衛(wèi)星觀測(cè)信號(hào)盲源分離算法

劉國(guó)光

(廣州南方測(cè)繪科技股份有限公司，廣東廣州 510665)

1 引 言

多頻混合信號(hào)的處理方法研究一直是信號(hào)處理的重點(diǎn)。一些常規(guī)的信號(hào)處理方法，如奇異值分析、主成分分析等，對(duì)混疊信號(hào)處理后的輸出結(jié)果都是相互之間信號(hào)，不能夠保證輸出的所有結(jié)果信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)源信號(hào)的最佳表現(xiàn)。隨著信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展，衍生出如經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?、小波分析與傅里葉變換等現(xiàn)代信號(hào)處理方法。但是這些方法對(duì)于多信號(hào)混疊的處理效果均不好，不能有效地分離出混疊信號(hào)。隨著信息學(xué)科、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)科、統(tǒng)計(jì)學(xué)科等學(xué)科的發(fā)展，也涌現(xiàn)出一些信號(hào)混疊盲源分離算法。

盲源信號(hào)分離算法是通過獲取的觀測(cè)信號(hào)特性對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的方法，并且此觀測(cè)信號(hào)的混疊方式是未知的?！懊ぴ础敝饕侵笇?duì)源信號(hào)幾乎沒有先驗(yàn)知識(shí)的條件下，通過推導(dǎo)獲取混合參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的盲源分離。經(jīng)過專家學(xué)者的多年研究，已經(jīng)提出大量的盲源分離算法，比如基于最大信噪比算法、獨(dú)立分量分析算法等。目前盲源分離算法已經(jīng)應(yīng)用于圖像處理、雷達(dá)、語(yǔ)音等多個(gè)領(lǐng)域，成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。然而，常規(guī)的盲源分離算法忽略了源信號(hào)可以被多次拷貝輸出的問題，認(rèn)為所有的源信號(hào)只要被重構(gòu)一次就可以實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的有效分離。因此，如果真正需要實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的有效分離，還要了解其他相關(guān)信號(hào)處理技術(shù)等。針對(duì)常規(guī)盲源分離算法的缺點(diǎn)，本文提出一種新的盲源分離方法。該方法針對(duì)觀測(cè)信號(hào)的多路徑誤差特征，并且利用盲源分離算法在處理多源信號(hào)中的優(yōu)勢(shì)，研究從全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)觀測(cè)信號(hào)中分離出的多路徑誤差。本文從信號(hào)處理的角度出發(fā)，為盲源分離在GNSS觀測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用進(jìn)行了有益的探索。

2 盲源分離經(jīng)典算法

經(jīng)過多年研究，盲源分離的理論與實(shí)踐體系已經(jīng)相對(duì)完善，盲源分離方法可根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)分為多種類型：一是按照時(shí)間延遲將盲源分離分為瞬時(shí)混合模型與卷積混合模型，二是按照映射關(guān)系將盲源分離分為非線性和線性盲源分離，三是按照觀測(cè)通道數(shù)量將盲源分離分為欠定盲源分離、等定盲源分離和超定盲源分離[1]。

2.1 獨(dú)立分量分析

獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)是假設(shè)在各個(gè)源信號(hào)之間獨(dú)立[2-4]，并且觀測(cè)信號(hào)的先驗(yàn)信息很少，僅僅通過獲取的混疊信號(hào)實(shí)現(xiàn)源信號(hào)分離的一種盲源分離算法[5]。

ICA的數(shù)學(xué)模型可表達(dá)為x=AS，其中x=(x1,x2,…,xn)T表示n維向量，由混合矩陣A與原始向量S=(S1，S2，…，Sn)T進(jìn)行線性混合而成。假設(shè)混合矩陣A與原始信號(hào)S都未知，通過統(tǒng)計(jì)觀測(cè)信號(hào)x的特征，對(duì)原始信號(hào)S進(jìn)行最大限度的逼近或者恢復(fù)，可以采用創(chuàng)建分離矩陣W的方法，對(duì)觀測(cè)信號(hào)x進(jìn)行分離變換后得到輸出信號(hào)，此輸出信號(hào)就是對(duì)源信號(hào)的最佳分解。圖1為ICA基本模型：

圖1 ICA基本模型Fig.1 ICA basic model

Y=Wx

(1)

通過ICA進(jìn)行信號(hào)的盲源分離主要包含兩個(gè)部分[6-8]：一是獨(dú)立性判斷，二是優(yōu)化算法。

本文主要采用FastICA算法。FastICA算法是一種ICA固定算法，其具有收斂速度快、計(jì)算簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，常用于實(shí)際的信號(hào)處理，步驟如下：

1)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化處理；

2)選擇具有單位范數(shù)的初始化變量；

3)更新初始化向量；

4)標(biāo)準(zhǔn)化處理。

(2)

