基于突變理論的巖溶隧道填充物溶腔底板失穩(wěn)數(shù)值分析

張軍， 劉遠(yuǎn)

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410114；2.貴州省宏信創(chuàng)達(dá)工程檢測(cè)咨詢有限公司， 貴州 貴陽(yáng) 550014)

1 引言

中國(guó)的交通行業(yè)高速發(fā)展，尤其是在西南地區(qū)修建隧道過(guò)程中遇到的各種問(wèn)題越來(lái)越嚴(yán)重，例如在喀斯特地區(qū)修建隧道時(shí)，經(jīng)常伴隨著塌方、突水涌泥的地質(zhì)災(zāi)害，一方面制約工程的發(fā)展[1-4]；另一方面危害到人身安全。巖溶隧道開(kāi)挖過(guò)程中會(huì)遇到填充型溶腔、承壓水溶腔和豎向溶槽等不良地質(zhì)，溶腔內(nèi)的填充物對(duì)周邊巖層產(chǎn)生一定的沖擊和侵蝕，巖層不足以承擔(dān)上部荷載的沖擊造成失穩(wěn)破壞[5]，因此對(duì)巖溶隧道突水涌泥機(jī)制等問(wèn)題的研究對(duì)工程應(yīng)用具有很大價(jià)值。該文以湖南永吉高速公路六月田隧道頂部涌泥為例進(jìn)行分析研究。

2 填充物溶腔底板失穩(wěn)因素分析

六月田隧道的填充型溶腔位于隧道頂部，并且溶腔尺寸大于隧道的輪廓，根據(jù)突變理論尖點(diǎn)突變模型，簡(jiǎn)化填充型溶腔底板為周邊固支的圓形板，半徑為r0，底板厚度為t，ω為填充型溶腔底板撓度，填充型溶腔底板巖層的彈性模量為E，泊松比為μ。巖層自重q和填充物的作用力p作用在底板巖層上(圖1)。

圖1圓形板力學(xué)模型的邊界條件為[6-8]：

(1)

式中:ur為徑向位移；ω=(fr)。

圖1 簡(jiǎn)化圓形板力學(xué)模型

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)已知板的彈性理論，圓形板彎曲變形的表達(dá)式為:

(2)

(3)

按照邊界條件式(1)，徑向位移ur級(jí)數(shù)表達(dá)式如下:

(4)

(5)

由彈性力學(xué)的變分法可求得：

(6)

式中：b1、b2為常數(shù)。

將式(6)代入式(5)，得到：

(7)

填充溶腔底板巖層系統(tǒng)的總勢(shì)能函數(shù)表示如下:

Π=U-W

(8)

式中：U為巖層內(nèi)部的變形勢(shì)能；W為外力所做的功。

根據(jù)彈性力學(xué)理論，U1為底板巖層的彎曲變形勢(shì)能，U2為底板巖層相應(yīng)于中面應(yīng)變的勢(shì)能，因此U可表達(dá)為：

U=U1+U2

(9)

(10)

(11)

對(duì)式(10)、(11)進(jìn)行積分可求得：

(12)

把式(12)代入式(9)可求得巖層內(nèi)部總勢(shì)能：

(13)

式中:b3為常數(shù)。

巖層自重及巖層上方覆蓋層q和填充物p所做的功為W1；巖層自重和填充物在徑向位移方向上所做的功為W2，兩者之和即為總功，表達(dá)為：

W=W1+W2

(14)

W1=?(q+p)ωrdθdr,W2=?(q+p)urrdθdω

(15)

對(duì)式(15)進(jìn)行積分可求得：

(16)

將式(16)代入式(14),可得外力所做的功為：

(17)

式中:b4為常數(shù)。

將式(13)和式(17)代入式(8)，可得填充溶腔底板巖層系統(tǒng)的總勢(shì)能函數(shù)表達(dá)式為:

(18)

假設(shè)：

(19)

根據(jù)式(19)可將式(18)簡(jiǎn)化為：

(20)

根據(jù)Tschimhaus變換，令：

(21)

另外設(shè)：

(22)

通過(guò)式(21)、(22)可將式(20)簡(jiǎn)化為：

Π=g4x4+g2x2+g1x+g0

(23)

對(duì)式(23)進(jìn)一步的化簡(jiǎn)，可令：

(24)

則式(23)可以化簡(jiǎn)成：

(25)

式中：x為狀態(tài)參數(shù)；u、v為控制參數(shù)。

根據(jù)突變理論，式(25)可以轉(zhuǎn)換成突變的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)：

(26)

(27)

