數(shù)學(xué)舉例題的命制與評(píng)價(jià)實(shí)踐

童其林

（龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué)，福建 龍巖 364100）

“舉例問(wèn)題”首次出現(xiàn)在2021 年全國(guó)新高考I 卷數(shù)學(xué)考試中，即填空題14 題.而走在高考改革前列的上海的高考，舉例題除了出現(xiàn)在填空題里，也曾在大題里考查——比如，2007 年上海春季高考卷第17 題就放在大題中.所以研究上海卷的舉例題，可以幫助我們迅速適應(yīng)全國(guó)新高考I 卷舉例題.

一、數(shù)學(xué)舉例題的命制

數(shù)學(xué)舉例題的命制是一個(gè)命題老師創(chuàng)造力的表現(xiàn)，也是學(xué)生解題富有創(chuàng)造力的表現(xiàn).［1］舉例題的命制或設(shè)計(jì)方向還比較廣泛：一是提出一個(gè)逆向的數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是給定一些限制條件，提出一個(gè)正向的數(shù)學(xué)問(wèn)題；三是給定一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)模型，提出一個(gè)有實(shí)際背景的應(yīng)用問(wèn)題等，關(guān)鍵是應(yīng)試者能夠完整地?cái)⑹鲆粋€(gè)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)內(nèi)涵的具體問(wèn)題.

（一）逆向問(wèn)題

舉例題中一類提出逆向問(wèn)題，必須提供正向問(wèn)題作為引導(dǎo)，促發(fā)其創(chuàng)新思維.

例1 求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱為原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題.

例如：原來(lái)問(wèn)題是“若函數(shù)f(x)=-(7 -3a)x在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍”.求出a＜2 后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若a＜2，討論f(x)=(2 -a)x的單調(diào)性”；也可以是“若a＜2，求f(x)=x2-ax+5 的最小值”.

給出問(wèn)題：“已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-6 +m，若對(duì)于m?[-2,2],f(x)≤0 恒成立，求實(shí)數(shù)x 的取值范圍.”（視你所給出的“逆向”問(wèn)題的程度給出本小題的滿分值）

解析：?jiǎn)栴}可變成關(guān)于m的一次不等式：(x2-x+1)m-6≤0 在［-2，2］恒成立，求x取值范圍.

設(shè)g(m)=(x2-x+1)m-6,

即x 的取值范圍是[-1,2].

“逆向”問(wèn)題可以是：

問(wèn)題1：已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≤0 恒成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；

問(wèn)題2：已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≥0 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

問(wèn)題3：已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；

問(wèn)題4：已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

問(wèn)題5：已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

問(wèn)題6：已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≤x3+mx2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：給定的問(wèn)題情境是函數(shù)和函數(shù)自變量的取值范圍，6 個(gè)問(wèn)題涉及面較為廣泛，在對(duì)原問(wèn)題求解后，深刻理解了問(wèn)題的本質(zhì)，再逆向提出如此問(wèn)題，需要的能力必是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的訓(xùn)練后的成果.具體求解時(shí)，舉出1 個(gè)即可.

（二）正向問(wèn)題

例2 如果一個(gè)n面體共有m個(gè)面是直角三角形，那我們稱這個(gè)n面體的直度為，比如在如圖1 所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，通過(guò)割補(bǔ)法得到四面體C1CDB（即三棱錐C1CDB）就是直度為的四面體.

圖1

（1）請(qǐng)用割補(bǔ)法在如圖2所示的正方體上，作出一個(gè)直度為1 的四面體.（作出一個(gè)并指出哪個(gè)四面體即可，不必說(shuō)明理由）

圖2

（2）如圖3，P為棱AA1上的中點(diǎn)，Q為棱AD上一點(diǎn)，且PQ⊥C1P.請(qǐng)你舉一個(gè)與圖中有關(guān)“異面直線所成角或直線與平面所成角或二面角”的問(wèn)題，并解之.