式中：wk+1表示更新后單位向量，‖wk+1‖表示更新后向量模長(zhǎng)。

進(jìn)行上述步驟處理，就可以得到ICA算法中非分離矩陣W的行向量。在式(1)中加入分離矩陣W進(jìn)行運(yùn)算，就可以將原始信號(hào)s恢復(fù)。

2.2 基于最大信噪比盲源分離

基于最大信噪比(MAX-SNR)盲源分離是以信噪比函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的全局優(yōu)化算法。源信號(hào)S與其估計(jì)信號(hào)Y的誤差e=S-Y表示噪聲信號(hào)。信噪比函數(shù)為：

(3)

(4)

(5)

計(jì)算上式可以得到分離矩陣的解。

3 廣義特征值盲源分離

利用常規(guī)的盲源分離方法進(jìn)行源信號(hào)分離，如果源信號(hào)至少被重構(gòu)一次，那么就認(rèn)為源信號(hào)被有效分離。但是實(shí)際處理中，可能存在源信號(hào)被多次拷貝輸出的問題，并且通過常規(guī)的盲源分離方法實(shí)現(xiàn)對(duì)源信號(hào)的真正分離，還要了解相關(guān)的信號(hào)處理技術(shù)，并明確源信號(hào)的數(shù)目。本文針對(duì)常規(guī)盲源分離在處理源信號(hào)中的劣勢(shì)，提出一種新的盲源分離方法，即基于廣義特征值的盲源分離算法。

通過上文描述可知，盲源分離的本質(zhì)就是通過分離矩陣將源信號(hào)進(jìn)行分離。如果分離矩陣W=A-1，則可認(rèn)為源信號(hào)得到最優(yōu)分解。通過盲源分離方法幾乎不能得到源信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)。由上文知，逆變函數(shù)g可以決定盲源分離中分離矩陣的分離效果，因此本文采用有別于以往的逆變函數(shù)g，令：

(6)

式中：q表示參數(shù)。

分離得到的信號(hào)Y(t)，可表示為：

Y(t)=WX(t)

(7)

令：

g[S(t)]={g[s1(t)],g[s2(t)],…,g[(sN(t)]}T

(8)

g[S(t)]={g[x1(t)],g[x2(t)],…,g[xN(t)]}T

(9)

g[S(t)]={g[y1(t)],g[y2(t)],…,g[yN(t)]}T

(10)

由式(7)可以得到：

cov{g[X(t)]}=Acov{g[S(t)]}AT

(11)

cov{g[Y(t)]}=Wcov{g[X(t)]}WT

(12)

對(duì)于混合矩陣A，由于其是一個(gè)滿秩矩陣，結(jié)合上式可知，cov{g[X(t)]}和cov[X(t)]是實(shí)對(duì)稱正定矩陣，可以得到：

cov{g[X(t)]}w=λcov[X(t)]w

(13)

上式即為廣義特征值問題。

根據(jù)研究可以知道，式(13)的解算結(jié)果中有N個(gè)特征值，從理論上講源信號(hào)都可以被分解，因此總會(huì)存在一個(gè)行向量Wi使其滿足WiAS(t)=kisi，并且cov{g[si(t)]}/cov[si(t)]為式(1)的特征值。

綜上，基于廣義特征值進(jìn)行盲源分離的主要流程為：

1)將觀測(cè)數(shù)據(jù)中心化；

2)構(gòu)建新的逆變函數(shù)，計(jì)算g[X(t)]；

3)通過廣義特征值函數(shù)W=eig{g[X(t)],X(t)}，對(duì)式(13)進(jìn)行求解，得到分離矩陣；

4)計(jì)算Y(t)=WX(t)。按照前文所述，WX(t)中包含了源信號(hào)中所有的可分離信號(hào)。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)

使用統(tǒng)一的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)混疊信號(hào)分離的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，可以對(duì)不同分離算法的分離效果進(jìn)行判斷。一般使用二次殘差和相關(guān)系數(shù)對(duì)盲源分離的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。

4.1.1 二次殘差

二次殘差公式可表達(dá)為：

(14)

式中：E表示數(shù)學(xué)期望，VQM表示源信號(hào)與分離后信號(hào)的二次殘差。一般來(lái)說(shuō)，殘差越小表示分離效果越好，但是通過式(14)對(duì)二次殘差進(jìn)行計(jì)算時(shí)需準(zhǔn)確估計(jì)出信號(hào)的幅值，否則計(jì)算的結(jié)果將沒有意義。因此，要對(duì)式(14)進(jìn)行優(yōu)化，表達(dá)式如下：

(15)

4.1.2 相似系數(shù)

相似系數(shù)的表達(dá)式如下所示：

(16)

圖2 源信號(hào)波形Fig.2 Source signal waveform

4.2 仿真試驗(yàn)