上述公式給出了填充腔體底部巖層結(jié)構(gòu)曲面的穩(wěn)定性平衡是由狀態(tài)參數(shù)x、控制參數(shù)u和v組成的三葉折疊曲面，由上葉、中葉和下葉組成，如圖2(a)所示[10-12]。從圖2(a)中可以看出；充填溶腔的底板巖層系統(tǒng)在平衡曲面上葉或下葉時(shí)是處于穩(wěn)定狀態(tài)，因?yàn)閹r層系統(tǒng)在上葉或者下葉時(shí)為極小點(diǎn)；當(dāng)巖層系統(tǒng)位于中葉時(shí)，它是不穩(wěn)定的，因?yàn)榇藭r(shí)表現(xiàn)為極大點(diǎn)。引導(dǎo)巖層系統(tǒng)穩(wěn)定平衡面x、v通過(guò)平面投影得到圖2(b)。當(dāng)控制參數(shù)v在上葉H到H′移動(dòng)過(guò)程中，溶腔底板仍處于穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定性沒(méi)有發(fā)生本質(zhì)變化，但是巖層會(huì)繼續(xù)產(chǎn)生蠕變或移動(dòng)。當(dāng)控制參數(shù)v到A點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，巖層系統(tǒng)在極大點(diǎn)的上邊界，此時(shí)處于臨界狀態(tài)。外部的任何擾動(dòng)都會(huì)使得臨界狀態(tài)向不穩(wěn)定狀態(tài)發(fā)展，即由圖2(a)的上葉突跳至中葉，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但是系統(tǒng)不會(huì)一直停留在此階段，它會(huì)跳躍至下葉，巖層底板經(jīng)過(guò)不穩(wěn)定階段后造成失穩(wěn)破壞?？刂茀?shù)v由下葉到上葉的移動(dòng)過(guò)程中，必然經(jīng)過(guò)另外一個(gè)臨界點(diǎn)A，同樣不會(huì)在中葉停留，會(huì)跳躍至上葉。將巖層系統(tǒng)穩(wěn)定平衡面投影到u、v曲線上可得圖2(c)。

圖2 尖點(diǎn)突變模型

(28)

根據(jù)式(27)和(28)可得分叉集方程：

4u3+27v2=0

(29)

從圖2(c)可以看出：只有u≤0，系統(tǒng)才有可能通過(guò)分叉集。因此，底部巖層系統(tǒng)不穩(wěn)定的必要條件為:

u≤0

(30)

將式(19)～(24)代入式(30)可得：

(31)

對(duì)式(31)進(jìn)一步化簡(jiǎn)可以得到巖層的臨界厚度：

(32)

由式(31)、(32)可以看出：導(dǎo)致底板巖層不穩(wěn)定的因素有:巖層厚度、巖層的彈性模量、巖層上方q+p荷載作用和溶洞的跨度。在必要的失穩(wěn)條件下，底板巖層厚度越薄，巖石彈性模量越小，溶洞洞徑越大，巖層上方荷載作用力越大，底板巖層越不穩(wěn)定。

3 數(shù)值模擬

針對(duì)上節(jié)力學(xué)模型推導(dǎo)所得出的結(jié)論，對(duì)不同圍巖級(jí)別的巖溶隧道進(jìn)行三維數(shù)值建模，對(duì)于每個(gè)計(jì)算參數(shù)主要指工程地質(zhì)數(shù)據(jù)，對(duì)于未知參數(shù)則可參考JTG 3370.1—2018《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》和《工程地質(zhì)規(guī)范》(第四版)，填充參數(shù)以試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，各參數(shù)的具體取值見(jiàn)表1[13]。

為便于分析，徑跨比D是由溶洞洞徑r和隧道距溶洞之間巖層的厚度t的比值定義的。在開(kāi)挖三維隧道時(shí)，主要研究不同圍巖級(jí)別的其他影響因素下溶洞填充物對(duì)其下部巖層的影響，如表2所示，計(jì)算三維隧道的發(fā)展模式。

表1 力學(xué)參數(shù)

表2 三維隧道開(kāi)挖工況

3.1 垂直位移分析

圖3為溶腔底部沉降隨隧道開(kāi)挖推進(jìn)距離的變化。

圖3 填充物溶腔底部各點(diǎn)沉降隨隧道的開(kāi)挖推進(jìn)距離的變化曲線

從圖3可以看出:隨著圍巖等級(jí)的增加，巖層底板的垂直位移都有所增加[14]，各級(jí)圍巖巖層底板位移增加幅度的大小關(guān)系為：Ⅲ級(jí)圍巖<Ⅳ級(jí)圍巖<Ⅴ級(jí)圍巖，并且各級(jí)圍巖溶洞底板中間位移的增加量均大于兩側(cè)的增加量。綜上所述，圍巖等級(jí)越高，底板巖層越容易失穩(wěn)破壞，并且底板巖層中間的位移量最大，受到的影響也最大，巖層破壞很有可能發(fā)生在中間部位。

