針對(duì)高階Sigma-Delta 調(diào)制器穩(wěn)定性提升的相位補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

王欣欣，周 彪

（江南大學(xué) 江蘇 無(wú)錫 214122）

0 引言

高階Sigma-Delta 調(diào)制器是在具有低通濾波特性的二階傳感結(jié)構(gòu)后級(jí)聯(lián)電學(xué)積分器，積分器的個(gè)數(shù)越多，噪聲整形能力越強(qiáng)，但高階Sigma-Delta 調(diào)制器面臨著穩(wěn)定性差的問(wèn)題，噪聲傳遞函數(shù)的增益（1-z-1）L在高頻處會(huì)迅速增大。

解決調(diào)制器不穩(wěn)定問(wèn)題的方法主要有：（1）采用MASH 結(jié)構(gòu)[1-2]，但電路設(shè)計(jì)復(fù)雜；（2）采用相位超前補(bǔ)償器（主要方法）。

本文所采用的分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償器PDu，引入微分參與控制，可以使系統(tǒng)的穩(wěn)定性增加，通過(guò)觀測(cè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高來(lái)證明。傳遞函數(shù)形如：H（s）=kp+kd*su，其中：kp為比例系數(shù)、kd為微分系數(shù)、su為分?jǐn)?shù)階微分算子。su具有積分效果，可以對(duì)系統(tǒng)起到噪聲整形的作用。u是微分階次，階次為1 時(shí)，PDu即整數(shù)階PD相位補(bǔ)償器。

使用MATLAB 編程，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)kp、kd和α3 個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)尋求最優(yōu)解帶入SIMULINK 仿真系統(tǒng)，分別在分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階情況下求取系統(tǒng)最高信噪比。

當(dāng)前使用分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償器提升高階Sigma-Delta 調(diào)制器系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究非常有限。文獻(xiàn)[3]中只分析了對(duì)比整數(shù)階相位補(bǔ)償器，分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償器有著更好的噪聲整形效果，并沒(méi)有對(duì)比沒(méi)有加相位補(bǔ)償器時(shí)系統(tǒng)的信噪比變化。本文在現(xiàn)有的研究基礎(chǔ)上，對(duì)此進(jìn)行完善，同時(shí)使用Lee 判據(jù)[4-6]加以輔助，其具體表述如下：一個(gè)1-bit 量化器Sigma-Delta 調(diào)制系統(tǒng)，噪聲傳遞函數(shù)NTF=H(z)在滿足如下條件時(shí)可以是穩(wěn)定的，即max|NTF（ejw）|≤1.5，0 ≤w≤π。

1 高階Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)建模

四階CIFF 結(jié)構(gòu)Sigma-Delta 調(diào)制器的系統(tǒng)框圖見(jiàn)圖1。

根據(jù)圖中所示的Sigma-Delta 調(diào)制器的系統(tǒng)框圖的輸入輸出關(guān)系，可以列出下列方程組：

為了減少諧波干擾，將信號(hào)通路到第二、三、四級(jí)積分器去除，即令b2=b3=b4=0。其中T是采樣周期，每一級(jí)積分器的傳遞函數(shù)H為1/（z-1），量化器等效為帶有隨機(jī)加性白噪聲的加法器[7]，H(z)是本文所采用的分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償器PDu的傳遞函數(shù)。聯(lián)立上式可推得噪聲傳遞函數(shù)NTF 結(jié)果如下式所示：

在Simulink 搭建的Sigma-Delta 調(diào)制器模型中所示參數(shù)是未知的，需要通過(guò)Matlab 中的SDToolbox 工具箱得到。使用SDToolbox 中synthesizeNTF 函數(shù)合成調(diào)制器的噪聲傳遞函數(shù)，realizeNTF 函數(shù)把噪聲傳遞函數(shù)映射到積分器的反饋系數(shù)[a，g，b，c]中，mapABCD 函數(shù)計(jì)算得到的優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)[8]。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)模型的仿真得到最優(yōu)的信噪比，最終確定的系數(shù)見(jiàn)表1。

表1 調(diào)制器系數(shù)

2 粒子群算法優(yōu)化相位補(bǔ)償器參數(shù)

分?jǐn)?shù)階PD控制器的傳遞函數(shù)H(s)=kp+kd×su，本文采用的分?jǐn)?shù)階微分形式為s{mu}，其中mu是s運(yùn)算符的階數(shù)。mu=1 時(shí)，即整數(shù)階微分形式；mu介于0 到1 之間時(shí)，即分?jǐn)?shù)階微分形式。在SIMULINK 系統(tǒng)中所加的相位補(bǔ)償器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖2。

通過(guò)粒子群優(yōu)化（Particle swarm optimization，PSO）算法[9-10]對(duì)參數(shù)kp、kd和mu進(jìn)行優(yōu)化，在算法中，需要在三維空間內(nèi)搜索，尋找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。粒子的當(dāng)前位置通過(guò)其速度和位置更新為最近發(fā)現(xiàn)的自身和全局最佳位置。

2.1 初始化相關(guān)參數(shù)

首先，綜合系統(tǒng)的優(yōu)化性能和算法的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)，設(shè)置種群規(guī)模是50，迭代次數(shù)也取50，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2。3 個(gè)參數(shù)的粒子位置矢量定義xi=(kp,kd,mu)，其中i代表空間維度，需要設(shè)置粒子的速度和位置區(qū)間，以防止超出最大的區(qū)間范圍，為每個(gè)待優(yōu)化參數(shù)設(shè)定不同的粒子移動(dòng)范圍。代入數(shù)值檢測(cè)后可以獲得kp、kd和mu的大致范圍，從而確定3 個(gè)粒子的最大位置區(qū)間分別為[popmin1:popmax1；popmin2:popmax2；popmin3:popmax3]=[-3:3; -3:3; 0:1]。

