返璞歸真 直觀(guān)想象
——立體幾何中的截面問(wèn)題

?安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué) 于飛洋

1 引言

用一個(gè)平面(或不共線(xiàn)的三點(diǎn)、兩平行直線(xiàn)等)去截空間幾何體，此平面與空間幾何體的交集叫做這個(gè)空間幾何體的截面.涉及立體幾何中空間幾何體的截面問(wèn)題，溝通“二維”與“三維”之間的聯(lián)系，鏈接起空間幾何體中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面等要素“動(dòng)”與“靜”之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“平面”與“立體”之間的轉(zhuǎn)化，是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見(jiàn)的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，創(chuàng)新新穎，應(yīng)用性強(qiáng)，備受關(guān)注．

2 截面問(wèn)題探究

2.1 截面作圖

圖1

例1如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在A(yíng)B，BC，DD1上，求作過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面．

分析：從底面ABCD入手，確定直線(xiàn)EF與兩個(gè)側(cè)面AA1D1D和DD1C1C的交點(diǎn)情況，再通過(guò)連接相應(yīng)的交點(diǎn)與點(diǎn)G的連線(xiàn)，進(jìn)一步確定相應(yīng)直線(xiàn)在正方體中的交點(diǎn)情況，從而得到對(duì)應(yīng)的截面．

圖2

作法：如圖2，①在底面ABCD內(nèi)，過(guò)E，F(xiàn)作直線(xiàn)EF，分別與DA，DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于L，M；

②在側(cè)面AA1D1D內(nèi)，連接LG交AA1于K；

③在側(cè)面DD1C1C內(nèi)，連接GM交CC1于H；

④連接KE，F(xiàn)H，則五邊形EFHGK即為所求的截面．

點(diǎn)評(píng):此類(lèi)涉及空間幾何體的截面作圖問(wèn)題，破解的關(guān)鍵就是要“心中有圖”，要求學(xué)生要有比較強(qiáng)的空間想象能力，結(jié)合對(duì)應(yīng)的條件加以數(shù)形結(jié)合，直觀(guān)想象．空間幾何體的截面作圖也為立體幾何中的其他截面問(wèn)題的分析與處理提供理論基礎(chǔ)與條件．

2.2 截面判斷

圖3

例2(多選題)如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線(xiàn)段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是( ).

圖4

圖5

故選擇答案：ABC．

點(diǎn)評(píng):此類(lèi)涉及空間幾何體的截面形狀以及相關(guān)幾何性質(zhì)的判斷問(wèn)題，破解的關(guān)鍵是利用條件作出對(duì)應(yīng)的截面圖形，綜合線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)加以分析與推理，同時(shí)數(shù)形結(jié)合，直觀(guān)想象，合理確定截面幾何圖形所滿(mǎn)足的特征性質(zhì)，得以確定相應(yīng)的截面圖形的形狀或幾何性質(zhì)等．

2.3 截面面積

例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為2，用一個(gè)平面截此棱柱，與側(cè)棱AA1，BB1，CC1分別交于點(diǎn)M，N，Q，若△MNQ為直角三角形，則△MNQ面積的最小值為( ).

分析：通過(guò)引入?yún)?shù)設(shè)出相應(yīng)的邊，結(jié)合正三棱柱的特征以及直角三角形的性質(zhì)，找到相關(guān)邊之間的等量關(guān)系式，借助三角形面積公式加以代數(shù)轉(zhuǎn)化得到相應(yīng)的關(guān)系式，利用代數(shù)關(guān)系式的特征，直接利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)分析．

圖6

解析：如圖6所示，不妨設(shè)點(diǎn)N在點(diǎn)B處，設(shè)|AM|=h，|CQ|=m，不失一般性，設(shè)0

則有|MN|2=h2+4，|NQ|2=m2+4，|MQ|2=(h-m)2+4.

結(jié)合判別式Δ=h2-8≥0，則有h2≥8，且h≤4，即

8≤h2≤16.

=1+h2.

因?yàn)?≤h2≤16，所以S2=1+h2∈[9，17].

故選擇答案：A．

點(diǎn)評(píng):此類(lèi)涉及空間幾何體的截面所對(duì)應(yīng)的面積最值問(wèn)題，破解時(shí)一方面可以“動(dòng)”中取“靜”，確定極端情況時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，利用直觀(guān)想象與數(shù)形結(jié)合加以分析與處理；一方面可以引入?yún)?shù)(或角參或邊參)，結(jié)合條件構(gòu)建截面所對(duì)應(yīng)的面積關(guān)系式，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以分析與處理．

2.4 體積問(wèn)題

例4如圖7所示，有一容積為1立方單位的正方體容器ABCD-A1B1C1D1，若在棱AB，BB1及對(duì)角線(xiàn)B1C的中點(diǎn)各有一小孔E，F(xiàn)，G，且此容器可以任意放置，則該容器可裝水的最大容積是( ).

圖7

圖8

分析：先通過(guò)過(guò)E，B1，G三點(diǎn)的截面來(lái)確定對(duì)應(yīng)的三棱錐，并求解此時(shí)三棱錐的體積，結(jié)合空間幾何體的性質(zhì)分析此時(shí)即為滿(mǎn)足條件的該容器可裝水的最大容積，進(jìn)而得以求解最大容積問(wèn)題．

故選擇答案：C．

點(diǎn)評(píng):此類(lèi)涉及空間幾何體的截面分隔開(kāi)來(lái)的幾何體的體積問(wèn)題，破解的關(guān)鍵是確定滿(mǎn)足條件的截面以及所分隔開(kāi)來(lái)的幾何體所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)等數(shù)量信息，綜合空間幾何體的體積關(guān)系或體積公式來(lái)綜合應(yīng)用與處理．

3 結(jié)語(yǔ)

其實(shí)，破解涉及立體幾何中空間幾何體的截面問(wèn)題，合理利用平面的性質(zhì)確定截面形狀，其中確定截面的主要依據(jù)包括：平面的四個(gè)公理及推論，直線(xiàn)和平面平行的判定和性質(zhì)，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)以及球的截面的性質(zhì)等.結(jié)合平面幾何圖形的性質(zhì)特征來(lái)分析與轉(zhuǎn)化是解決相應(yīng)截面問(wèn)題的關(guān)鍵．Z