面向軸孔類零件圓度誤差評(píng)定的改進(jìn)式最小區(qū)域圓法

宋 慈 焦 黎 王西彬 劉志兵 陳 暉

北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京，100081

0 引言

隨著現(xiàn)代裝備制造業(yè)的高速發(fā)展，高精度軸孔類零件被廣泛應(yīng)用于航空、船舶、冶金和汽車等各個(gè)領(lǐng)域，其加工質(zhì)量將對產(chǎn)品的幾何精度、疲勞極限和穩(wěn)定性等諸多方面產(chǎn)生巨大影響。圓度是研究圓柱度、同軸度等其他形狀誤差的基礎(chǔ)以及評(píng)價(jià)軸孔類零件加工質(zhì)量的重要技術(shù)指標(biāo)。對于發(fā)動(dòng)機(jī)氣缸等應(yīng)用于嚴(yán)格軸孔配合場合的軸孔類零件，其圓度變化會(huì)導(dǎo)致軸孔配合不緊密，降低能量轉(zhuǎn)換效率；對于冶金輥?zhàn)拥确桥浜霞?，孔圓度變化會(huì)使冷卻道形狀不規(guī)則，造成其表面溫度分布不均勻，影響輥?zhàn)拥睦鋮s性能。因此，對軸孔類零件的圓度進(jìn)行可靠測量與精準(zhǔn)評(píng)定，是確保零件精度要求的重要基礎(chǔ)。

軸孔類零件的圓度誤差的測量過程實(shí)際上是使用測量設(shè)備獲取被測截面實(shí)際輪廓信息的過程。隨著傳感、光電、電磁、圖像等技術(shù)的快速發(fā)展，眾多學(xué)者和商業(yè)公司開發(fā)出了多種適用于圓度測量的高精度測量設(shè)備，如三坐標(biāo)測量機(jī)、聲發(fā)射測頭[1]、電容測頭[2]、光電二極管[3]、激光傳感器[4-6]和CCD相機(jī)[7]等。這些新興技術(shù)和測量設(shè)備的出現(xiàn)確保了軸孔類零件圓度測量過程可以高效、精確地進(jìn)行。

對測量得到的點(diǎn)集進(jìn)行誤差評(píng)定是獲得形狀誤差數(shù)值的關(guān)鍵。面向同一組測量數(shù)據(jù)，使用不同的誤差評(píng)定方法會(huì)得到不同的評(píng)定結(jié)果，然而，當(dāng)前大多數(shù)測量系統(tǒng)配備的誤差評(píng)定算法并不足以提供精確的誤差值。評(píng)定方法精度不足會(huì)將合格零件誤判為不合格零件，進(jìn)而影響生產(chǎn)效率，加大制造成本。制造精密化的目標(biāo)使得全制造業(yè)對誤差評(píng)定方法的精度要求越來越高，因此，開發(fā)符合誤差定義的、高精度的評(píng)定方法是誤差評(píng)定領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。

圓度誤差評(píng)定的4種基本方法是：最小二乘圓(least squares circle, LSC)法、最小外接圓(minimum circumscribed circle, MCC)法、最大內(nèi)接圓(maximum inscribed circle, MIC)法與最小區(qū)域圓(minimum zone circle, MZC)法。四種方法中，沒有任何一種方法具有通用性，不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)集都有其適用的方法[8]。從誤差定義符合程度看，最小區(qū)域圓法是最優(yōu)的評(píng)定準(zhǔn)則，但最小區(qū)域的構(gòu)建并沒有統(tǒng)一的方法，例如：LI等[9-11]提出最小區(qū)域線的概念，并將其作為最小區(qū)域圓的控制線；GADELMAWLA[12]通過建立凸包，利用圓弧半徑的大小關(guān)系依次去除測量點(diǎn)集中的無效點(diǎn)，在剩余的點(diǎn)集中循環(huán)搜索，搜索出了MZC的控制點(diǎn)；LEI等[13]在最小二乘圓心附近設(shè)置圓形區(qū)域，利用提出的極坐標(biāo)變換算法(PCTA)，得到MZC中心點(diǎn)；GOCH等[14]利用改進(jìn)切比雪夫算法逼近幾何元素，得到了最大內(nèi)接單元和最小外接單元。但是總體來看，多數(shù)方法仍然存在計(jì)算過程復(fù)雜、效率低、最小區(qū)域不準(zhǔn)確以及精度不足等問題。