圖3

（視你所舉出問(wèn)題的難度給出本小題的滿分值）

問(wèn)題（1）的解答：

答案不唯一，如圖4 所示的四面體C1CDA，或如圖5 所示的四面體C1CAB都可以.

圖4

圖5

問(wèn)題（2）學(xué)生舉出了不少有意義的問(wèn)題：

案例1：求異面直線D1Q與PC1所成的角；

案例2：求直線PQ與平面C1D1P所成角；

案例3：求直線D1A1與平面C1D1P所成角的正弦值；

案例4：求平面C1D1P與平面ABB1A1所成的二面角的余弦值；

案例5：求平面C1D1P與平面A1B1C1D1所成的二面角的余弦值；

案例6：在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值為，若存在求出線段PF的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)此題背景舉一個(gè)問(wèn)題并不難，難的是舉一個(gè)有思維難度的問(wèn)題.以上6 個(gè)案例中，案例6 最富有挑戰(zhàn)性，問(wèn)題難度相對(duì)較大，涉及的知識(shí)面也較大，有探索，有逆向思維，其他4 個(gè)案例與學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練的問(wèn)題基本相似.

案例5 的解答：

在線段AB上存在點(diǎn)F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值為.理由如下：

若點(diǎn)F在線段AB上，則二面角D1-PQ-F為鈍角α，因?yàn)槿鐖D6，以CD為x，CB為y軸，CC1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，易知P(2,2,1)，平面D1PQ的一個(gè)法向量為=(1,0,0).

圖6

因?yàn)閹缀误wABCD-A1B1C1D1是正方體，所以C1D1⊥平面ADD1A1，又PQ?平 面ADD1A1，所以C1D1⊥PQ，又PQ⊥C1P，C1D1?PC1=C1，所以PQ⊥平面C1D1P，所以PQ⊥D1P.

所以，在線段AB上存在點(diǎn)F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值為，且|PF|=

（三）有實(shí)際應(yīng)用的問(wèn)題

此類問(wèn)題是理論聯(lián)系實(shí)際類，給出理論背景或數(shù)學(xué)模型，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷與生活經(jīng)歷創(chuàng)作出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，有點(diǎn)像寫(xiě)命題作文.

例3：在一些地方送報(bào)人先買了報(bào)紙然后送到顧客家，再向顧客收取報(bào)紙的費(fèi)用.

假設(shè)有一天顧客對(duì)送報(bào)人說(shuō)：“不像往常一樣每星期收5 美元，而是隨機(jī)地從這一袋中拿取2 張鈔票（有10 美元和1 美元的若干張），怎么樣？如果你愿意從袋中取錢的辦法，從今以后每星期就采用這一方式.”

送報(bào)人作了簡(jiǎn)單的思考：若袋子里5 美元的鈔票多于或等于1 美元的鈔票，那就接受顧客的建議；若袋子里都是1 美元的，那就按原來(lái)的付款方式；若10 美元的鈔票遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于1 美元的鈔票，就要算一算，長(zhǎng)期下期會(huì)不會(huì)虧本.

請(qǐng)你幫助送報(bào)人和顧客設(shè)計(jì)一個(gè)袋中隨機(jī)拿取2張鈔票（假設(shè)只用10 美元和1 美元的鈔票若干張），對(duì)送報(bào)人和顧客都不會(huì)吃虧的辦法.

假如10 美元和1 美元各m,n張，則

所以設(shè)計(jì)袋子里10 美元鈔票1 張，1 美元的鈔票5張，對(duì)送報(bào)人和顧客都不會(huì)吃虧.

點(diǎn)評(píng)：能用期望的知識(shí)判斷設(shè)計(jì)方案對(duì)雙方公平即可得滿分.

（四）語(yǔ)言問(wèn)題

數(shù)學(xué)學(xué)科經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言.數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言帶有數(shù)學(xué)特有的本質(zhì)屬性——關(guān)系屬性，比如線面垂直既有文字語(yǔ)言，也有符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，這些約定俗成的語(yǔ)言是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的工具.