2.2 性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

選取信噪比（Signal-to-noise ratio，SNR）作為粒子群優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)。在粒子的每一次迭代尋優(yōu)過(guò)程中，當(dāng)粒子的移動(dòng)速度和位置超出邊界值，令其等于邊界值。將更新后的粒子的位置對(duì)應(yīng)的參數(shù)設(shè)置Sigma-Delta 調(diào)制器的PDu控制器的相應(yīng)參數(shù)，然后運(yùn)行系統(tǒng)計(jì)算相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)。每次更新kp、kd和mu的數(shù)值都需要遍歷整個(gè)系統(tǒng)，調(diào)用添加的calcSNR 函數(shù)計(jì)算信噪比，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：對(duì)提取到的正弦信號(hào)和噪音成分使用窗函數(shù)截取之后進(jìn)行快速傅里葉變換，求得的信號(hào)幅度值平方求和結(jié)果得到信號(hào)能量和噪音能量，二者的比值即待求的信噪比。

其中，Es為信號(hào)能量，En為噪聲能量。As為信號(hào)振幅，An為噪聲振幅。每次更新粒子代入系統(tǒng)求得的信噪比作為適應(yīng)度函數(shù)，通過(guò)最大化適應(yīng)度函數(shù)使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。第j個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)為：

fitness（j）=SNR

系統(tǒng)迭代50 次以后，系統(tǒng)自動(dòng)完成優(yōu)化。優(yōu)化完成后，在MATLAB 命令行窗口自動(dòng)輸出3 個(gè)參數(shù)的數(shù)值以及最優(yōu)適應(yīng)度即最優(yōu)SNR 的數(shù)值，若SNR 相較于之前有所提高，由此實(shí)現(xiàn)了PDu控制器的參數(shù)自整定。

3 仿真結(jié)果及性能分析

使用多個(gè)調(diào)制器穩(wěn)定性衡量標(biāo)準(zhǔn)綜合考量：首先檢查每級(jí)積分器的輸出電壓是否符合實(shí)際情況。使用粒子群算法對(duì)比例微分參數(shù)優(yōu)化完成后，系統(tǒng)SNR 取最大值時(shí)，則認(rèn)為調(diào)制器處于最穩(wěn)定狀態(tài)。再使用Lee 判據(jù)加以輔助，判定噪聲傳遞函數(shù)NTF 的峰值幅頻值是否小于1.5。

當(dāng)mu=1 時(shí)，即整數(shù)階相位補(bǔ)償器。系統(tǒng)經(jīng)過(guò)50 次迭代優(yōu)化，最高信噪比為152.569 8 dB，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)為：-1.606 3、0.048 0。粒子的移動(dòng)范圍是逐漸收斂的，對(duì)比原始Sigma-Delta 調(diào)制器系統(tǒng)信噪比有所提升，信噪比提升了大約5.0 dB。圖3 為整數(shù)階控制器粒子在迭代過(guò)程的收斂趨勢(shì)。

增設(shè)分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償器情況下，通過(guò)50 次迭代優(yōu)化，可得到的最高信噪比為SNR=155.938 4 dB，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)為：2.116 7、0.662 2、0.602 8，對(duì)比原始Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)信噪比提升了大約8.4dB。同時(shí)可以看出，分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償器的噪聲整形效果優(yōu)于整數(shù)階。圖4 為分?jǐn)?shù)階控制器粒子在迭代過(guò)程的收斂趨勢(shì)。兩種情況下，粒子的移動(dòng)范圍都是逐漸收斂的。

使用Lee 判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)于沒(méi)有添加相位補(bǔ)償器的原始四階CIFF 結(jié)構(gòu)Sigma-Delta 調(diào)制器的系統(tǒng)，令z=ejw，求解噪聲傳遞函數(shù)NTF(z)的幅頻響應(yīng)，在[0,2π]范圍內(nèi)的幅頻曲線圖見(jiàn)圖5，幅值最高可達(dá)1.500 14。

增設(shè)相位補(bǔ)償器的四階CIFF 結(jié)構(gòu)Sigma-Delta 調(diào)制器的系統(tǒng)，令z=ejw，將優(yōu)化后的調(diào)制器系數(shù)以及相位補(bǔ)償器的參數(shù)帶入噪聲傳遞函數(shù)NTF，分別求解增設(shè)整數(shù)階相位補(bǔ)償器和分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償器后整個(gè)系統(tǒng)的噪聲傳遞函數(shù)NTF(z)的幅頻響應(yīng)，整數(shù)階相位補(bǔ)償后和分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償后在[0,2π]范圍內(nèi)的幅頻曲線圖?？梢钥闯黾恿讼辔谎a(bǔ)償模塊之后，噪聲傳遞函數(shù)的幅頻值遠(yuǎn)小于1.5，系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 結(jié)論

本文的主要目的是為了尋找最優(yōu)的PDu參數(shù)kp、kd和mu，從而提高高階Sigma-Delta 調(diào)制器的穩(wěn)定性。綜合多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用粒子群優(yōu)化可以實(shí)現(xiàn)比例微分控制器參數(shù)的自整定，同時(shí)在一定程度提高了Sigma-Delta 調(diào)制器系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高了系統(tǒng)的噪聲整形能力。通過(guò)增設(shè)相位補(bǔ)償器與原始四階CIFF 結(jié)構(gòu)Sigma-Delta調(diào)制器的系統(tǒng)比較，增設(shè)相位補(bǔ)償器的系統(tǒng)的信噪比的值有所提升；同時(shí)通過(guò)對(duì)比分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階相位補(bǔ)償器，可以看出分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償器有更好的噪聲整形效果。