混凝土單軸受拉斷裂行為的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模擬

張晨明，侯東帥，張洪智，張 偉

(1.青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院，青島 266520；2.山東大學(xué)齊魯交通學(xué)院，濟(jì)南 250002)

0 引 言

作為建筑結(jié)構(gòu)中最重要的材料之一，混凝土的用量巨大。然而混凝土中裂縫的存在會(huì)導(dǎo)致其力學(xué)性能劣化甚至破壞。因此，研究混凝土中裂縫的萌生和擴(kuò)展機(jī)理對(duì)預(yù)測(cè)和預(yù)防混凝土開(kāi)裂具有重要意義。盡管?chē)?guó)內(nèi)外眾多學(xué)者[1-2]對(duì)混凝土開(kāi)展了眾多研究，但其破壞機(jī)理仍有待深入探索。目前數(shù)值模型是研究混凝土斷裂問(wèn)題的有效途徑，傳統(tǒng)的混凝土數(shù)值模型主要包括粘聚區(qū)模型(CZM)[3-6]、有限元模型(FEM)[7-10]、擴(kuò)展有限元模型(EFEM)[11-14]，以及格構(gòu)模型[15-17]等。其理論基礎(chǔ)是基于空間偏微分方程和連續(xù)性假設(shè)的斷裂力學(xué)理論，而裂縫出現(xiàn)時(shí)會(huì)造成裂縫尖端位移場(chǎng)不連續(xù)，即此處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，因而偏微分方程中的空間導(dǎo)數(shù)便失去了意義。傳統(tǒng)力學(xué)的另一個(gè)假設(shè)是局部性假設(shè)，即認(rèn)為某質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只取決于該質(zhì)點(diǎn)處的變形。該假設(shè)在宏觀(guān)尺度一般是可接受的，但當(dāng)尺度進(jìn)一步縮小時(shí)，局部作用假設(shè)的精度就會(huì)降低。此外，傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法在分析斷裂問(wèn)題時(shí)需要?jiǎng)澐志W(wǎng)格或者預(yù)設(shè)裂紋路徑，因此在預(yù)測(cè)裂縫萌生和擴(kuò)展方面還存在著精度和計(jì)算效率方面的困難[18-19]。

近年來(lái)，一種新興的非局部理論近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)[20-22](peridynamics，PD)的提出，為進(jìn)一步研究混凝土的斷裂機(jī)理提供了另一種方案。與基于連續(xù)性假設(shè)的斷裂力學(xué)理論不同的是，前者采用偏微分方程，而PD理論采用空間積分方程和時(shí)間微分方程來(lái)描述不連續(xù)現(xiàn)象，質(zhì)點(diǎn)與一定距離內(nèi)的其他質(zhì)點(diǎn)相互作用，而不僅僅是與相鄰的質(zhì)點(diǎn)相互作用。因此，在沒(méi)有附加修正準(zhǔn)則的情況下，可以避免裂紋尖端位移場(chǎng)的不連續(xù)性，使裂紋能夠在物體中自然萌生、擴(kuò)展和分支?；诖耍肞D理論可以對(duì)許多傳統(tǒng)的混凝土動(dòng)、靜態(tài)斷裂問(wèn)題進(jìn)行更加合理的研究。如Huang等[23]建立了混凝土板的數(shù)值模型，采用PD理論分析了其在沖擊荷載和靜態(tài)荷載作用下的損傷形式。考慮到水泥砂漿在細(xì)觀(guān)尺度上的非均質(zhì)性，Hou等[24]利用PD理論對(duì)水泥砂漿的斷裂性能和應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)進(jìn)行了研究。此外，已有文獻(xiàn)報(bào)道了PD理論和FEM的耦合工作。Oterkus等[25]研究了復(fù)合結(jié)構(gòu)加筋板在軸向拉伸荷載下的損傷過(guò)程，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象吻合較好。為了充分利用PD和FEM的優(yōu)點(diǎn)，Liu等[26]引入界面單元對(duì)PD區(qū)域和FEM區(qū)域進(jìn)行耦合，通過(guò)對(duì)三維桿件的研究，驗(yàn)證了耦合損傷方法的合理性。在這些研究中，PD理論在處理斷裂、失穩(wěn)和沖擊等方面的可靠性得到了成功驗(yàn)證。但目前應(yīng)用PD理論研究混凝土卻較少涉及其多相非均質(zhì)性，因此，本文通過(guò)構(gòu)建由多相材料組成的混凝土數(shù)值模型，對(duì)其在單軸拉伸作用下的力學(xué)性能和斷裂特征進(jìn)行了研究。