為此，本文提出了一種面向軸孔類零件圓度誤差評(píng)定的改進(jìn)式最小區(qū)域圓法。本文根據(jù)文獻(xiàn)[15]MCC、MIC與MZC 3種方法的控制點(diǎn)相互聯(lián)系的研究，將最小區(qū)域的求解問題轉(zhuǎn)換為MCC和MIC控制點(diǎn)的確定問題。通常來講，MCC和MIC控制點(diǎn)的求解分別需要構(gòu)造外凸包點(diǎn)集和內(nèi)凸包點(diǎn)集[8]，以簡化計(jì)算量、獲取符合要求的測量點(diǎn)。但該構(gòu)造過程極其復(fù)雜，特別是內(nèi)凸包點(diǎn)集的“不唯一性”會(huì)對評(píng)定結(jié)果造成很大的不確定性。本文所提出的方法以測量點(diǎn)間的距離為判定依據(jù)，遵循多邊形去除法則，在無需求解凸包點(diǎn)集的情況下，精準(zhǔn)地確定MCC和MIC控制點(diǎn)，進(jìn)而得到測量點(diǎn)集的最小區(qū)域。

1 圓度誤差評(píng)定

圓度是指回轉(zhuǎn)體零件某一橫截面的實(shí)際被測輪廓與其理想輪廓的變動(dòng)量，即工件截面趨近圓的程度。圓度誤差指同一截面上包容被測輪廓的兩個(gè)最小同心圓的半徑之差[16]。如圖1所示，Mc為實(shí)際被測輪廓，Zc為最小包絡(luò)同心圓，其半徑差f即為圓度誤差。因此，圓度誤差評(píng)定的過程就是求解參考圓及其圓心的過程[17]。

圖1 圓度誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of roundness error

1.1 改進(jìn)式最小區(qū)域圓法

最小區(qū)域圓法以測量點(diǎn)集的最小區(qū)域圓的圓心來評(píng)定圓度誤差。測量點(diǎn)集的最小區(qū)域圓指滿足以下條件的兩個(gè)同心圓：①所有測量點(diǎn)都在兩同心圓上或在兩者之間；②兩同心圓半徑差最小。其判定準(zhǔn)則為：由兩同心圓包容測量點(diǎn)集時(shí)，至少有內(nèi)、外相間的四點(diǎn)與同心圓接觸，并且外圓上兩點(diǎn)連線與內(nèi)圓上兩點(diǎn)連線相交，稱為相交準(zhǔn)則。根據(jù)最小外接圓、最大內(nèi)接圓與最小區(qū)域圓之間的關(guān)系[15]，最小區(qū)域圓的控制點(diǎn)可通過最小外接圓與最大內(nèi)接圓的控制點(diǎn)進(jìn)行求解。

最小外接圓和最大內(nèi)接圓的構(gòu)建過程遵循銳角三角形或?qū)綔?zhǔn)則，即：在求解圓上有三點(diǎn)與測量點(diǎn)集接觸，該三點(diǎn)組成銳角三角形；或只有兩點(diǎn)與測量點(diǎn)集接觸，此時(shí)兩點(diǎn)的中點(diǎn)為求解圓的圓心。因此，最小區(qū)域圓的兩個(gè)外控制點(diǎn)可以從最小外接圓的控制點(diǎn)中選取，兩個(gè)內(nèi)控制點(diǎn)可以從最大內(nèi)接圓的控制點(diǎn)中選取。

1.2 最小區(qū)域圓法評(píng)定圓度誤差的評(píng)定過程

1.2.1確定最小外接圓控制點(diǎn)

