基于機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)的磨削姿態(tài)優(yōu)化方法＊

徐 源 尹緒偉 吳超群②

（①武漢理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070；②武漢理工大學(xué)硅酸鹽建筑材料國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070）

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，越來越多的機(jī)器人被用于鉆孔、切割和拋光等機(jī)械加工中。雖然在某些情況下，機(jī)器人加工可以以相對較低的成本執(zhí)行各種任務(wù)。然而由于機(jī)器人的剛度低于傳統(tǒng)CNC機(jī)床（傳統(tǒng)CNC機(jī)床剛度高于50 N/μm，而工業(yè)機(jī)器人剛度小于1 N/μm）[1]，機(jī)器人在加工過程中容易發(fā)生顫振，影響加工質(zhì)量。在假設(shè)機(jī)器人連桿剛性的情況下，機(jī)器人末端的加工剛度主要與機(jī)器人的關(guān)節(jié)剛度和姿態(tài)有關(guān)[2]。對于已經(jīng)具有成熟技術(shù)的工業(yè)機(jī)器人來說，改變它的關(guān)節(jié)剛度非常困難，但是，可以針對工業(yè)機(jī)器人的加工姿態(tài)進(jìn)行優(yōu)化，提高機(jī)器人的加工剛度，得到更好的加工性能[3]。

針對機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化的問題，國內(nèi)外學(xué)者做了許多研究。Guo Y J[4]等通過研究機(jī)器人末端執(zhí)行器的位移與其受力的關(guān)系，得到一種評定給定姿態(tài)下機(jī)器人剛度的性能指標(biāo)。并根據(jù)這一性能指標(biāo)建立機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化模型，得到機(jī)器人在指定加工條件下的最優(yōu)姿態(tài)。Lin Y[5]等提出一種變形評估指標(biāo)來直接說明6R工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器在受力時的變形，并運(yùn)用這一變形評估指標(biāo)獲得機(jī)器人加工變形圖確定末端執(zhí)行器的方向，獲得加工性能最佳的6R機(jī)器人姿態(tài)。但是，針對加工位置固定的工件，機(jī)器人末端的位置和方向是固定的，不能用上述方法優(yōu)化機(jī)器人的姿態(tài)，需要運(yùn)用機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)進(jìn)行求解。針對這類問題，高威[6]等推導(dǎo)出一種基于正運(yùn)動學(xué)的雅可比矩陣迭代數(shù)值求解法，并與傳統(tǒng)封閉求解法作比較，得到數(shù)值求解法更具有通用性，但其迭代過程復(fù)雜，運(yùn)算時間較長。王見[7]等提出一種根據(jù)物體位置信息的6軸機(jī)器人姿態(tài)求解算法，并提出了一種服務(wù)球模型，得到機(jī)器人的姿態(tài)集合。上述求解算法存在多組逆解，多組逆解對應(yīng)的機(jī)器人姿態(tài)不同從而導(dǎo)致加工剛度的不同，需要對多組逆解進(jìn)行分析，以選取加工剛度最優(yōu)的加工姿態(tài)。針對逆解的選取，肖志鍵[8]等根據(jù)解析表達(dá)式的數(shù)學(xué)特性和機(jī)器人運(yùn)動的連續(xù)性得到一種逆解選取優(yōu)化算法，并用軟件仿真證明了算法的有效性。

通過對國內(nèi)外學(xué)者對工業(yè)機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)求解方法的分析發(fā)現(xiàn)，針對末端位置固定的加工場景，運(yùn)用逆運(yùn)動學(xué)求解可更直觀地得到機(jī)器人的加工姿態(tài)，為求取操作剛度最優(yōu)的機(jī)器人加工姿態(tài)提供理論基礎(chǔ)。

本文提出了一種基于機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)的磨削姿態(tài)優(yōu)化方法，首先根據(jù)機(jī)器人末端位置與方向，運(yùn)用機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)求解機(jī)器人加工姿態(tài)，通過給定的機(jī)器人剛度性能指標(biāo)評價求得的各種姿態(tài)，并從中選取最優(yōu)加工姿態(tài)配置，進(jìn)一步考慮機(jī)器人末端加工冗余性，求解機(jī)器人的逆姿態(tài)，建立了考慮機(jī)器人末端加工冗余性的姿態(tài)優(yōu)化模型并得到了在給定加工條件下的優(yōu)化結(jié)果。最后采用有限元仿真驗(yàn)證了該模型的正確性。