例4（2008 福建省高考題改編）：設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a、b∈P，都有a+b、a-b、（除數(shù)b≠0），則稱P是一個(gè)數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，數(shù)集也是數(shù)域.請(qǐng)你各舉出2 個(gè)數(shù)域和不是數(shù)域的例子.

解析：負(fù)整數(shù)組成的集合是數(shù)域.理由如下：

設(shè)a，b∈p，其中一個(gè)必定不等于零，設(shè)a≠0.則a-a=0 所以0∈p=1 所以1∈p.所以0-1=-1，-1-1=-2，-2-1=-3，…，所有負(fù)整數(shù)都屬于p.是數(shù)域.

整數(shù)集不是數(shù)域.理由如下：

點(diǎn)評(píng)：以上所舉的例子，是深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)集、數(shù)域概念之后的選擇.在評(píng)價(jià)過(guò)程中，只要符合數(shù)域的定義，而且表述正確，則舉出一例可得整題分?jǐn)?shù)的，能各舉出2 個(gè)且正確，可得滿分.

以上所舉是解答題的舉例題，目前的語(yǔ)境下，除了上海高考卷，舉例題更多出現(xiàn)在填空題中.填空題的舉例題，往往是要求考生通過(guò)給定的條件、結(jié)論、性質(zhì)和定理等素材，從題干中獲取信息，整理信息，寫(xiě)出符合題干的結(jié)論或是具體實(shí)例的一類題型.通常情況下，符合條件的對(duì)象有很多，從而增加了試題的開(kāi)放度.同樣的，填空題的舉例題可以舉一個(gè)正例，也可以舉一個(gè)反例，還可以舉一個(gè)語(yǔ)言類的問(wèn)題等.

例5（2021 年新高考2 卷，第14 題）：寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=__________.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；

②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′（x) ＞0；

③f′(x)是奇函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：該題要求考生在理解條件①②③的基礎(chǔ)上，構(gòu)建出一個(gè)函數(shù)f(x).由于答案是開(kāi)放的，所以在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用，同時(shí)也給不同水平的考生提供了充分發(fā)揮自己數(shù)學(xué)能力的空間.熟悉常見(jiàn)基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)有利于進(jìn)行構(gòu)造.本題答案為f(x)=x4，答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N*)均滿足.

二、數(shù)學(xué)舉例題的評(píng)價(jià)

填空題中的舉例題，由于答案開(kāi)放，會(huì)增加評(píng)價(jià)的一些難度，但還是能看出對(duì)錯(cuò).比較難評(píng)價(jià)的是解答題中舉例題的評(píng)價(jià)，因?yàn)槊恳粋€(gè)學(xué)生的思維方式不太一樣.

作為一道解答題中的舉例題，一是要看其答題的完整性，二是要看其答題敘述的準(zhǔn)確性，三是要看其舉例問(wèn)題提出的創(chuàng)新性.符合題設(shè)條件又滿足這三條，應(yīng)該是一個(gè)成功之作.我們先看下面的例子：

例6（2007 年上海春季高考，第17 題，本題滿分14分）：求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱為原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題.

例如，原來(lái)問(wèn)題是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該正四棱錐的體積”.求出體積后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，求側(cè)棱長(zhǎng)”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側(cè)面面積之和的最小值”.

試給出問(wèn)題“在平面直角坐標(biāo)系xoy中，求點(diǎn)P(2,1)到直線3x+4y=0 的距離.”的一個(gè)有意義的“逆向”問(wèn)題，并解答你所給出的“逆向”問(wèn)題.