對于給定測量點(diǎn)集Pi(xi,yi),i=1,2,…,n，按下式計(jì)算點(diǎn)集的中心點(diǎn)Ooch(xoch,yoch)：

(1)

依次計(jì)算點(diǎn)集Pi中各點(diǎn)與Ooch的距離，得到與Ooch相距最遠(yuǎn)的點(diǎn)P1，連接直線P1Ooch；分別搜索該直線兩側(cè)與直線距離最大的點(diǎn)P2和P3，對應(yīng)距離分別為d1max和d2max，如圖2a所示。點(diǎn)P2、P3與P1共同組成一個(gè)三角形，按下式判斷所構(gòu)成三角形是否為鈍角三角形：

(2)

若為鈍角三角形，則以三角形最長邊為直徑、最長邊的中點(diǎn)為圓心作外接圓。如果所作外接圓包容凸包點(diǎn)集，那么所作外接圓為測量點(diǎn)集的最小外接圓；如果所作外接圓不能包容凸包點(diǎn)集，那么求解最長邊兩側(cè)與其相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，與最長邊構(gòu)成四邊形。在四邊形中，依次計(jì)算過相鄰三點(diǎn)的圓弧半徑，去除最大圓弧半徑值對應(yīng)的點(diǎn)，構(gòu)成新三角形。重復(fù)上述步驟，直至所構(gòu)成的三角形外接圓能包容凸包點(diǎn)集，此時(shí)所作外接圓即為測量點(diǎn)集的最小外接圓。

若為銳角三角形，則按下式計(jì)算經(jīng)過三點(diǎn)的外接圓的圓心O′(cx,cy)與半徑Rr：

(3)

A=x1(y2-y3)-y1(x2-x3)+x2y3-x3y2

如果所作外接圓包容凸包點(diǎn)集，那么所作外接圓為測量點(diǎn)集的最小外接圓；如果所作外接圓不能包容凸包點(diǎn)集，那么求解與圓心最遠(yuǎn)距離的點(diǎn)，并與三角形三個(gè)頂點(diǎn)組成四邊形。如圖2b所示，某次計(jì)算過程中，△P1P2P3為銳角三角形且有測量點(diǎn)在所作外接圓外部，則搜索與圓心距離最大的點(diǎn)P4，對應(yīng)距離為dismax。P4和△P1P2P3三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形P1P2P4P3，如圖2c所示。在四邊形中，依次計(jì)算相鄰三點(diǎn)的圓弧半徑，去除最大圓弧半徑值對應(yīng)的點(diǎn)，構(gòu)成新三角形。重復(fù)上述步驟，直至所構(gòu)成的三角形外接圓能包容凸包點(diǎn)集，此時(shí)所作外接圓即為測量點(diǎn)集的最小外接圓，圓心為Omcc，半徑為rmcc。

所求最小外接圓對應(yīng)的三角形頂點(diǎn)P′1、P′2和P′3即為最小外接圓的控制點(diǎn)，如圖2d所示。

1.2.2確定最大內(nèi)接圓控制點(diǎn)

對于同樣一個(gè)測量點(diǎn)集Pi(xi,yi),i=1,2,…,n，按式(2)計(jì)算測量點(diǎn)集的中心點(diǎn)Op，依次求解點(diǎn)集中各點(diǎn)與Op的距離，得到與Op距離最小的點(diǎn)P5，連接直線P5Op。然后，分別搜索該直線兩側(cè)與直線距離最小的點(diǎn)P6和P7，對應(yīng)距離分別為d1min和d2min，如圖3a所示，與點(diǎn)P5共同組成三角形。按式(2)判斷所構(gòu)成三角形是否為鈍角三角形。

(a)搜索P1Ooch兩側(cè)與其距離最大點(diǎn)P2和P3(b)搜索與外接圓圓心O′距離最大點(diǎn)P4

(c)將點(diǎn)P4加入三角形組成四邊形(d)最小外接圓的控制點(diǎn)P′1、P′2和P′3圖2 最小外接圓控制點(diǎn)的搜索過程Fig.2 Search process of control points of minimumcircumscribed circle