1 機(jī)器人磨削系統(tǒng)組成及運(yùn)動學(xué)求解

1.1 機(jī)器人磨削系統(tǒng)

本文以鈦合金磨削為例，介紹了機(jī)器人加工系統(tǒng)的組成。如圖1所示，機(jī)器人磨削系統(tǒng)由工業(yè)機(jī)器人、底座、工件、旋轉(zhuǎn)工作臺與排屑機(jī)5部分組成。在本機(jī)器人加工系統(tǒng)中，機(jī)器人抓取安裝有磨頭或砂輪的電主軸對工件進(jìn)行打磨。

圖1 機(jī)器人磨削系統(tǒng)

1.2 IRB6700機(jī)器人的剛度模型

根據(jù)制造商的數(shù)據(jù)，本文將采用D-H方法建立IRB6700機(jī)器人連桿坐標(biāo)系[9]，如圖2所示。

圖2 IRB6700機(jī)器人連桿坐標(biāo)系

根據(jù)機(jī)器人連桿參數(shù)（見表1）建立連桿坐標(biāo)系，并利用坐標(biāo)預(yù)位法得到機(jī)器人從坐標(biāo)系{i-1}到坐標(biāo)系{i}的變換矩陣[10]。得到連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣，如式（1）所示。

表1 IRB6700機(jī)器人連桿參數(shù)

其中： s=sin ， c =cos。

將機(jī)器人各關(guān)節(jié)的變換矩陣相乘，得到第六軸坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的位姿矩陣

對于本文提出的工業(yè)機(jī)器人，機(jī)器人連桿的剛度遠(yuǎn)大于關(guān)節(jié)的剛度。由關(guān)節(jié)柔性引起的機(jī)器人末端變形遠(yuǎn)大于由連桿柔性引起的機(jī)器人末端變形[11]。因此，在忽略機(jī)器人連桿撓度的前提下，考慮機(jī)器人的關(guān)節(jié)撓度，建立機(jī)器人的靜態(tài)剛度模型。

式中：F是機(jī)器人末端受到的力；X是機(jī)器人末端受力以后產(chǎn)生的變形；Kq是機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度矩陣J是機(jī)器人雅可比矩陣，用來描述機(jī)器人笛卡爾關(guān)節(jié)速度與笛卡爾空間速度之間的關(guān)系，可通過微分；變換法得到。

式（3）變換得式（4）。

式中：C是6×6的柔度矩陣。Ctt為3×3階平移柔度子矩陣，Crr為3×3階旋轉(zhuǎn)柔度子矩陣。Ctr為3×3階耦合柔度子矩陣。

在實(shí)際加工應(yīng)用中，由力矩產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)變形很小，可以忽略不計(jì)，主要考慮的是由力引起的平移變形。故為了簡化問題，本文主要討論機(jī)器人末端執(zhí)行器受力與位移之間的關(guān)系。方程式可表示為

由于機(jī)器人末端剛度具有各向異性，為評價機(jī)器人的操作剛度增加了難度。故本文參考的文獻(xiàn)[4]提出的機(jī)器人剛度性能指標(biāo)，如式 （5） 所示。對于任意機(jī)器人姿態(tài)，ks越大，機(jī)器人整體剛度性能越好。本文利用該指標(biāo)來評價機(jī)器人在不同姿態(tài)下的剛度。

1.3 IRB6700機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)

對于工業(yè)機(jī)器人，當(dāng)關(guān)節(jié)角配置已知時，其第六軸坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)是確定的。當(dāng)機(jī)器人第六軸坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)已知時，求解機(jī)器人關(guān)節(jié)角配置是一個逆運(yùn)動學(xué)問題。

本文中機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)采用分離變量法求解。已知條件是06T，解是機(jī)器人每個關(guān)節(jié)的角度。式（7）是通過將式（2）左乘和 右乘得到的。

分離變量θ1， 通過式（8）得到 θ1的值。

以同樣的方式，在等式（2）兩邊同時乘以對應(yīng)的矩陣，并分離解變量得到 θ2, ···, θ6的結(jié)果。

觀察機(jī)器人6個關(guān)節(jié)的解方程，發(fā)現(xiàn)關(guān)節(jié)1、2、4最多存在兩個逆解，分別對應(yīng)于機(jī)器人8組不同的逆解。

