基于微元法的侵徹體彈頭摩擦升溫計(jì)算方法

邵 偉，范錦彪，耿宇飛，王 瑋

(中北大學(xué)儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051)

0 引言

侵徹過程中彈靶間發(fā)生的高速滑動(dòng)摩擦主要集中在彈頭處，其中摩擦力做功的90%以上將轉(zhuǎn)化為熱能,導(dǎo)致彈頭表面溫度劇變[1-3]。

該部分摩擦溫度需在瞬態(tài)條件下獲取，難度較大。文獻(xiàn)[4]先將彈頭錐面近似分解為無(wú)數(shù)個(gè)的等邊三角形，通過彈體侵徹過程中摩擦力和法向力，計(jì)算出每個(gè)三角形上的熱流強(qiáng)度，再乘以熱流持續(xù)時(shí)間，得到彈頭單位面積上的摩擦升溫值；文獻(xiàn)[5]先在彈體侵徹中承受介質(zhì)阻抗外力公式的基礎(chǔ)上分析得到彈體所受摩擦力的表達(dá)式，再分析了摩擦力與溫度的轉(zhuǎn)化公式，將摩擦力表達(dá)式帶入到轉(zhuǎn)化公式中，得到彈頭處摩擦升溫值；文獻(xiàn)[6]對(duì)侵徹過程中彈體所受的等效摩擦應(yīng)力、滑動(dòng)率、摩擦功轉(zhuǎn)熱系數(shù)和摩擦功耗散功率四項(xiàng)求積得到摩擦升溫值。

由上述介紹可知，這些方法都是將彈體侵徹混凝土靶摩擦升溫瞬態(tài)過程簡(jiǎn)化為穩(wěn)態(tài)過程，彈頭處受到摩擦力、法向力和侵徹速度等按均值處理,其分析過程不嚴(yán)密必然導(dǎo)致計(jì)算精度較低。本文針對(duì)該問題，根據(jù)Forrestal侵徹阻力分析法和摩擦熱力學(xué)，提出基于微元法的侵徹體彈頭摩擦升溫計(jì)算方法。

1 Forrestal侵徹阻力分析法及摩擦 熱力學(xué)

1.1 Forrestal侵徹阻力分析法

文獻(xiàn)[7—9]基于對(duì)侵徹體侵徹土壤類介質(zhì)的摩擦阻力分析，提出侵徹混凝土力學(xué)方程。當(dāng)侵徹目標(biāo)靶為混凝土?xí)r，侵徹體侵徹通道先后為開坑區(qū)和貫穿洞區(qū)。Forrestal認(rèn)為開坑過程發(fā)生在4R(R為侵徹體半徑)深度內(nèi)，侵徹阻力隨侵徹深度增大而線性增大，該區(qū)域的力學(xué)變化滿足胡克定律[10-11]。當(dāng)深度大于4R之后，侵徹阻力與深度的關(guān)系可采用空腔膨脹理論描述，F(xiàn)orrestal提出整個(gè)過程的軸向阻力計(jì)算公式為：

(1)

式(1)中，C為侵徹阻力系數(shù)，h為侵徹深度，B為動(dòng)阻力項(xiàng)系數(shù)，B=1，fc為材料的單向無(wú)側(cè)限抗壓強(qiáng)度，N為侵徹體頭部形狀因子，ρ為混凝土密度，v為侵徹體速度，S為侵徹過程中高溫高壓以及高應(yīng)變率效應(yīng)對(duì)靶體強(qiáng)度的影響。

文獻(xiàn)[12]提出當(dāng)16.5 MPa≤fc≤176 MPa時(shí)，S與fc的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

(2)

侵徹阻力系數(shù)C和頭部因子N的表達(dá)式為:

(3)

N=(8Ψ-1)/(24Ψ2)，

(4)

式(3)、式(4)中，m為侵徹體質(zhì)量，v0侵徹體初速度，v1為開坑結(jié)束時(shí)的速度，Ψ為曲徑比。

當(dāng)侵入深度為4R開坑階段結(jié)束，撞擊過程也隨之結(jié)束。根據(jù)連續(xù)性，由式(1)可得，此時(shí)的侵徹體速度為：

(5)

聯(lián)立式(3)和式(5)，可得侵徹阻力系數(shù)C表達(dá)式為：

(6)