若為鈍角三角形，則以三角形最長邊為直徑、最長邊的中點(diǎn)為圓心作外接圓。如果所有測量點(diǎn)均在所作外接圓上或外部，那么所作外接圓為測量點(diǎn)集的最大內(nèi)接圓；如果有測量點(diǎn)在所作外接圓內(nèi)部，那么求解最長邊兩側(cè)與其距離最小的兩點(diǎn)，與最長邊兩點(diǎn)構(gòu)成四邊形。如圖3b所示，某次計(jì)算過程中，△P5P6P8為鈍角三角形且有測量點(diǎn)在所作外接圓內(nèi)部，則求解最長邊P6P8兩側(cè)與其距離最小的兩點(diǎn)P5和P9，對應(yīng)距離分別為dis3min和dis4min。點(diǎn)P5和P9與最長邊P6P8構(gòu)成四邊形P5P6P9P8，如圖3c所示。在四邊形中，依次計(jì)算過相鄰三點(diǎn)的圓弧半徑，去除最小圓弧半徑值對應(yīng)的點(diǎn)，構(gòu)成新三角形。重復(fù)上述步驟，直至所有測量點(diǎn)均在所構(gòu)成的三角形外接圓上或外部，此時(shí)所作外接圓即為測量點(diǎn)集的最大內(nèi)接圓，圓心為Omic，半徑為rmic。

若為銳角三角形，則按式(3)計(jì)算經(jīng)過三點(diǎn)的外接圓的圓心與半徑。如果所有測量點(diǎn)均在所作外接圓上或外部，那么所作外接圓為測量點(diǎn)集的最大內(nèi)接圓；如果有測量點(diǎn)在所作外接圓內(nèi)部，那么求解與圓心距離最小的點(diǎn)，與三角形三個(gè)頂點(diǎn)組成四邊形。依次計(jì)算四邊形相鄰三點(diǎn)的圓弧半徑，去除最小圓弧半徑值對應(yīng)的點(diǎn)，構(gòu)成新三角形。重復(fù)上述步驟，直至所有測量點(diǎn)均在所構(gòu)成的三角形外接圓上或外部，此時(shí)所作外接圓即為測量點(diǎn)集的最大內(nèi)接圓。

所求最大內(nèi)接圓對應(yīng)的三角形頂點(diǎn)P″1、P″2和P″3即為最大內(nèi)接圓的控制點(diǎn)，如圖3d所示。

(a)搜索P5Op兩側(cè)與其距離最小的點(diǎn)P6和P7(b)搜索最長邊P6P8兩側(cè)與其距離最小點(diǎn)P5和P9

(c)點(diǎn)P5、P6與P9、P8構(gòu)成四邊形(d)最大內(nèi)接圓的控制點(diǎn)P″1、P″2和P″3圖3 最大內(nèi)接圓控制點(diǎn)的搜索過程Fig.3 Search process of control points of maximuminscribed circle

1.2.3確定最小區(qū)域圓控制點(diǎn)

如圖4a所示，對于點(diǎn)集Pi(xi,yi),i=1,2,…,n，將最小外接圓控制點(diǎn)P′1、P′2、P′3存入外控制點(diǎn)集Cmax中，將最大內(nèi)接圓控制點(diǎn)P″1、P″2、P″3存入內(nèi)控制點(diǎn)集Cmin中，從Cmax與Cmin中各任意選擇兩點(diǎn)構(gòu)建同心圓。

設(shè)每次從Cmax中選擇的點(diǎn)坐標(biāo)為Pα1(x1,y1)，Pα2(x2,y2)，從Cmin中選擇的點(diǎn)坐標(biāo)為Pβ1(x3,y3)，Pβ2(x4,y4)。按下式計(jì)算同心圓圓心坐標(biāo)(xx,yy)：

(4)

其中，k1為直線Pα1Pα2的斜率;k2為直線Pβ1Pβ2的斜率;x1mid、y1mid分別為點(diǎn)Pα1與Pα2中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo);x2mid、y2mid分別為點(diǎn)Pβ1和Pβ2中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

