Bell態(tài)隱形傳輸中的馮·諾依曼熵研究

李文靖, 柏明強*, 劉芷儀, 肖鈞勻

(1. 四川師范大學 數(shù)學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學 智能信息與量子信息研究所, 四川 成都 610066;3. 系統(tǒng)可信性自動驗證國家地方聯(lián)合工程實驗室四川師范大學研究中心, 四川 成都 610066)

量子糾纏是一種量子力學現(xiàn)象,用來描述復合系統(tǒng)中一類特殊的量子態(tài),此量子態(tài)無法分解為子系統(tǒng)各自量子態(tài)的張量積.隨著量子信息科學的發(fā)展,量子糾纏在量子計算與量子信息處理中扮演重要角色,如量子密鑰[1]和量子隱形傳輸[2]等.

1993年,Bennett等[2]首次提出量子態(tài)隱形傳輸,應用非常廣泛且迅速成為量子信息與量子計算中大量資源互換方法的基礎[3-5].隨后,許多學者相繼對兩粒子態(tài)的隱形傳輸進行研究,分別以三粒子態(tài)(GHZ態(tài)、W態(tài))和團簇態(tài)作量子信道實現(xiàn)兩粒子糾纏態(tài)的隱形傳輸[6-11].目前為止,量子隱形傳輸廣泛應用于量子網(wǎng)絡[12-13]和遠程態(tài)制備[14-16]等方面.

眾所周知,信息熵是用來描述一個系統(tǒng)信息量的指標.在經典信息論中,對經典信息的描述通常采用Shannon熵;在量子系統(tǒng)中,最早對量子信息的描述是馮·諾依曼熵(von Neumann entropy).馮·諾依曼熵是Shannon熵在量子意義下的推廣,用于度量量子信息,刻畫量子系統(tǒng)的狀態(tài)包含的所有不確定性關系[17];在糾纏判別、糾纏度刻畫等方面也具有十分重要的作用.

石名俊等[18]利用馮·諾依曼熵計算量子純態(tài)糾纏度,分析了糾纏度的構成.近年來,馮·諾依曼熵對糾纏的研究受到學者的廣泛關注.

2017年,基于馮·諾依曼熵,Liang[19]給出了量子信道中糾纏動力學的具體計算形式.2018年,Zhu等[20]計算兩粒子和三粒子糾纏態(tài)的馮·諾依曼熵,給出了最大糾纏態(tài)的表示形式.2019年,Kumari等[21]利用馮·諾依曼熵的Fannes-Audenaert不等式獲得量子系統(tǒng)中糾纏產生上界的方法.2020年,Hou等[22]提出一種相對熵糾纏上界的計算方法,為糾纏測量的計算提供了理論支持,加深了對糾纏態(tài)結構的理解.

熵理論除了內在的刻畫,也應用于對通訊協(xié)議的刻畫.王梅[23]根據(jù)糾纏度的概念和熵的不確定性關系,研究貝爾態(tài)在受噪聲影響下的變化;馬貝[24]運用熵理論研究了基于GHZ態(tài)作量子信道下量子隱形傳輸后塌縮態(tài)糾纏度的變化.

眾所周知,GHZ態(tài)和團簇態(tài)是2種重要資源,廣泛應用于量子信息處理.GHZ態(tài)常用于量子密鑰分配[25-26]和秘密共享[27-28],團簇態(tài)則被認為是量子計算中普遍通用的資源[29-30].目前為止,學者已經研究了基于GHZ態(tài)作量子信道實現(xiàn)Bell態(tài)隱形傳輸所獲塌縮態(tài)糾纏度的變化,但基于團簇態(tài)作量子信道實現(xiàn)Bell態(tài)隱形傳輸所獲塌縮態(tài)糾纏度的變化尚未研究,本文將利用馮·諾依曼熵研究基于團簇態(tài)作量子信道,傳輸Bell態(tài)所獲塌態(tài)糾纏度的變化,并就此與文獻[24]研究結果進行比較.

本文利用團簇態(tài)實現(xiàn)兩粒子糾纏態(tài)的隱形傳輸,并對所獲塌縮態(tài)進行熵的刻畫,即運用馮·諾依曼熵計算塌縮態(tài)的糾纏度.首先,運用馮·諾依曼熵計算隱形傳輸前Bell態(tài)的糾纏度,分析其變化與糾纏態(tài)參數(shù)的關系;其次,運用馮·諾依曼熵計算隱形傳輸后所獲塌縮態(tài)的糾纏度,并討論特殊情況下所獲塌縮態(tài)糾纏度的變化趨勢.