3.2 應(yīng)力分析

圖4、5為填充物溶洞底部各點(diǎn)應(yīng)力隨隧道開(kāi)挖推進(jìn)距離的變化。

從圖4、5來(lái)看：隧道開(kāi)挖前，兩側(cè)的主應(yīng)力值大于中間點(diǎn)。隧道開(kāi)挖后，中點(diǎn)主應(yīng)力值大于兩側(cè)主應(yīng)力值。一方面，當(dāng)隧道開(kāi)挖到洞的正下方時(shí)，充填洞底部巖層中部的主應(yīng)力變化很大；另一方面，隧道開(kāi)挖時(shí)，無(wú)論周?chē)鷩鷰r的等級(jí)如何變化，底板巖層的應(yīng)力主要為壓應(yīng)力，主要集中在底板巖層的中間。主應(yīng)力變化幅度的大小關(guān)系為：Ⅲ級(jí)圍巖<Ⅳ級(jí)圍巖<Ⅴ級(jí)圍巖，并且都是底板巖層的中間處受到的影響最大，由此可見(jiàn)，圍巖等級(jí)越高，溶腔底板巖層的中間部位受到的影響越大，巖層越容易失穩(wěn)，從而發(fā)生地質(zhì)災(zāi)害。

圖4 填充溶洞底部各點(diǎn)最大主應(yīng)力隨隧道開(kāi)挖推進(jìn)距離的變化曲線

圖5 填充物溶腔底部各點(diǎn)最小主應(yīng)力隨隧道的開(kāi)挖推進(jìn)距離的變化曲線

3.3 塑性區(qū)分析

隨著隧道的不斷開(kāi)挖，填充物對(duì)不同圍巖隧道溶洞底部巖層塑性區(qū)的分布影響如圖6所示(以距溶腔0 m處為例)。

由圖6可以看出：各級(jí)圍巖底板巖層塑性區(qū)范圍擴(kuò)展的大小關(guān)系為：Ⅲ級(jí)圍巖<Ⅳ級(jí)圍巖<Ⅴ級(jí)圍巖，底板巖層塑性區(qū)分布范圍隨著圍巖等級(jí)的增加有明顯的增大，溶腔底板周?chē)膰鷰r越差，塑性區(qū)擴(kuò)展的范圍越大，當(dāng)圍巖為Ⅳ級(jí)時(shí)，塑性破壞區(qū)處于臨界狀態(tài)，此時(shí)巖層未失穩(wěn)，當(dāng)圍巖為Ⅴ級(jí)時(shí)，底板巖層的塑性破壞區(qū)已經(jīng)擴(kuò)展到隧道拱頂上方，并和拱頂上方的塑性破壞區(qū)貫通，說(shuō)明巖層已經(jīng)失穩(wěn)，因此引發(fā)突泥涌水等地質(zhì)災(zāi)害?？偠灾?，圍巖等級(jí)越高，巖石的堅(jiān)硬程度降低，圍巖完整性越差，彈性模量越小，溶腔底板巖層越容易失穩(wěn)破壞。

圖6 不同圍巖溶腔底部巖層塑性區(qū)分布圖

4 結(jié)論

結(jié)合湖南省永吉高速公路六月田隧道頂部突泥的實(shí)際情況，根據(jù)突變理論，簡(jiǎn)化隧道拱頂上方溶腔為圓形板模型，通過(guò)理論推導(dǎo)得出影響填充物溶腔底板失穩(wěn)突變的因素，結(jié)合數(shù)值模擬的方法對(duì)影響因素進(jìn)行分析，得出以下結(jié)論：

(1) 采用突變理論簡(jiǎn)化隧道上方填充物溶腔為圓形板，建立相應(yīng)的力學(xué)模型，通過(guò)理論計(jì)算得出巖層層厚、巖石彈性模量、巖層上q和p加載層的作用是影響填充物溶腔底板巖層失穩(wěn)突變的主要因素。

(2) 不同圍巖的溶腔底板巖層通過(guò)三維數(shù)值模擬得出底板巖層的垂直位移、應(yīng)力和塑性區(qū)的變化情況。當(dāng)隧道開(kāi)挖輪廓正好位于溶洞下方時(shí)，各級(jí)圍巖填充溶腔底板巖層各點(diǎn)的位移和應(yīng)力均有增加，但中間處的位移和應(yīng)力增加幅度均大于兩側(cè)，當(dāng)圍巖等級(jí)為Ⅴ級(jí)時(shí)，底板巖層中間處的塑性破壞區(qū)已經(jīng)貫穿至隧道拱頂上方，而且和隧道拱頂上方的塑性破壞區(qū)貫通。因此巖層失穩(wěn)突變先從中間處開(kāi)始，引發(fā)突泥地質(zhì)災(zāi)害。彈性模量越小，溶腔底板巖層越容易失穩(wěn)破壞。