計(jì)算每種情況下構(gòu)建的兩同心圓能否包容Cmax與Cmin中所有的測量點(diǎn)。如圖4b所示，當(dāng)構(gòu)建的兩同心圓可以包容全部Cmax與Cmin中的測量點(diǎn)時(shí)，選擇半徑差最小的兩同心圓對應(yīng)的Pα1、Pα2、Pβ1與Pβ2進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。將Pα1、Pα2存入點(diǎn)集Dmax中，Pβ1、Pβ2存入Dmin中。計(jì)算同心圓的半徑rout、rin與測量點(diǎn)集Pi(xi,yi)中各點(diǎn)到同心圓圓心的距離di。如圖4c所示，若dmax>rout，則dmax對應(yīng)的測量點(diǎn)加入Dmax中；若dmin

(a)內(nèi)外控制點(diǎn)集 (b)包容內(nèi)外控制點(diǎn)

(c)dmin對應(yīng)測點(diǎn)加入Dmin (d)圓度誤差評(píng)定圖4 最小區(qū)域圓控制點(diǎn)的搜索過程Fig.4 Search process of control points ofminimum zone circle

1.2.4誤差評(píng)定

最小區(qū)域圓法評(píng)定的圓度誤差

fmzc=rout-rin

(5)

2 控制點(diǎn)有效性分析

為驗(yàn)證所提出的MCC和MIC控制點(diǎn)求解方法以及MZC控制點(diǎn)構(gòu)建模式的有效性與準(zhǔn)確性，分別使用LSC、優(yōu)化的MCC、優(yōu)化的MIC和改進(jìn)式MZC等方法對文獻(xiàn)[15]中表3、表5和表7的點(diǎn)集數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)定，結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5 文獻(xiàn)[15]中表3數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果Fig.5 Evaluation results of tab.3 in literature [15]

圖6 文獻(xiàn)[15]中表5數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果Fig.6 Evaluation results of tab.5 in literature [15]

圖7 文獻(xiàn)[15]中表7數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果Fig.7 Evaluation results of tab.7 in literature [15]

最小二乘圓有2個(gè)控制點(diǎn)，最小外接圓有3個(gè)控制點(diǎn)，最大內(nèi)接圓有3個(gè)控制點(diǎn)，最小區(qū)域圓有4個(gè)控制點(diǎn)。該結(jié)果與理論相符，LSC法需要內(nèi)、外2個(gè)極限距離的控制點(diǎn)，MCC與MIC法需要3個(gè)(或2個(gè))頂點(diǎn)構(gòu)建最小外接圓或最大內(nèi)接圓，MZC法需要內(nèi)、外各2個(gè)控制點(diǎn)確定同心圓。

對于MCC和MIC法，優(yōu)化前后獲得的誤差值基本保持一致；在面向某些點(diǎn)集數(shù)據(jù)時(shí)，優(yōu)化后的方法甚至獲得了更小的誤差值。更小的誤差評(píng)定值對應(yīng)的評(píng)定方法被視作更好的方法，這是因?yàn)樵摲椒ǐ@得了更小的符合圓度誤差定義的最小區(qū)域。因此，優(yōu)化后的方法在求解MCC和MIC控制點(diǎn)方面展現(xiàn)出了更好的競爭力。同樣地，與文獻(xiàn)[15]中的MZC法相比，使用本文提出的改進(jìn)式最小區(qū)域圓法獲得了相同或更小的誤差值，這意味著該方法在測量截面上搜索到了更好的最小區(qū)域。由此表明，構(gòu)建MZC控制點(diǎn)的模式以及搜索得到的最小區(qū)域圓是有效的。