1 模擬方法

1.1 近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介

圖1為原始微觀(guān)彈脆性模型(original micro-elastic brittle model)中質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。如圖1所示，近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論假定物體占據(jù)空間某一區(qū)域，通過(guò)研究某一質(zhì)點(diǎn)x與其影響區(qū)域(近場(chǎng)范圍δ)內(nèi)的其他質(zhì)點(diǎn)間的相互作用來(lái)分析物體的運(yùn)動(dòng)。在任一時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)x近場(chǎng)范圍內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為x的族Hx，超出族Hx以外的質(zhì)點(diǎn)將不與x發(fā)生相互作用。類(lèi)似地，質(zhì)點(diǎn)y也僅與族Hy內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)存在相互作用。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，其基本運(yùn)動(dòng)方程可用式(1)表示：

圖1 原始微觀(guān)彈脆性模型中質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力

(1)

兩質(zhì)點(diǎn)的位置矢量和位移矢量可分別表示為ξ=y-x和η=u(y)-u(x)，則運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為：

(2)

根據(jù)牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律，本構(gòu)力函數(shù)f必須滿(mǎn)足：

f(-η,-ξ)=-f(η,ξ)

(3)

作為鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論中最常用的一種，原始微觀(guān)彈脆性模型忽略橫向和剪切變形，假定質(zhì)點(diǎn)間的成對(duì)等值相互作用力(又稱(chēng)為鍵力)只取決于質(zhì)點(diǎn)間鍵的伸長(zhǎng)率。對(duì)于由單層材料組成的近似二維物體，本構(gòu)力函數(shù)f可表示為：

(4)

(5)

(6)

式中：c為質(zhì)點(diǎn)間的鍵剛度；s為鍵的伸長(zhǎng)率；k為材料的體積模量；h為單層材料點(diǎn)的厚度。

原始微觀(guān)彈脆性模型的本構(gòu)模型可用圖2表示。在線(xiàn)彈性階段，本構(gòu)力函數(shù)f與伸長(zhǎng)率s呈線(xiàn)性增加關(guān)系，當(dāng)伸長(zhǎng)率s超過(guò)某一閾值s0，質(zhì)點(diǎn)間的相互作用將會(huì)不復(fù)存在。鍵的狀態(tài)μ可用式(7)表示：

圖2 材料受拉的本構(gòu)模型

(7)

質(zhì)點(diǎn)x的損傷可被定義為：

(8)

損傷D(x,t)的取值范圍為0～1，當(dāng)損傷為0時(shí)代表質(zhì)點(diǎn)處于彈性階段，損傷為1時(shí)表示質(zhì)點(diǎn)完全發(fā)生破壞，一般認(rèn)為，當(dāng)損傷≥0.5時(shí)就會(huì)有裂縫產(chǎn)生[27]。

1.2 模型構(gòu)建和參數(shù)設(shè)置

本文基于隨機(jī)骨料模型[28]和蒙特卡羅法[29]開(kāi)展研究。模型尺寸如圖3所示，骨料形狀為球形，粒徑范圍為3～8 mm，符合富勒級(jí)配，骨料體積比為40%。模型分辨率為0.4 mm，共包含76 576個(gè)質(zhì)點(diǎn)。根據(jù)數(shù)值模型中的質(zhì)點(diǎn)位置將其分為兩類(lèi)：骨料質(zhì)點(diǎn)和砂漿質(zhì)點(diǎn)，因此形成了砂漿-砂漿鍵、骨料-骨料鍵以及砂漿-骨料(ITZ)鍵。近場(chǎng)作用范圍δ=1.2 mm，各類(lèi)型鍵剛度c可通過(guò)式(5)計(jì)算，模型在x和y方向均為自由邊界。借助LAMMPS軟件，對(duì)數(shù)值試件上下端25 mm范圍內(nèi)賦予1 μm/s的初始速度開(kāi)始拉伸直至完全破壞。