解 析：點(diǎn)（2，1）到直線3x+4y=0的距離為…………4 分

“逆向”問(wèn)題可以是：

（1）求到直線3x+4y=0 的距離為2 的點(diǎn)的軌跡方程.…………10 分

設(shè)所求軌跡上任意一點(diǎn)為P(x,y)，則

所求軌跡為3x+4y-10=0 或3x+4y+10=0.…………14 分

（2）若點(diǎn)P(2,1)到直線l:ax+by=0 的距離為2，求直線l的方程.…………10 分

所以，直線l的方程為x=0 或3x+4y=0.…………14 分

意義不大的“逆向”問(wèn)題可能是：

（3）點(diǎn)P(2,1)是不是到直線3x+4y=0 的距離為2 的一個(gè)點(diǎn)？…………6 分

所以點(diǎn)P(2,1)是到直線3x+4y=0 的距離為2 的一個(gè)點(diǎn).…………10 分

（4）點(diǎn)Q(1,1)是不是到直線3x+4y=0 的距離為2 的一個(gè)點(diǎn)？…………6 分

所以點(diǎn)Q(1,1)不是到直線3c+4y=0 的距離為2的一個(gè)點(diǎn).…………10 分

（5）點(diǎn)P(2,10 是不是到直線5x+12y=0 的距離為2 的一個(gè)點(diǎn)？…………6 分

所以點(diǎn)p(2,1)不是到直線5x+12y=0 的距離為2的一個(gè)點(diǎn).…………10 分

評(píng)分說(shuō)明：

（ⅰ）在本題的解答過(guò)程中，如果考生所給問(wèn)題的意義不大，那么在評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的第二階段所列6 分中，應(yīng)只給2 分，但第三階段所列4 分由考生對(duì)自己所給問(wèn)題的解答正確與否而定.

（ⅱ）當(dāng)考生所給出的“逆向”問(wèn)題與所列解答不同，可參照所列評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分.

這個(gè)題目，有個(gè)詞特別醒目，即“有意義”的問(wèn)題.如何評(píng)價(jià)學(xué)生提出的問(wèn)題呢？難點(diǎn)在于評(píng)價(jià)學(xué)生提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)“意義”是否體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維，反映數(shù)學(xué)本質(zhì).從本題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)可以判斷，提出的問(wèn)題好、不夠好、不好及解決問(wèn)題正確與否能得的分?jǐn)?shù).

三、“有意義”的數(shù)學(xué)問(wèn)題的定義、判斷和制定

所謂有意義的問(wèn)題可以從下面四點(diǎn)考察：

一是問(wèn)題的準(zhǔn)確性——敘述語(yǔ)言的準(zhǔn)確.把一個(gè)問(wèn)題說(shuō)清楚，尤其是數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須突出敘述語(yǔ)言的準(zhǔn)確性.如果邏輯不清、語(yǔ)言混亂，不可能提出一個(gè)“有意義”“有價(jià)值”的問(wèn)題，所以要準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)符號(hào)，并賦予意義.而且如果數(shù)學(xué)概念不清也不能把問(wèn)題說(shuō)清楚.

二是問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性——敘述語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔.一個(gè)問(wèn)題能用30 個(gè)字說(shuō)清楚就不要用31 個(gè)字，數(shù)學(xué)問(wèn)題語(yǔ)言敘述的簡(jiǎn)潔最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“美”，也最能反映問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，更能顯示一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維能力.

三是問(wèn)題的思維性——思維的寬度深度.一個(gè)問(wèn)題“有意義”的度在很大程度上取決于問(wèn)題思維的寬度與深度，數(shù)學(xué)思維的深度，條件隱含的深度，解決問(wèn)題的寬度——方法的多樣性.

四是問(wèn)題的創(chuàng)新性——?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題的角度.一個(gè)問(wèn)題的“閃光點(diǎn)”充分體現(xiàn)在問(wèn)題的創(chuàng)新性上，你提出問(wèn)題的角度是否新穎？是否人們一看就會(huì)產(chǎn)生火花？