3 測量數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差對誤差結(jié)果的影響

軸孔類零件圓度誤差的獲取分為數(shù)據(jù)測量和數(shù)據(jù)評(píng)定兩個(gè)過程。改進(jìn)式最小區(qū)域圓法每一步搜索得到的幾何值均為確定極值，因此，在面向同一測量數(shù)據(jù)點(diǎn)集時(shí)，由該評(píng)定方法計(jì)算的誤差結(jié)果具有唯一性。然而，由于數(shù)據(jù)測量過程具有不可避免的隨機(jī)誤差，因此在對某一確定測量截面進(jìn)行采樣時(shí)，每次獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)集在空間中的分布情況都是不同的。最小區(qū)域圓定義為包絡(luò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)集的兩個(gè)最小同心圓，這導(dǎo)致所有基于最小區(qū)域圓原理的誤差評(píng)定方法均會(huì)受到樣點(diǎn)分布情況的影響。換言之，測量數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差會(huì)給評(píng)定結(jié)果造成一定的不確定性，使其在一定數(shù)值范圍內(nèi)波動(dòng)。

為探究測量數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差對評(píng)定結(jié)果的影響規(guī)律，在MATLAB 2018b軟件平臺(tái)上對直徑100 mm的理想圓線進(jìn)行離散化處理，分別獲得n為50、100、200、500和1000個(gè)理想離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，并依次對不同數(shù)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)集引入均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.1、0.01或0.001的正態(tài)分布隨機(jī)變量，以模擬測量數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差。在某一樣點(diǎn)數(shù)量和某一標(biāo)準(zhǔn)差的狀態(tài)下，連續(xù)運(yùn)行10次，獲取10組不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)集，使用改進(jìn)式最小區(qū)域圓法進(jìn)行誤差評(píng)定，評(píng)定結(jié)果如圖8所示。分別對10組誤差結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，平均值A(chǔ)和方差V如圖9所示。

圖8 誤差評(píng)定結(jié)果Fig.8 Evaluation results of errors

(a)σ=0.1

(b)σ=0.01

(c)σ=0.001圖9 誤差結(jié)果的平均值和方差Fig.9 Average and variance of error results

隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差主要取決于采樣設(shè)備的測量精度。在相同的標(biāo)準(zhǔn)差下，樣點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加會(huì)使誤差結(jié)果的方差減??；在相同的樣點(diǎn)個(gè)數(shù)下，隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差的減小會(huì)使誤差結(jié)果的平均值顯著減小。這說明，通過增加采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)以及提高測量設(shè)備精度的方式，可以有效降低隨機(jī)誤差對誤差測量、評(píng)定過程的影響。

4 誤差測量與評(píng)定實(shí)驗(yàn)

由于本文提出的圓度誤差評(píng)定方法是面向軸孔類零件的，故使用Hexagon Global Advantage三坐標(biāo)測量機(jī)對管狀零件的內(nèi)外表面進(jìn)行測量，并分別將其內(nèi)外表面的測量樣點(diǎn)作為孔、軸類零件直線度誤差評(píng)定的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。該三坐標(biāo)測量機(jī)行程范圍為500 mm×700 mm×500 mm，測量精度為(2.5+3.0L/1000)μm，其中L為測量范圍。測量環(huán)境溫度為20 ℃，相對濕度為70%，無冷凝，供氣壓力為0.5 MPa。采用的測頭型號(hào)為TIP2BY球形，其校正誤差為0.0008 mm。對內(nèi)徑85 mm、外徑100 mm、高200 mm的管狀零件的下底面做磨削處理，以保證該底面具有較好的平面度。然后，將零件置于三坐標(biāo)測量機(jī)的大理石平臺(tái)上，以其下底面為oxy平面，構(gòu)建測量坐標(biāo)系，采樣現(xiàn)場如圖10a所示。如圖10b所示，在零件內(nèi)外表面沿z軸方向等間距確定11個(gè)測量截面，在每個(gè)測量截面進(jìn)行等間隔采樣。采樣路徑如圖10c所示，遵循路徑最短原則，保證測量效率。

(a)采樣現(xiàn)場 (b)采樣模式 (c)采樣路徑圖10 測量實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.10 Schematic diagram of measurement experiment

分別使用LSC方法、文獻(xiàn)[15]中的MZC方法與改進(jìn)式MZC方法對管狀零件內(nèi)外表面的圓度誤差進(jìn)行評(píng)定，評(píng)定結(jié)果見圖11與圖12。

