力矩，可得到如表2 所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從表中實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出，經(jīng)過小步長(zhǎng)迭代處理后的控制器參數(shù)抗擾能力增強(qiáng)，轉(zhuǎn)速波動(dòng)量大小相較于之前明顯降低。

圖10 系統(tǒng)加載測(cè)試Fig.10 System load test

表2 系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波動(dòng)Table2 System speed fluctuation

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)交流伺服系統(tǒng)速度環(huán)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)的需求，提出了一種基于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)的參數(shù)自整定及優(yōu)化策略。仿真結(jié)果表明：遺忘因子遞推最小二乘法能有效辨識(shí)出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為后續(xù)控制器參數(shù)初值的選取提供了參考。本文設(shè)計(jì)的變步長(zhǎng)迭代尋優(yōu)算法能有效完成控制器參數(shù)的整定及尋優(yōu)過程，系統(tǒng)速度響應(yīng)曲線超調(diào)量小，魯棒性強(qiáng)，具有一定的工程實(shí)用性。