1.2 摩擦熱力學(xué)理論

熱力學(xué)是為研究熱現(xiàn)象和力現(xiàn)象兩者之間的關(guān)系發(fā)展起來的宏觀唯向?qū)W理論。摩擦過程熱量場(chǎng)的變化特點(diǎn)是：具有很大的空間和時(shí)間梯度，使熱應(yīng)力以熱沖擊的形式表現(xiàn)出來[1]，將動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能(假設(shè)能量無(wú)其他形式的損耗)。

摩擦生熱是相互摩擦的物體表面分子相互碰撞生熱的結(jié)果：假定一個(gè)物體(混凝土靶)靜止，另一物體(侵徹體)相對(duì)該物體運(yùn)動(dòng)；在此過程中，靜止物體中的分子被撞擊，獲得了運(yùn)動(dòng)物體中分子的部分或全部定向動(dòng)能，使接觸面分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能增大，相互碰撞頻率增多；從而導(dǎo)致相互摩擦的物體表面在宏觀上表現(xiàn)為內(nèi)能增大，溫度升高。一般摩擦產(chǎn)生的熱量用式(7)計(jì)算。

Q=Ff·s，

(7)

式(7)中，F(xiàn)f為兩物體接觸面的滑動(dòng)摩擦力，s為兩物體的相對(duì)位移，計(jì)算公式為：

s=v·t，

(8)

式(8)中，v為物體運(yùn)動(dòng)的速度，t為物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

2 基于微元法的彈頭摩擦溫度計(jì)算

2.1 侵徹體頭部受力分析

由1.1節(jié)可知，本文分析彈頭完全撞擊侵入目標(biāo)靶時(shí)的摩擦阻力屬于開坑階段。由式(1)可計(jì)算得到開坑階段任何深度侵徹體的阻力大小，再對(duì)阻力受力分析，得到彈頭表面所受的摩擦力大小。受力分析如圖1所示。

圖1 受力分析圖Fig.1 Stress analysis diagram

圖1受力分析代表某個(gè)時(shí)刻摩擦力的大小和方向，圖中F阻為軸向阻力，F(xiàn)n為法向力，F(xiàn)f為切向力，即摩擦力。分析可知摩擦力大小取決于該時(shí)刻彈頭侵入混凝土靶深度所對(duì)應(yīng)的阻力大小和彈頭的切線方向的變化情況。當(dāng)彈頭全部侵入混凝土靶板后θ=90°，摩擦力方向不再變化。

由圖1可知，侵徹體撞擊侵入靶板時(shí)，彈頭所受摩擦力為：

Ff=F·sinθ。

(9)

聯(lián)立式(3)、式(7)和式(9)，可得摩擦力表達(dá)式：

(10)

由式(1)和牛頓第二定律式(11)，可得開坑過程中撞擊深度、速度和時(shí)間的關(guān)系，如式(12)和式(13)所示：

(11)

(12)

(13)

式中h為侵徹體撞擊侵入靶板的深度，vt為某一時(shí)刻速度，t為時(shí)間，w為無(wú)量綱常數(shù)，表達(dá)式為：

(14)

聯(lián)立式(10)和式(12)，可得到摩擦力的表達(dá)式如式(15)所示?？芍獜楊^處的摩擦力是關(guān)于時(shí)間t和夾角θ的函數(shù)。

(15)

2.2 摩擦熱量計(jì)算

微元法是一種從部分到整體的思維方法，該法可使一些復(fù)雜的物理過程簡(jiǎn)化成我們熟悉的規(guī)律加以解決。基于微元法的摩擦溫度計(jì)算思路是將彈頭表面分解為無(wú)數(shù)個(gè)小長(zhǎng)方條，先計(jì)算出每個(gè)小長(zhǎng)方條在整個(gè)撞擊過程中的熱量數(shù)值，設(shè)為Q0，再對(duì)整個(gè)彈頭表面的Q0積分，即可得到整個(gè)彈頭表面的總熱量Q，轉(zhuǎn)化關(guān)系式為：

(16)

式(16)中，r為彈頭侵入靶板的切面圓半徑。

現(xiàn)將總熱量的計(jì)算轉(zhuǎn)換為小長(zhǎng)方條的熱量的計(jì)算(設(shè)摩擦力做功全部轉(zhuǎn)化為熱量)，式(7)用于計(jì)算分析勻速、勻摩擦力條件下的摩擦熱量，而在侵徹過程中速度和摩擦力均處在動(dòng)態(tài)變化的過程中，式(7)結(jié)合微元法可得