圖3 單軸拉伸模型

2 結(jié)果與討論

2.1 數(shù)值算例

采用表1所示的各相材料力學(xué)參數(shù)(下文各相材料的彈性模量和抗拉強(qiáng)度分別用EA、EM、EITZ、fTA、fTM以及fTITZ表示)，數(shù)值試件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和斷裂過(guò)程如圖4所示。在單軸拉伸荷載作用下，數(shù)值試件首先進(jìn)入線(xiàn)彈性階段(O-A段)，此過(guò)程質(zhì)點(diǎn)間的鍵幾乎不發(fā)生斷裂，沒(méi)有微裂縫萌生；隨著變形的增大，試件應(yīng)力逐漸增大直至達(dá)到峰值應(yīng)力(A-B段)，此過(guò)程質(zhì)點(diǎn)間的鍵開(kāi)始發(fā)生斷裂，裂縫從ITZ區(qū)域的多個(gè)位置萌生；接著進(jìn)入下降段(B-C段)，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)間鍵的斷裂數(shù)量急劇增加，裂縫逐步擴(kuò)展并形成貫通的主裂縫(C-D段)，導(dǎo)致試件發(fā)生破壞。值得注意的是，本文中的力學(xué)曲線(xiàn)中基本沒(méi)有出現(xiàn)軟化段，這主要是因?yàn)殒I基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)本構(gòu)關(guān)系忽略了砂漿在更小尺度的延性[30-31]。根據(jù)結(jié)果可知，正是骨料和砂漿之間存在的薄弱區(qū)域(ITZ)造成了混凝土在外荷載下的開(kāi)裂以致破壞。從力學(xué)曲線(xiàn)和斷裂過(guò)程來(lái)看，所建立的數(shù)值模型能較好地對(duì)應(yīng)混凝土在單軸拉伸作用下的力學(xué)行為。

表1 數(shù)值模型的各相力學(xué)參數(shù)

圖4 單軸拉伸載荷下數(shù)值模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系及斷裂鍵數(shù)與應(yīng)變的關(guān)系

2.2 粗骨料含量的影響

保持各相力學(xué)參數(shù)不變，對(duì)粗骨料含量分別為30%、40%和50%(均為體積分?jǐn)?shù))的數(shù)值試件進(jìn)行單軸拉伸模擬。圖5為三種粗骨料含量下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)。如圖5所示，隨著粗骨料含量的升高，在線(xiàn)彈性階段，各試件彈性模量和抗拉強(qiáng)度均逐漸降低，達(dá)到峰值應(yīng)力時(shí)所對(duì)應(yīng)的峰值應(yīng)變逐漸減小。具體來(lái)說(shuō)，在達(dá)到峰值應(yīng)力時(shí)，粗骨料含量為30%、40%和50%對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分別為4.06×10-4、3.98×10-4和3.42×10-4。這是因?yàn)殡S著粗骨料含量的增多，砂漿與粗骨料之間的薄弱區(qū)域(ITZ)也隨之增加。將應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)進(jìn)行歸一化處理后(見(jiàn)圖6)，結(jié)果表明50%粗骨料含量的試件延性最高。這主要是因?yàn)殡S著粗骨料含量的增加，ITZ也隨之增加，結(jié)合三種粗骨料含量下數(shù)值試件破壞形態(tài)(見(jiàn)圖7)可知，與含30%和40%粗骨料的數(shù)值試件相比，含有50%粗骨料數(shù)值試件的ITZ區(qū)域萌生了更多的裂縫，因而拉伸過(guò)程中消耗了更多能量，延性較前兩者略好。

圖5 三種粗骨料含量下數(shù)值試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖6 三種粗骨料含量下數(shù)值試件的歸一化應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖7 三種粗骨料含量下數(shù)值試件的破壞形態(tài)

2.3 ITZ抗拉強(qiáng)度的影響

數(shù)值算例中fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶1，通過(guò)改變fTITZ的值研究了其對(duì)數(shù)值試件力學(xué)性能的影響。圖8為不同ITZ強(qiáng)度下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)。由圖8可知，在單軸拉伸荷載作用下，數(shù)值試件的抗拉強(qiáng)度隨著fTITZ的增強(qiáng)而提高。當(dāng)ITZ不存在(即fTM=fTITZ)時(shí)，數(shù)值試件抗拉強(qiáng)度提高比較明顯，說(shuō)明混凝土均質(zhì)性的提高有助于力學(xué)性能的提升。圖9為不同ITZ強(qiáng)度下的歸一化應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)。圖9表明，隨著fTITZ的增大，數(shù)值試件脆性也呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)。

圖8 不同ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖9 不同ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的歸一化應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