圖11 內(nèi)表面圓度誤差評(píng)定結(jié)果Fig.11 Evaluation results of roundness errors of inner surface

圖12 外表面圓度誤差評(píng)定結(jié)果Fig.12 Evaluation results of roundness errors of outer surface

可以看出，相較于最小二乘圓法，最小區(qū)域圓法在處理不同數(shù)據(jù)時(shí)，均能保持最優(yōu)的評(píng)定精度，這主要是由于后者最符合圓度誤差標(biāo)準(zhǔn)中的最小區(qū)域原則。而與文獻(xiàn)[15]中的MZC法相比，改進(jìn)式最小區(qū)域圓法均獲得了相同或更小的誤差值，具有更好的評(píng)定精度。這說明改進(jìn)式最小區(qū)域圓法適用于軸孔類零件圓度誤差的評(píng)定過程，且具有良好的準(zhǔn)確性。

5 相關(guān)特性分析

5.1 不確定度

由式(5)可知，改進(jìn)式最小區(qū)域圓法計(jì)算得到的圓度誤差可進(jìn)一步表示為

(6)

其中，(xout,yout)、(xin,yin)分別為位于最小區(qū)域圓上的外控制點(diǎn)、內(nèi)控制點(diǎn)。

根據(jù)GPS標(biāo)準(zhǔn)給出的不確定度理論[18]，確定圓度誤差模型中各元素(xout、yout、xin、yin、xx、yy)的不確定度、傳遞系數(shù)以及彼此間的相關(guān)系數(shù)，是求解圓度誤差值不確定度的基礎(chǔ)。各元素的傳遞系數(shù)由誤差值對各元素的偏導(dǎo)數(shù)表示，則圓度誤差的不確定度uf為

(7)

其中，u0、ux、uy、uxy分別為樣點(diǎn)坐標(biāo)值的單點(diǎn)不確定度、x向圓心坐標(biāo)的不確定度、y向圓心坐標(biāo)的不確定度以及x向與y向圓心坐標(biāo)間的相互不確定度；ρxy為x向與y向圓心坐標(biāo)間的相關(guān)性系數(shù)。

將存在相關(guān)性的參數(shù)xx和yy視作一個(gè)統(tǒng)計(jì)向量ξ，通過對同一次采樣過程中得到的樣點(diǎn)進(jìn)行分組擬合得到其協(xié)方差矩陣Cov(ξ)，該矩陣可用來表示參數(shù)的不確定度和相互不確定度[19]。在得到協(xié)方差矩陣后，還可以按下式計(jì)算獲得參數(shù)間的相關(guān)性系數(shù)：

(8)

測量數(shù)據(jù)的單點(diǎn)不確定度u0主要取決于測量設(shè)備的示值誤差、重復(fù)性、溫度敏感性以及測量接觸力引起的變形等。由式(7)可知，圓度誤差的不確定度與測量數(shù)據(jù)的單點(diǎn)不確定度存在正比例關(guān)系，因此，測量設(shè)備精度的提高可有效增加誤差結(jié)果的可靠性。

5.2 評(píng)定效率

圖5～圖7統(tǒng)計(jì)了最小二乘圓法、最小外接圓法、最大內(nèi)接圓法和改進(jìn)式最小區(qū)域圓法在面向相同測量數(shù)據(jù)點(diǎn)集時(shí)的評(píng)定時(shí)間t。最小二乘圓法計(jì)算簡便，時(shí)間最短，但精度最差；而改進(jìn)式最小區(qū)域圓法的搜索過程較為復(fù)雜，且時(shí)間最長，這是因?yàn)樗墙⒃谧钚⊥饨訄A法與最大內(nèi)接圓法所獲控制點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解的。但對于評(píng)定精度，最小區(qū)域圓法具有明顯優(yōu)勢。

