美妙的特征數(shù)

■李大順

特征數(shù)指的是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)、標準差或方差,為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律,通過對樣本數(shù)據(jù)的研究來比較全面地認識和估計總體,進而使我們能從整體上更好地把握總體的規(guī)律、對總體作出合理的推斷與決策,初步體會、領(lǐng)悟“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計思想方法。

一、眾數(shù)

例1 某班50名學(xué)生的一次安全知識競賽成績分布如表1所示(滿分10分)。

表1

這次安全知識競賽成績的眾數(shù)是( )。

A.10 B.9

C.8 D.6

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。由表中數(shù)據(jù)可知,成績9分出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)是9。應(yīng)選B。

評注:眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)。眾數(shù)可以有兩個或兩個以上。

二、中位數(shù)

例2 某校舉行“社會主義核心價值觀”演講比賽,學(xué)校對30名參賽選手的成績進行了分組統(tǒng)計,結(jié)果如表2所示。

表2

由上可知,參賽選手分數(shù)的中位數(shù)所在的分數(shù)段為( )。

A.5≤x<6 B.6≤x<7

C.7≤x<8 D.8≤x<9

已知數(shù)據(jù)共有30 個數(shù),中位數(shù)是第15,16個數(shù)的平均數(shù),而第15,16個數(shù)所在分數(shù)段均為6≤x<7,所以參賽選手分數(shù)的中位數(shù)所在的分數(shù)段為6≤x<7。應(yīng)選B。

評注:中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于中間位置的數(shù)。如果這組數(shù)據(jù)是偶數(shù),則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)。

三、平均數(shù)

例3 期中考試后,班長算出全班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的平均分為M,如果把M當成一個同學(xué)的分數(shù),再與原來的40個分數(shù)一起,算出這41 個同學(xué)的平均分為N,那么M∶N=( )。

評注:平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的重要數(shù)字特征,平均數(shù)越大表明數(shù)據(jù)的平均水平越高,平均數(shù)越小表明數(shù)據(jù)的平均水平越低。由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì)。

四、百分位數(shù)

例4 一個容量為20的樣本,其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75 百分位數(shù)為____,第86 百分位數(shù)為____。

因 為50% ×8=4,所 以50%分位數(shù)是(x+17)÷2=16,解得x=15。

因為75%×8=6,所以75%分位數(shù)是(y+22)÷2=20,解得y=18。

評注:計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的三個步驟:第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù);第2步,計算i=n×p%;第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù),若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

五、方差或標準差

例6 樣本中共有5個個體,其值分別為a,0,1,2,3。若該樣本的平均數(shù)為1,則樣本方差為( )。

評注:方差或標準差是描述一組數(shù)據(jù)的波動性大小,方差或標準差越小,這組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

六、特征數(shù)的綜合運用

評注:理解平均數(shù),中位數(shù),方差或標準差的含義是解題的關(guān)鍵。

1.一組觀察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別是3,2,4,2,則樣本平均數(shù)為( )。

A.4.55 B.4.5

C.12.5 D.1.64

2.從某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中,任意抽取12件,得到它們的質(zhì)量(單位:kg)如下:

7.9,9,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8。

求這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)。

提示:這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為7.8,7.9,8,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9,9.9。