通過(guò)對(duì)圖10數(shù)值試件破壞的過(guò)程分析可知，當(dāng)fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶0.5和20∶10∶1時(shí)，隨著變形的增加，裂縫均從多個(gè)ITZ區(qū)域萌生和擴(kuò)展，最終形成貫通裂縫導(dǎo)致混凝土破壞。當(dāng)fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶5時(shí)，裂縫基本上只在試件截面中間位置的ITZ區(qū)域萌生，截面尺寸最小位置處的砂漿內(nèi)部也會(huì)有少許裂縫萌生。隨著進(jìn)一步加載，兩區(qū)域的裂縫逐漸擴(kuò)展、交叉形成貫通裂縫。當(dāng)fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶10時(shí)，裂縫不再?gòu)腎TZ區(qū)域萌生，而是從截面尺寸最小的位置萌生并逐步向試件內(nèi)部擴(kuò)展。此外，隨著fTITZ的提高，出現(xiàn)損傷的ITZ區(qū)域逐漸減少，這也是造成含有較低強(qiáng)度ITZ的試件有較大延性的原因。

圖10 不同ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的最終破壞形態(tài)

2.4 粗骨料強(qiáng)度的影響

以數(shù)值算例為基準(zhǔn)組(fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶1)，保持砂漿和ITZ的力學(xué)參數(shù)不變，通過(guò)等比例改變粗骨料的彈性模量和抗拉強(qiáng)度，模擬了數(shù)值試件的力學(xué)響應(yīng)和斷裂形態(tài)。

圖11為不同粗骨料強(qiáng)度下數(shù)值試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)。由圖11可知，隨著粗骨料力學(xué)性能的降低，數(shù)值試件的抗拉強(qiáng)度總體呈現(xiàn)降低趨勢(shì)，但當(dāng)fTA∶fTM∶fTITZ為10∶10∶1和5∶10∶1時(shí)，數(shù)值試件的抗拉強(qiáng)度反而上升。圖12為不同粗骨料強(qiáng)度下數(shù)值試件的歸一化應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)。由圖12可知，當(dāng)fTA∶fTM∶fTITZ=10∶10∶1和5∶10∶1時(shí)，數(shù)值試件的延性要更好。

圖11 不同粗骨料強(qiáng)度下數(shù)值試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖12 不同粗骨料強(qiáng)度下數(shù)值試件的歸一化應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖13為不同粗骨料強(qiáng)度下數(shù)值試件的最終破壞形態(tài)。由圖13可知，當(dāng)fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶1、15∶10∶1、10∶10∶1和5∶10∶1時(shí)(見(jiàn)圖13(a)～(d))，數(shù)值試件中裂縫的萌生、擴(kuò)展以及最終斷裂形態(tài)與基準(zhǔn)組類(lèi)似。與(a)、(b)兩組相比，(c)、(d)兩組在破壞時(shí)除了存在一條主裂縫以外，還萌生了一條次裂縫，因此斷裂的鍵數(shù)更多，抗拉強(qiáng)度更高。當(dāng)fTA∶fTM∶fTITZ=1∶10∶1和0.5∶10∶1時(shí)(見(jiàn)圖13(e)和(f))，裂縫不只從ITZ區(qū)域萌生，而是在骨料內(nèi)部和ITZ區(qū)域同時(shí)萌生并擴(kuò)展，最后穿過(guò)骨料內(nèi)部形成主裂縫，該情況與輕骨料混凝土的破壞形式[31]類(lèi)似，因此通過(guò)改變骨料力學(xué)參數(shù)，本文所建立的模型也能較為合理地模擬出單軸拉伸荷載下輕骨料混凝土的破壞過(guò)程。

圖13 不同粗骨料強(qiáng)度下數(shù)值試件的最終破壞形態(tài)

2.5 砂漿和ITZ抗拉強(qiáng)度的影響

以數(shù)值算例為基準(zhǔn)組，保持骨料的力學(xué)參數(shù)不變，通過(guò)同比例增大砂漿和ITZ的彈性模量和抗拉強(qiáng)度，對(duì)數(shù)值試件的力學(xué)曲線(xiàn)和斷裂形態(tài)進(jìn)行了模擬。