(17)

式(17)中，F(xiàn)f為滑動(dòng)摩擦力，v為速度，t為時(shí)間。

由式(12)和式(13)可知，撞擊速度和深度是關(guān)于時(shí)間t和夾角θ的函數(shù)，所以對(duì)時(shí)間和夾角在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)積分即可。聯(lián)立式(12)、(13)、(14)和式(17)，積分得出Q0的計(jì)算公式。分析可知，時(shí)間的區(qū)間為(0,t)，夾角的區(qū)間為(0,π/2)，可得：

(18)

聯(lián)立式(16)和式(18)，可得彈頭完全撞擊侵入總熱量Q的表達(dá)式：

(19)

2.3 熱量與溫度的轉(zhuǎn)換

文獻(xiàn)[13]提出高速摩擦條件下瞬態(tài)熱量與溫度的轉(zhuǎn)換方法，對(duì)高速移動(dòng)源熱量被供應(yīng)到一個(gè)固定區(qū)域并存在穩(wěn)態(tài)條件時(shí)，熱流可以看作流經(jīng)熱阻。在本文的情況中，彈頭完全侵入混凝土靶時(shí)，可將彈靶接觸面的熱量看作供應(yīng)在固定區(qū)域。通過式(19)計(jì)算出(0,t)內(nèi)累積的熱量值Q，對(duì)t時(shí)刻Q可視為一個(gè)穩(wěn)態(tài)值。滿足瞬態(tài)熱量與溫度的轉(zhuǎn)換條件。設(shè)彈頭在整個(gè)過程的溫度變化量為T，轉(zhuǎn)換公式為：

(20)

式(20)中，Q為侵徹過程中彈靶接觸面摩擦產(chǎn)生的總熱量，r為撞擊時(shí)彈頭完全侵入混凝土靶的接觸半徑，λ為侵徹體導(dǎo)熱系數(shù)。

聯(lián)立式(19)和式(20)，可得侵徹體侵徹混凝土靶摩擦升溫計(jì)算式：

(21)

化簡(jiǎn)得

(24)

3 算例分析

3.1 理論計(jì)算

設(shè)侵徹體半徑和長(zhǎng)度分別為1.3 cm和3.9 cm，彈頭形狀為半球型，其他參數(shù)如表1所示。混凝土靶參數(shù)如表2所示。

表1 侵徹體參數(shù)Tab.1 Parameters of penetration body

表2 混凝土靶參數(shù)Tab.2 Concrete target parameter

設(shè)侵徹體撞擊初速度v0=800 m/s,將表1和表2中的相關(guān)參數(shù)代入式(22)，可得摩擦溫度變化趨勢(shì)圖，如圖2所示。初始溫度為0 ℃彈頭完全侵入混凝土靶時(shí)摩擦升溫值對(duì)應(yīng)圖中最高點(diǎn)溫度，此值為1 619 ℃。

圖2 溫度變化趨勢(shì)圖Fig.2 Temperature change trend

由圖2可知侵徹體撞擊侵入混凝土靶時(shí),彈頭處摩擦溫度T是關(guān)于時(shí)間t和夾角θ的時(shí)空分布函數(shù)。撞擊侵入伊始，彈靶接觸面積小，升溫速率較緩。隨著彈頭不斷侵入，接觸面積變大，升溫速率隨之加快。

分別計(jì)算初速度v0為800、600、400和200 m/s下的升溫值可得表3。

表3 不同初速度下的升溫值Tab.3 Heating values at different initial speeds

3.2 仿真計(jì)算

有限元軟件ANSYS/LS-DYNA求解非線性動(dòng)力學(xué)等問題功能強(qiáng)大。針對(duì)各種情況下的高速碰撞模擬分析、侵徹過程、爆炸過程和坑狀模擬分析等高度非線性瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)問題優(yōu)勢(shì)巨大。本文使用該軟件完成仿真模擬實(shí)驗(yàn)，仿真類型為熱-固耦合分析，單位制采用cm-g-μs。在建模中彈靶接觸的核心區(qū)域劃分為更加密集的網(wǎng)格。在靶板底部施加約束，模擬固定的靶板。由于模型結(jié)構(gòu)和載荷上的對(duì)稱性，采用1/4建模的方式。時(shí)間步長(zhǎng)由式(23)確定[5]，減少無(wú)關(guān)因素對(duì)仿真的影響，有限元模型如圖3所示。

