“知三求一”歸類，助力“解三角形”問題

史紅靜 王得勇

解三角形問題是高中數(shù)學(xué)的一個重要知識，它主要考察的是學(xué)生利用“正弦定理”、“余弦定理”、以及“三角形面積公式”，求解三角形的各個量。它培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)運算”三大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。如何正確選擇定理，是成功解題的關(guān)鍵。

一、用“方程”的思想看正弦定理與余弦定理

在△ABC中，A、B、C所對的邊記為a、b、c.

解三角形中3條邊和3個角共有6個量，我們不難發(fā)現(xiàn)，無論是正弦定理還是余弦定理，從方程的角度去看各個等式，它如果可解就需要“知三求一”。這6個量的“知三”的情況可分成六類，由下面的表1來描述：

有了上面的分類，學(xué)生求解簡單的解三角形問題只需要三步走：第一步，數(shù)清需要求解的三角形是否已知3個條件？條件不足的時候，需要暫緩求解該三角形，努力尋找三個條件，該三角形才可解;第二步：給三個條件溯源，看它們的形式隸屬于表1中的哪種類型？（一般來說，出現(xiàn)兩個已知角，只能采用正弦定理解決。）確定它是否可解？若可解，鎖定哪個定理解決？第三步：應(yīng)用定理的正確形式，成功解題。下面，用例題1進(jìn)行實例說明。

注意：類型③，已知兩個角及其一角的對邊應(yīng)用定理前，先用和角公式求第3個角的正弦值，再應(yīng)用定理。

分析（1）：

第一步：為了求cos∠BDC的值，先觀察∠BDC所在的△BDC的6個要素只給出了邊CD的值，不足三個條件，因此不可以直接求解;

第二步：利用已知條件AB∥CD將求cos∠BDC等價轉(zhuǎn)化為cos∠DBA的值，在∠DBA所在的△DBA中，符合已知三個條件;

第三步：△DBA中已知兩角∠A、∠ADB和∠ADB所對的邊AB的值，故符合表1中的類型③，可利用正弦定理求解△DBA.

分析（2）：

第一步：為了求BC的長，先觀察BC所在的△BDC的6個要素，現(xiàn)在已經(jīng)有了兩個：邊CD和cos∠BDC的值，不足三個條件，因此仍然不能直接求解;

第二步：由（1）的探究，可知△DBA可解，而△DBA與△BDC共用邊BD，因此可先在

△DBA中求出BD的長度，這個三角形知道三個角及一個邊，符合表1中的②③，用正弦定理求BD的長度;

第三步：此時，△BDC中獲得了3個要素：CD、BD及其夾角cos∠BDC的值，因此符合表1中⑤，用余弦定理求BC的長度;

求解簡單的解三角形問題按照三步走的模式去思考，會幫助學(xué)生明確每一步的求解目標(biāo)，提高解題的效率。

二、一項有趣的數(shù)學(xué)調(diào)查實驗研究

不難發(fā)現(xiàn)，除了第④類：已知兩個角及其一角的對邊的問題，可以選擇正弦定理或余弦定理以外，其它類型均只有一種求解方案。我們選取了同類條件只是數(shù)值不同的兩個問題，在兩個教學(xué)班進(jìn)行了檢測，獲得了如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見表2）.

對比表2中的測驗題目1和2，不難發(fā)現(xiàn)，盡管兩道題目條件形式完全相同，都隸屬于表1中的類型④，可采用正弦定理或余弦定理解決，但題目1中的數(shù)在運算過程中不太好運算，所以明顯余弦定理要簡單很多，學(xué)生也大多數(shù)采用了余弦定理去解題。而題目2中的數(shù)字在運算過程中，產(chǎn)生了特殊角：30°和90°，利用直角三角形的性質(zhì)，可極大的減少運算量，提高解題速度，要求學(xué)生對特殊角的三角函數(shù)值要非常熟悉。通過檢測，我們也發(fā)現(xiàn)會有接近四分之一的學(xué)生利用了這一特點，選擇了正弦的定理解題。

解三角形的核心觀點是“邊角互化”，判斷三角形是否可解的依據(jù)是“知三求一”（不含已知三個角）[1-3]，同學(xué)們要根據(jù)已知三個條件的形式，利用表一選擇正確的定理求解，方向感會更強(qiáng)，提高解題效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]俞世平.解三角形的五種視角[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020，No.633（09）：3-5.