對于任意給定的末端姿態(tài)矩陣，由于機(jī)器人結(jié)構(gòu)和關(guān)節(jié)角度的限制，逆解不一定存在，因此需要判斷機(jī)器人姿態(tài)可達(dá)性。觀察機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)方程，發(fā)現(xiàn)求解關(guān)節(jié)2時可能沒有解。當(dāng)關(guān)節(jié)2的逆解不存在時，機(jī)器人不可達(dá)。當(dāng)機(jī)器人關(guān)節(jié)2的逆解存在，并且關(guān)節(jié)1到關(guān)節(jié)6的求解值在機(jī)器人關(guān)節(jié)的變量范圍內(nèi)時，姿態(tài)是可達(dá)的。以上篩選原理如圖3所示。

圖3 機(jī)器人姿態(tài)可達(dá)性判斷流程圖

2 機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化模型的建立及求解

2.1 磨削機(jī)器人的加工姿態(tài)

圖4是機(jī)器人加工的示意圖。在確定刀具位置和姿態(tài)的同時，也確定了機(jī)器人第六軸坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。通過逆運(yùn)動學(xué)，可以得到這類機(jī)器人的不同逆解。圖5展示出了機(jī)器人的某個加工點(diǎn)的4個逆姿態(tài)，表2給出了對應(yīng)于機(jī)器人的4組不同的關(guān)節(jié)角度配置。

圖4 機(jī)器人磨削示意圖

圖5 機(jī)器人磨削的4種逆姿態(tài)

表2 機(jī)器人的4個逆姿態(tài)參數(shù)

計(jì)算對應(yīng)于上述4個逆姿態(tài)下的機(jī)器人末端加工剛度。對應(yīng)于姿態(tài)a和b的剛度性能指數(shù)ks為7.226 3，對應(yīng)于姿態(tài)c和d的剛度性能指數(shù)ks為4.322 7。對前兩個姿勢和后兩個姿勢分別進(jìn)行了分析。姿態(tài)a和b對應(yīng)的剛度性能優(yōu)于姿態(tài)c和d，剛度性能指標(biāo)相差67%。發(fā)現(xiàn)機(jī)器人不同逆姿態(tài)對應(yīng)的加工剛度差異較大。在實(shí)際加工過程中，我們可以選擇一個最優(yōu)的逆解姿態(tài)。上述機(jī)器人姿態(tài)逆運(yùn)動學(xué)優(yōu)化模型如下：

式中： θi是 由機(jī)器人末端位置矩陣T通過逆運(yùn)動學(xué)求解得到的機(jī)器人關(guān)節(jié)配置。機(jī)器人姿態(tài)逆運(yùn)動學(xué)優(yōu)化流程圖如圖6所示。

圖6 機(jī)器人姿態(tài)逆運(yùn)動學(xué)優(yōu)化流程圖

2.2 考慮加工冗余的機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化模型的建立

機(jī)器人抓取刀具加工工件時，旋轉(zhuǎn)刀具相當(dāng)于一個自由度，6自由度機(jī)器人出現(xiàn)加工冗余。該冗余自由度是機(jī)器人圍繞工具軸向的旋轉(zhuǎn)?；谌哂嘧杂啥龋瑱C(jī)器人的姿態(tài)可以進(jìn)一步優(yōu)化，使剛度性能指標(biāo)最大化。首先，選擇機(jī)器人的初始加工姿態(tài)，利用機(jī)器人姿態(tài)逆運(yùn)動學(xué)優(yōu)化模型獲得最優(yōu)逆姿態(tài)，并計(jì)算該姿態(tài)下機(jī)器人操縱剛度的性能指標(biāo)。其次，機(jī)器人圍繞刀具軸以給定的角度旋轉(zhuǎn)。如果機(jī)器人的姿態(tài)是可達(dá)的，則利用機(jī)器人的逆姿態(tài)優(yōu)化模型得到旋轉(zhuǎn)后的最優(yōu)逆姿態(tài)。計(jì)算機(jī)器人在該姿態(tài)下的剛度性能指標(biāo)，并與之前的最優(yōu)逆姿態(tài)進(jìn)行比較，更新最優(yōu)姿態(tài)。如果機(jī)器人旋轉(zhuǎn)后姿態(tài)不可達(dá)，則跳過旋轉(zhuǎn)角度，在下一個角度計(jì)算，直到機(jī)器人旋轉(zhuǎn)到初始姿態(tài)。通過以上步驟，最終得到機(jī)器人的最優(yōu)加工姿態(tài)，優(yōu)化模型為