舉例題是新高考的一個(gè)重要題型，能考查學(xué)生的思考能力、敘述能力、解決問(wèn)題的能力.評(píng)價(jià)細(xì)則上，可以依據(jù)等級(jí)描述型評(píng)價(jià)法對(duì)問(wèn)題求解部分制定；依據(jù)多重計(jì)分評(píng)價(jià)法對(duì)所舉例的質(zhì)量制定評(píng)價(jià)細(xì)則，即依據(jù)等級(jí)描述型評(píng)價(jià)法，將求解過(guò)程細(xì)分評(píng)定分?jǐn)?shù).依據(jù)多重計(jì)分評(píng)價(jià)法，分為三個(gè)等級(jí)：一級(jí)所舉問(wèn)題敘述完整，但思維量不大，難度不大；二級(jí)所舉問(wèn)題敘述不僅完整，思維量較大，但亮點(diǎn)不明顯；三級(jí)所舉問(wèn)題敘述不僅完整，思維量較大，而且有明顯亮點(diǎn).分值上，可根據(jù)數(shù)學(xué)教育實(shí)際，此類創(chuàng)新題的分?jǐn)?shù)控制在12 分左右為宜，難度把握在中檔左右.

例7 要測(cè)量海島上一座不能到達(dá)的山峰A的高度AH，要求用皮尺、三角板和量角器等儀器進(jìn)行測(cè)量，舉例說(shuō)明你的測(cè)量過(guò)程、計(jì)算方法和結(jié)果.

案例1：在測(cè)量海島上一座不能到達(dá)的山峰A的高度AH時(shí)，可立兩根高a米的標(biāo)桿BC和DE，前后兩竿相距BD=b米，使后標(biāo)桿桿腳D與前標(biāo)桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上，從前標(biāo)桿桿腳B退行c米到F，人眼著地觀測(cè)到島峰，A、C、F三點(diǎn)共線，從后標(biāo)桿桿腳D退行d米到G，人眼著地觀測(cè)到島峰，A、E、G三點(diǎn)也共線，計(jì)算山峰AH的高度.

案例2：在測(cè)量海島上一座不能到達(dá)的山峰A的高度AH時(shí)，如圖8，選擇一條水平基線BG，使H，G，B三點(diǎn)在同一條直線上.由在B，G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是α，β，CD=a，測(cè)角儀器的高是h，則可求得AH的高度.

圖7

圖8

解析：在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC=

案例3：在測(cè)量海島上一座不能到達(dá)的山峰A的高度AH時(shí)，可在平地上選擇三個(gè)點(diǎn)P、Q、R（Q為PR的中點(diǎn)），可量出PR=2a，在P、Q、R三點(diǎn)處，用量角器測(cè)得A的仰角分別為α、β、γ，將測(cè)量數(shù)據(jù)繪制成一張草圖（如圖9），計(jì)算山峰AB 的高度.

圖9

同理可得QR2+QH2-2QR·QHcos(π -θ)=RH2

兩式相加可得2a2+2QH2=PH2+RH2，將上述各值代入計(jì)算可得

案例4：在測(cè)量海島上一座不能到達(dá)的山峰A的高度AH時(shí)，假設(shè)沙灘上有一可攀登的建筑物，如圖10，則可在同一垂線上選2 個(gè)測(cè)量點(diǎn)C，D，測(cè)得PC=a，CD=b，點(diǎn)C測(cè)得A的仰角為α，點(diǎn)D測(cè)得A的仰角為β，計(jì)算山峰AB的高度.

圖10

評(píng)價(jià)細(xì)則：（1）可以依據(jù)等級(jí)描述型評(píng)價(jià)法對(duì)問(wèn)題求解部分制定；（2）依據(jù)多重計(jì)分評(píng)價(jià)法對(duì)所舉例的質(zhì)量制定.即依據(jù)等級(jí)描述型評(píng)價(jià)法，將求解過(guò)程細(xì)分評(píng)定分?jǐn)?shù).依據(jù)多重計(jì)分評(píng)價(jià)法，分為三個(gè)等級(jí)：一級(jí)所舉問(wèn)題敘述完整，但思維量不大，難度不大；二級(jí)所舉問(wèn)題敘述不僅完整，思維量較大，但亮點(diǎn)不明顯；三級(jí)所舉問(wèn)題敘述不僅完整，思維量較大，而且有明顯亮點(diǎn).按評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，案例1，2，3，4 都可以判定為三級(jí).