此外，使用改進(jìn)式最小區(qū)域圓法對不同數(shù)量的點(diǎn)集數(shù)據(jù)進(jìn)行了測試，表1所示為不同數(shù)量點(diǎn)集下最小區(qū)域圓法的評(píng)定時(shí)間。當(dāng)點(diǎn)集數(shù)量為1000時(shí)，改進(jìn)式最小區(qū)域圓法的評(píng)定時(shí)間也能保持在0.1 s左右，具有良好的評(píng)定效率，足以滿足實(shí)際的工程需求。

表1 不同數(shù)量點(diǎn)集下最小區(qū)域圓法評(píng)定時(shí)間

5.3 穩(wěn)健度

改進(jìn)式最小區(qū)域圓法基于最小區(qū)域圓原理，在評(píng)定過程中構(gòu)建包絡(luò)所有樣點(diǎn)的兩個(gè)最小同心圓；而最小二乘圓法是通過最小化各樣點(diǎn)與圓心間的誤差值實(shí)現(xiàn)的。從評(píng)定原理上分析，改進(jìn)式最小區(qū)域圓法對測量數(shù)據(jù)本身的敏感性要大于最小二乘圓法，因此，在面對奇異測量點(diǎn)時(shí)，改進(jìn)式最小區(qū)域圓法的穩(wěn)健度要略低于后者。

為有效改進(jìn)這一劣勢，在獲取測量數(shù)據(jù)點(diǎn)集時(shí)，基于測量設(shè)備自身的良好重復(fù)性，在某一確定測量截面上進(jìn)行多次采樣，去除奇異測量點(diǎn)，并對每個(gè)位置處的多組樣點(diǎn)取平均值，以降低隨機(jī)誤差的影響，提高測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性以及評(píng)定方法的穩(wěn)健度。

6 結(jié)論

針對軸孔類零件圓度誤差的精準(zhǔn)評(píng)定，本文提出了一種簡單有效的改進(jìn)式最小區(qū)域圓法,避免了凸包求解給評(píng)定算法造成的復(fù)雜性和不確定性?；邳c(diǎn)間距離和多邊形去除法則優(yōu)化了最小外接圓控制點(diǎn)和最大內(nèi)接圓控制點(diǎn)的搜索過程，最小區(qū)域圓控制點(diǎn)依次從兩者的控制點(diǎn)集中進(jìn)行選取，以點(diǎn)間距離為優(yōu)化目標(biāo)，逼近點(diǎn)集的最小區(qū)域圓。

面向同樣的測量點(diǎn)集，相較于優(yōu)化前，優(yōu)化后的最小外接圓法、最大內(nèi)接圓法和最小區(qū)域圓法均獲得了相同或更小的誤差值，搜索到了更優(yōu)的目標(biāo)圓線，這證明了所提出評(píng)定算法控制點(diǎn)的有效性。通過仿真實(shí)驗(yàn)分析了測量數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差對誤差結(jié)果的影響，隨著數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加以及測量設(shè)備精度的提高，隨機(jī)誤差的影響明顯降低。

最后，對管狀零件內(nèi)外表面圓度誤差進(jìn)行了測量與評(píng)定實(shí)驗(yàn)，研究了改進(jìn)式最小區(qū)域圓法的相關(guān)特性:

(1)該方法在評(píng)定精確性上展現(xiàn)出了與其他方法等同甚至更優(yōu)的競爭力，足以在測量點(diǎn)集空間范圍內(nèi)建立更好的包絡(luò)圓。

(2)算法的不確定度取決于測量設(shè)備的精度以及使用條件，測量設(shè)備精度的有效提升可以有效提高結(jié)果的可靠性。

(3)算法在面向較多數(shù)量的測量點(diǎn)時(shí)仍表現(xiàn)出了良好的評(píng)定效率，滿足實(shí)際的工程使用需求。

(4)測量設(shè)備依賴自身重復(fù)性在同一位置多次采樣，去除奇異點(diǎn)并取平均值，可以有效提高算法的穩(wěn)健度。這說明了改進(jìn)式最小區(qū)域圓法適用于軸孔類零件圓度誤差的評(píng)定過程。