圖3 彈靶有限元模型Fig.3 Finite element model of projectile target

(23)

式(23)中，L為劃分網(wǎng)格單元的特征長(zhǎng)度，C1為材料在空氣中傳播時(shí)所具有的聲速。

本文針對(duì)高速摩擦熱，不考慮塑型變形熱且侵徹體撞擊混凝土靶速度低于800 m/s時(shí)，可視為剛體不考慮型變和質(zhì)量磨損[12]，侵徹體材料定義為Rigid型，在熱固耦合分析中，該型材料不反映升溫值，需通過定義“Contact”和“Eroding_suface_to_suface”等關(guān)鍵字，使其具有溫升效應(yīng)。侵徹體參數(shù)如表1所示?；炷涟卸x為HJC型,該模型考慮了應(yīng)變率、平均正應(yīng)力以及材料破壞與屈服應(yīng)力的關(guān)系，描述侵徹混凝土具有較高的準(zhǔn)確度[14]，混凝土靶參數(shù)如表2所示。

本文基于Forrestal半經(jīng)驗(yàn)侵徹阻力分析方法，提出侵徹時(shí)彈頭處的摩擦升溫計(jì)算方法。在侵徹阻力分析式(1)中未包含顯式的摩擦系數(shù)項(xiàng)，其原因是該模型中參量S是通過大量的侵徹實(shí)驗(yàn)確定的，摩擦系數(shù)隱含其中[15]。而在彈靶有限元仿真模擬中，摩擦系數(shù)是一個(gè)極為重要的參數(shù)，因此需確定一個(gè)參考性高的摩擦系數(shù)值。

在理論阻力模型中，F(xiàn)orrestal推導(dǎo)的混凝土阻力模型未考慮摩擦系數(shù)[16]，結(jié)果導(dǎo)致理論值比實(shí)驗(yàn)值偏大，隨后對(duì)上述方法進(jìn)行了修正，提出侵徹體無(wú)論侵徹的目標(biāo)是地質(zhì)類靶還是金屬靶[17]，摩擦系數(shù)取0.1時(shí)，理論值與實(shí)驗(yàn)值吻合的更好，基于此結(jié)論摩擦系數(shù)取0.1。

侵徹過程中存在多種干擾因素，因此對(duì)整個(gè)仿真過程需做如下假設(shè)[3]：1) 摩擦產(chǎn)生的熱量無(wú)損失，全部轉(zhuǎn)換為侵徹體的升溫值；2) 侵徹體材料各物性參數(shù)恒定，不隨溫度的變化而變化；3) 選擇彈頭某一網(wǎng)格面，代表彈頭表面溫度變化趨勢(shì)。

在ANSYS/LS-DYNA材料參數(shù)定義中輸入表1和表2 參數(shù)，并完成接觸類型和侵蝕面類型等關(guān)鍵字的定義，完成前處理。仿真過程如圖4所示，初始溫度為20 ℃，撞擊初速度為800 m/s，侵入時(shí)間5.2 μs。由溫度云圖可知此時(shí)侵徹體最高溫度為194.2 ℃。

圖4 仿真過程圖Fig.4 Temperature simulation cloud

本文所用彈靶材料參數(shù)與文獻(xiàn)[18]中的參數(shù)相同。相同速度下得到的仿真溫度如表4所示。

由表4可知，本文仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[18]中的結(jié)果相差較小，二者存在差距主要原因是彈體幾何形狀的差別，在一定程度上驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性。同時(shí)本文仿真得到的侵徹體頭部撞擊侵入靶板的時(shí)間與Forrestal侵徹阻力分析公式(式(12))計(jì)算得到時(shí)間幾乎一致，結(jié)果對(duì)比如表5所示。

表4 溫度對(duì)比Tab.4 Temperature comparison

表5 侵徹時(shí)間對(duì)比Tab.5 Comparison of penetration time

表5的對(duì)比結(jié)果，從另一方面也驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性。

3.3 理論與仿真計(jì)算結(jié)果分析

由式(22)可知侵徹摩擦溫度T是關(guān)于時(shí)間t夾角θ的函數(shù)，而LS-DYNA仿真軟件中只能反映出溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系。為了便于比較，先完成式(22)中變量θ的積分計(jì)算，將溫度只表示為時(shí)間的函數(shù)：