1 利用團簇態(tài)實現(xiàn)兩粒子糾纏態(tài)隱形傳輸協(xié)議

假設粒子1和粒子2處于兩粒子糾纏態(tài)上,即

|Ψ〉12=(x|00〉+y|11〉)12,

x2+y2=1,x,y∈R.

(1)

Alice想要把(1)式糾纏態(tài)傳輸給遠方的Bob,同時Alice與Bob共享一個四粒子量子信道|Ψ〉3456,表示如下

|Ψ〉3456=(a|0000〉+b|1111〉+

c|0011〉+d|1100〉)3456,

(2)

其中a、b、c、d都是實數(shù),且

a2+b2+c2+d2=1.

一般情況,下a、b、c、d不相等.不失一般性,假設

d≤c≤b≤a.

假設粒子1、2、3、6屬于Alice,粒子4、5屬于Bob,則復合系統(tǒng)的態(tài)可以寫成

|Ψ〉=|Ψ〉12|Ψ〉3456=

(x|00〉+y|11〉)12?

(a|0000〉+b|1111〉+

c|0011〉+d|1100〉)3456=

x(a|000000〉+b|001111〉+

c|000011〉+d|001100〉)123456+

y(a|110000〉+b|111111〉+

c|110011〉+d|111100〉)123456.

(3)

Alice分別對粒子對(1,3)和(2,6)做Bell基

測量,系統(tǒng)總態(tài)塌縮為16種形式之一,最后整理得到如下8種不同形式:

(4)

Bob得到的塌縮態(tài)如

首先,Bob將

U1=I4?Z5

作用在

上,得到

接著,Bob需要引入輔助粒子|0〉A,并在基

{|00〉4A,|01〉4A,|10〉4A,|11〉4A}

下產生酉矩陣:

在該酉矩陣的作用下,粒子4和5最終塌縮為

經計算,(4)式中8種塌縮態(tài)最終得以恢復的概率為

p

(6)

且得到成功實現(xiàn)隱形傳輸?shù)目偢怕蕿?/p>

P=2b2+2d2.

2 糾纏度量分析

對于兩粒子復合量子系統(tǒng)上任意純態(tài)的形成糾纏熵為

Ef(|Ψ〉AB)=S(ρA)=S(ρB)=

-tr(ρA(B)logρ

(7)

其中l(wèi)og 是以2為底的對數(shù)函數(shù),且規(guī)定

0log 0=0.

2.1 隱形傳輸前糾纏度量分析對于(1)式兩粒子糾纏態(tài),其密度算子可以表示為

ρ=|Ψ〉12〈|Ψ|,

粒子1或者粒子2的約化密度矩陣為:

ρ=tr(i)(|Ψ〉12〈|Ψ|)=

x2|0〉j〈0|+y2|1〉

i+j=3,i,j=1,2,

(8)

則糾纏態(tài)|Ψ〉12的糾纏度為

E(|Ψ〉12)=S(ρ)=

-x2log(x2)-y2log(y2),

x2+y2=1.

(9)

則(9)式可以轉化為函數(shù)

f=-x2log(x2)-(1-x2)log(1-x2),

且作圖如圖1所示.

圖1 糾纏態(tài)的糾纏度與糾纏態(tài)參數(shù)關系

觀察圖1可得糾纏態(tài)的糾纏度隨糾纏態(tài)參數(shù)的變化而變化，具體關系如下：

2.2 隱形傳輸后塌縮態(tài)糾纏度量分析

2.2.1計算所獲塌縮態(tài)糾纏度 計算(4)式中8種塌縮態(tài)的形成糾纏熵，化簡可得

E(|Ψ〉

(10)

由假設

a2+b2+c2+d2=1,d≤c≤b≤a,

得到

令a2+b2=s,則

將(10)式改寫成關于b、s、x或d、t、x相關的等式

E(|Ψ〉

(11)

觀察(11)式可知,所獲塌縮態(tài)糾纏度與糾纏態(tài)參數(shù)及信道參數(shù)相關.當糾纏態(tài)參數(shù)確定時,所獲塌縮態(tài)中有一半的糾纏度與信道參數(shù)a、b相關,另一半與參數(shù)c、d相關.