圖14為不同骨料和ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)。如圖14所示，砂漿和ITZ力學(xué)性能的提升會(huì)帶來(lái)數(shù)值試件彈性模量和抗拉強(qiáng)度的明顯增大，這主要是因?yàn)榱芽p一般從ITZ區(qū)域萌生并沿砂漿內(nèi)部擴(kuò)展，因此砂漿和ITZ性能提高會(huì)使裂縫在萌生和擴(kuò)展時(shí)消耗更多能量，因而數(shù)值試件的彈性模量和抗拉強(qiáng)度逐漸增大。此外，不同骨料和ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的歸一化曲線(xiàn)(見(jiàn)圖15)表明，隨著砂漿和ITZ的彈性模量和抗拉強(qiáng)度的增大，數(shù)值試件的延性逐漸降低，脆性逐漸增大。

圖14 不同骨料和ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖15 不同骨料和ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的歸一化應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖16為不同骨料和ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的最終斷裂形態(tài)。如圖16中(a)～(c)所示，當(dāng)fTA∶fTM≥1時(shí)，砂漿和ITZ力學(xué)性能的提高對(duì)混凝土斷裂的最終形態(tài)基本沒(méi)有影響，裂縫的萌生和擴(kuò)展過(guò)程也與基準(zhǔn)組相似。當(dāng)fTA∶fTM<1時(shí)，ITZ雖仍是體系中的最薄弱區(qū)域，但砂漿強(qiáng)度超過(guò)骨料強(qiáng)度，骨料成為體系中的次薄弱區(qū)域，因此骨料表面出現(xiàn)少量損傷。當(dāng)fTM∶fTITZ=1時(shí)，裂縫從骨料表面萌生并向試件截面尺寸最小的中間部位擴(kuò)展，數(shù)值試件的抗拉強(qiáng)度出現(xiàn)大幅度提升，模擬結(jié)果可以與高強(qiáng)混凝土的斷裂過(guò)程對(duì)應(yīng)[32]。

圖16 不同骨料和ITZ強(qiáng)度下數(shù)值試件的最終斷裂形態(tài)

3 結(jié) 論

(1)本文所建立的基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論的數(shù)值模型可以較好地模擬混凝土在單軸拉伸作用下的力學(xué)曲線(xiàn)和斷裂形態(tài)。但由于鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)本構(gòu)關(guān)系忽略了砂漿在更小尺度的延性以及二維數(shù)值模型不能很好地再現(xiàn)實(shí)際三維混凝土試件，因而試件在達(dá)到峰值應(yīng)力之后，力學(xué)曲線(xiàn)出現(xiàn)急劇下降趨勢(shì)，不能很好地再現(xiàn)軟化段的曲線(xiàn)。后續(xù)研究對(duì)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論進(jìn)行修正,同時(shí)也應(yīng)結(jié)合CT斷層掃描、圖像識(shí)別技術(shù)和有限元方法對(duì)三維試件進(jìn)行模型重構(gòu)，使其能更加精確地預(yù)測(cè)混凝土的破壞過(guò)程,從而對(duì)工程結(jié)構(gòu)的材料設(shè)計(jì)起到指導(dǎo)作用。

(2)粗骨料含量的增加會(huì)在混凝土中引入更多的界面過(guò)渡區(qū)，從而導(dǎo)致抗拉強(qiáng)度降低，但存在閾值。粗骨料含量小于此閾值時(shí)，隨著粗骨料含量的增加，混凝土的延性降低；粗骨料含量大于此閾值時(shí)，界面過(guò)渡區(qū)萌生了更多的裂縫，因此延性有所提高。此外，不同粗骨料含量下，裂縫的萌生均從界面過(guò)渡區(qū)開(kāi)始，沿著骨料邊緣或砂漿內(nèi)部擴(kuò)展和交叉，最終形成貫通的主裂縫。但粗骨料含量較高時(shí)，多個(gè)位置的界面過(guò)渡區(qū)萌生裂縫。

(3)砂漿基體和界面過(guò)渡區(qū)力學(xué)性能的提高會(huì)提升混凝土的抗拉強(qiáng)度，同時(shí)導(dǎo)致混凝土延性降低，脆性增加。改變骨料、砂漿和界面過(guò)渡區(qū)的力學(xué)參數(shù)比值可以較好地模擬出不同類(lèi)型的混凝土在單軸拉伸荷載下的力學(xué)性能和斷裂形態(tài)。輕骨料混凝土中的輕骨料取代界面過(guò)渡區(qū)成為體系中較為薄弱的區(qū)域，而高強(qiáng)混凝土中截面尺寸最小位置和界面過(guò)渡區(qū)共同成為體系中較為薄弱的區(qū)域，因而輕骨料混凝土和高強(qiáng)混凝土裂縫發(fā)展規(guī)律與普通混凝土有所不同。