(24)

設(shè)初始溫度為20 ℃，侵徹體初速度分別為800、600、400和200 m/s，將表1和表2中的參數(shù)帶入式(24)中，理論計(jì)算值與LS-DYNA仿真升溫趨勢(shì)對(duì)比如圖5—圖8所示。

圖5 初速800 m/s撞擊溫度變化趨勢(shì)Fig.5 Variation trend of impact temperature with initial velocity of 800 m/s

圖6 初速600 m/s撞擊溫度變化趨勢(shì)Fig.6 Variation trend of impact temperature with initial velocity of 600 m/s

圖7 初速400 m/s撞擊溫度變化趨勢(shì)Fig.7 Variation trend of impact temperature with initial velocity of 400 m/s

圖8 初速200 m/s撞擊溫度變化趨勢(shì)Fig.8 Variation trend of impact temperature with initial velocity of 200 m/s

由圖5—圖8可得出，當(dāng)侵徹體頭部完全撞擊侵入靶板時(shí)，基于微元法的溫度計(jì)算結(jié)果與LS-DYNA仿真結(jié)果吻合較好。圖5—圖8仿真與理論的最高溫度值對(duì)比如表6所示。

表6 系列初速下溫度值仿真與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of series speed simulation and theoretical calculation results

侵徹體以800、600和200 m/s的初速度撞擊，以仿真結(jié)果為參考，相對(duì)誤差僅為4.1%、2.2%和1.8%；而以400 m/s的速度撞擊時(shí)，二者吻合性較差，相對(duì)誤差為8%。侵徹體撞擊初速度為400和200 m/s時(shí)，仿真最終的升溫值大于理論計(jì)算值。從系列圖中可以看出侵徹體撞擊侵入的初始階段，初速度越低，理論計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果吻合得更好。

理論和實(shí)驗(yàn)曲線圖存在差異的原因可能是理論公式計(jì)算中將彈靶接觸面考慮為光滑面，而建立的彈靶有限元模型是由若干表面不連續(xù)的微小網(wǎng)格組成。初始網(wǎng)格數(shù)量少，理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果相差較大。隨著彈頭的不斷侵入，網(wǎng)格數(shù)量增多，二者結(jié)果吻合性也會(huì)隨之增高。

侵徹體撞擊初速度為800 m/s時(shí)，彈頭處摩擦升溫值超過侵徹體材料的熔點(diǎn)，所以可將800 m/s的撞擊初速度視為侵徹體材料熔化的臨界速度。侵徹體材料的熔化不僅與溫度的高低有關(guān)，而且與該溫度持續(xù)的時(shí)間有關(guān)，因此侵徹體材料是否會(huì)熔化還有待于進(jìn)一步論證。

4 結(jié)論

本文提出基于微元法的侵徹體彈頭摩擦升溫計(jì)算方法。該方法在微元法的基礎(chǔ)上構(gòu)建了侵徹體軸向阻力-摩擦力-熱量-溫度的函數(shù)式，通過設(shè)定的侵徹體初速度、靶體密度、導(dǎo)熱系數(shù)等物理參數(shù)獲得侵徹體頭部的溫升曲線。理論計(jì)算結(jié)果表明，侵徹體分別以800、600、400和200 m/s的速度侵徹目標(biāo)時(shí)升溫理論計(jì)算結(jié)果與以仿真結(jié)果誤差僅為4.1%、8%、2.2%和1.8%，理論計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果吻合性較好，更適合用于侵徹體彈頭摩擦升溫理論計(jì)算。

本文不足之處：仿真中以選擇的小網(wǎng)格表示整個(gè)彈頭面的升溫變化趨勢(shì)，存在一定得局限性。由于目前無(wú)法通過實(shí)測(cè)試驗(yàn)得到侵徹體頭部摩擦升溫值，所以本文只針對(duì)靜態(tài)條件下的彈靶物理參數(shù)，計(jì)算獲得理論上的摩擦升溫值。而動(dòng)態(tài)條件下的計(jì)算結(jié)果，還有待于進(jìn)一步研究。

仿真結(jié)果雖與所引文獻(xiàn)差異較小，但在仿真中仍存在多種影響因素，如彈靶初始網(wǎng)格大小、時(shí)間步長(zhǎng)等都可能會(huì)對(duì)仿真結(jié)果產(chǎn)生影響，可建立多組模型進(jìn)一步論證。