式中：ks為 機(jī)器人剛度性能指標(biāo)，T(q)是由機(jī)器人初始姿態(tài)N與工具軸旋轉(zhuǎn)角度 β推導(dǎo)出的機(jī)器人末端姿態(tài)。推導(dǎo)出的機(jī)器人末端姿態(tài)?？紤]加工冗余的機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化流程圖如圖7所示。

圖7 考慮加工冗余的機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化流程圖

2.3 優(yōu)化結(jié)果的仿真分析

選擇加工點(diǎn)，基于建立的姿態(tài)優(yōu)化模型，在Matlab軟件中編程得到最佳加工姿態(tài)，機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化結(jié)果如圖8所示。

圖8 機(jī)器人優(yōu)化前后加工姿態(tài)

圖8左側(cè)是機(jī)器人的初始加工姿態(tài)，右側(cè)是優(yōu)化后的加工姿態(tài)。將上述兩種機(jī)器人姿態(tài)導(dǎo)入有限元分析軟件中仿真分析機(jī)器人的受力變形。

在仿真軟件中對機(jī)器人模型進(jìn)行如下處理：

（1）為防止網(wǎng)格劃分復(fù)雜，減少仿真分析任務(wù)量，對模型上影響不大的連接孔、倒角、圓角等結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化處理，對氣缸等物件進(jìn)行等配重簡化處理。

（2）機(jī)器人材料設(shè)置為結(jié)構(gòu)鋼。

（3）選用bonded約束定義機(jī)器人關(guān)節(jié)之間的連接。

（4）將機(jī)器人底座設(shè)置為固定支撐。

（5）選擇四面體網(wǎng)格劃分。

（6）在機(jī)器人法蘭盤末端分別施加豎直向下及水平的載荷力以模仿機(jī)器人在打磨過程中的實(shí)際工況，載荷力的大小為 1000N。受力示意圖如圖9～11所示。分析結(jié)果如圖12所示。

圖9 姿態(tài)優(yōu)化前機(jī)器人在X方向上受力與仿真

圖10 姿態(tài)優(yōu)化前機(jī)器人在Y方向上受力與仿真

圖11 姿態(tài)優(yōu)化前機(jī)器人在Z方向上受力與仿真

圖12 機(jī)器人在3個方向上優(yōu)化前后仿真分析結(jié)果

從圖12中可以發(fā)現(xiàn)，在機(jī)器人末端X、Y、Z這3個方向分別施加 1000N的負(fù)載，得到機(jī)器人末端變形量。其中，優(yōu)化前機(jī)器人在3個方向上的末端最大變形量分別為0.119 88 mm、0.151 57 mm和0.290 83 mm，優(yōu)化后機(jī)器人在3個方向的末端最大變形量分別為0.109 76 mm、0.109 48 mm和0.236 49 mm，3個方向的最大變形量分別降低了8.44%、27.77%和18.68%，說明優(yōu)化后的機(jī)器人末端加工剛度有所提高，且在3個方向上的優(yōu)化效果各不相同，其中在Y方向上的提升效果最為明顯，為27.77%。采用上述方法可以提高機(jī)器人的加工剛度。

3 結(jié)語

本文針對工業(yè)機(jī)器人加工剛度弱的問題，選用了基于機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)的機(jī)器人加工姿態(tài)求解方法，得到機(jī)器人最優(yōu)加工姿態(tài)。根據(jù)以上研究，本文主要得到以下結(jié)論：

（1）通過逆運(yùn)動學(xué)求得機(jī)器人姿態(tài)隨著關(guān)節(jié)角度配置的不同，加工剛度存在差異，不同姿態(tài)下機(jī)器人剛度性能指標(biāo)相差可達(dá)67%。

（2）考慮到加工冗余度，可進(jìn)一步優(yōu)化機(jī)器人的加工剛度，優(yōu)化前后機(jī)器人在3個方向的最大變形量均有所降低，其中在Y方向效果最為顯著，最大變形量降低了27.77%。