2.2.2討論

E(|Ψ〉(i))=fi(s),

分別對s求導為

(12)

(13)

即可知:

(ⅰ) 當x、b不變,s增大時,a增大,與參數(shù)a、b相關的塌縮態(tài)糾纏度隨s增大而增大;

(ⅱ) 當x、d不變,s增大時,c增大,與參數(shù)c、d相關的塌縮態(tài)糾纏度隨s增大而減小.

由此可知,當糾纏態(tài)參數(shù)確定時,s取值不同導致信道參數(shù)a、b與c、d對所獲塌縮態(tài)的糾纏度影響程度不同.當信道參數(shù)對塌縮態(tài)糾纏度影響程度相同且糾纏態(tài)參數(shù)確定時，塌縮態(tài)的糾纏度如何隨信道參數(shù)的變化而變化.

則(11)式為

E(|Ψ〉

(14)

如果傳送Bell態(tài)，即

將x、y的值代入(9)式,可得傳輸前Bell態(tài)的糾纏度為1,而所獲塌縮態(tài)糾纏度為

E(|Ψ〉i)=

(15)

E(|Ψ〉

i=1,2,…,8.

由此可知量子態(tài)在傳輸過程中與量子信道相互作用,使得所獲塌縮態(tài)的糾纏度下降.

ii) 如果a、b、c、d未知,將信道參數(shù)b、d看作自變量x,(15)式可看作函數(shù)

(16)

且作圖如圖2所示.

圖 2 塌縮態(tài)的糾纏度與信道參數(shù)關系

或

或

或

時,即最大糾纏團簇態(tài)作信道時,糾纏度最大為0.312 5.

另外,最后隱形傳輸成功的總概率為

2b2+2d2,

取決于參數(shù)b、d.作圖如圖3所示,并得到以下結論.

3 結論

3.1 對比分析團簇態(tài)和GHZ態(tài)都2種重要的物理資源,一方面最大糾纏團簇態(tài)或GHZ態(tài)隱形傳輸Bell態(tài)的成功概率都可以達到1;另一方面可利用馮·諾依曼熵刻畫隱形傳輸中所獲塌縮態(tài)的糾纏度.文獻[24]運用熵理論研究了基于GHZ態(tài)隱形傳輸Bell態(tài)后塌縮態(tài)糾纏度的變化情況,這里就本文研究結果與文獻[24]作比較.

通過對比2種情況可以得出,利用團簇態(tài)或者GHZ態(tài)都可以實現(xiàn)Bell態(tài)的隱形傳輸,雖然團簇態(tài)所攜帶的信息多于GHZ態(tài),但就2種情況所獲塌縮態(tài)的糾纏度下降程度,GHZ態(tài)作信道實現(xiàn)Bell態(tài)的隱形傳輸更優(yōu)于團簇態(tài).

3.2 總結本文研究Bell態(tài)在團簇態(tài)作量子信道下,隱形傳輸后塌縮態(tài)的糾纏度的變化,主要進行了以下幾方面的研究工作并獲得相應的研究成果.

1) 利用馮·諾依曼熵計算糾纏態(tài)

|Ψ〉12=(x|00〉+y|11〉)12

的糾纏度,得到其糾纏度與糾纏態(tài)參數(shù)相關,當

時,糾纏度達到最大值1.

2) 利用馮·諾依曼熵計算隱形傳輸后塌縮態(tài)的糾纏度,得出經量子信道傳輸,塌縮態(tài)的糾纏度與糾纏態(tài)參數(shù)和信道參數(shù)有關.如果

a2+b2=s,c2+d2=1-s,

3) 當糾纏態(tài)參數(shù)

時,信道參數(shù)a、b與c、d對塌縮態(tài)糾纏度影響程度相同,信道參數(shù)取值不同,塌縮態(tài)糾纏度會有不同的變化趨勢:

ii) 如果a、b、c、d未知,此時在噪聲環(huán)境下,隱形傳輸成功的概率小于1,并且所獲塌縮態(tài)的糾纏度與信道參數(shù)相關.結論如下:

本文基于團簇態(tài)隱形傳輸Bell態(tài),討論所獲塌縮態(tài)糾纏度的變化與信道參數(shù)的關系,并給出信道選擇合理的范圍,在量子通訊中信道選取具有一定意義.但仍有一些問題尚待討論,如是否可以將利用糾纏度刻畫信道的選取推廣到其他量子隱形傳輸協(xié)議中,其中測量是否引起塌縮態(tài)的糾纏度的改變,如何提高量子信息態(tài)的糾纏度等.