本文首先通過仿真信號(hào)對(duì)基于廣義特征值的盲源分離算法進(jìn)行測(cè)試，并且同時(shí)通過MAX-SNR和ICA對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行分離，對(duì)比三種信號(hào)處理效果。一組噪聲與三組振動(dòng)信號(hào)構(gòu)成了仿真源信號(hào)，式(17)為正弦信號(hào)，式(18)為方波信號(hào)，式(19)為鋸齒信號(hào)。

s1(t)=2sin(0.02πt)

(17)

s2(t)=2square(100t,50)

(18)

s3(t)=2[a，a，a，a，a，a，a，a]，a=linespace(-1，1，25)

(19)

隨機(jī)噪聲為一正態(tài)分布s4(t)N(0,0.05)，通過軟件隨機(jī)生成一混合矩陣A，利用混合矩陣與仿真源信號(hào)生成觀測(cè)信號(hào)。其中混合矩陣：

(20)

圖3為混合后的信號(hào)。利用三種方法對(duì)本文采用的仿真信號(hào)進(jìn)行處理，圖4、圖5、圖6分別是利用ICA、MAX-SNR及廣義特征值分離得到的結(jié)果。從圖中可以看出，基于廣義特征值處理的結(jié)果最好，經(jīng)算法進(jìn)行分離后，信號(hào)的恢復(fù)效果都很好。通過計(jì)算信號(hào)分離前后之間的二次殘差和相似系數(shù)，對(duì)分離效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果如表1和表2所示。

圖3 混合后的信號(hào)Fig.3 The mixed signals

圖4 經(jīng)ICA分解后的信號(hào)Fig.4 The signals decomposed by ICA

圖5 經(jīng)MAX-SNR分離后的信號(hào)Fig.5 The signals separated by MAX-SNR

圖6 經(jīng)本文提出算法分離后的信號(hào)Fig.6 The signals separated by the algorithm proposed in this paper

從表1和表2可以得出，三種盲源分離方法都可以對(duì)源信號(hào)進(jìn)行有效分離，但是本文提出的算法分離源信號(hào)得到的效果比經(jīng)ICA和MAX-SNR分離得到的效果好，該方法得到分離后的信號(hào)與源信號(hào)的相似系數(shù)較MAX-SNR分解的相似系數(shù)分別增加了8.0%、8.5%、10.7%，較ICA分解的相似系數(shù)分別增加了6.1%、5.9%、4.6%。

表1 相似系數(shù)值對(duì)比Tab.1 ComparisonofsimilaritycoefficientvaluesMAX-SNRICA廣義特征值S10.92150.94030.9981S20.91340.93570.9911S30.89870.95160.9953

在二次殘差的指標(biāo)中，當(dāng)二次殘差值不大于-23dB時(shí)，則可認(rèn)為算法進(jìn)行信號(hào)分離得到的效果較好。廣義特征值分離后的三種信號(hào)與源信號(hào)之間的殘差較MAX-SNR分解的殘差分別減少了28.7%、27.4%、29.8%，較ICA分解的殘差分別減少了11.0%、7.9%、4.4%。結(jié)果表明，廣義特征值分離算法較其他兩種盲源分離算法在對(duì)源信號(hào)進(jìn)行分離時(shí)有更好的效果。

表2 二次殘差值對(duì)比Tab.2 ComparisonofsecondaryresidualsMAX-SNR/dBICA/dB廣義特征值/dBS1-24.114-27.957-31.031S2-23.796-28.104-30.312S3-23.096-28.713-29.986

4.3 GNSS觀測(cè)數(shù)據(jù)處理

為了得到廣義特征值在GNSS變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中的分離效果，在仿真信號(hào)處理的基礎(chǔ)上，在觀測(cè)得到的GNSS監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，截取第前200個(gè)歷元多路徑誤差視為一路源信號(hào)，如圖7所示，組成五路源信號(hào)。

圖7 源信號(hào)Fig.7 The source signals

同樣利用軟件生成一混合矩陣，如式(21)所示，與源信號(hào)組成觀測(cè)信號(hào)，如圖8所示。

(21)

圖8為混合信號(hào)。同樣利用三種盲源分離方法對(duì)多路徑誤差源信號(hào)進(jìn)行分離。圖9、圖10、圖11分別是利用ICA、MAX-SNR及基于廣義特征值分離得到的結(jié)果。從圖中可以看出，廣義特征值盲源分離算法分離效果最好，MAX-SNR分離算法分離的效果最差。為了對(duì)三種分離方法分離的效果進(jìn)行更加客觀的評(píng)價(jià)，分別計(jì)算信號(hào)分離效果的兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)，結(jié)果如表3和表4所示。

圖8 混合信號(hào)Fig.8 The mixed signals

圖9 經(jīng)ICA分離后的信號(hào)Fig.9 The signals separated by the ICA

圖10 經(jīng)MAX-SNR分解后的信號(hào)Fig.10 The signals decomposed by MAX-SNR

圖11 本文提出算法分解后的信號(hào)Fig.11 The signals decomposed by the algorithm proposed in this paper

通過表3的相似系數(shù)可以看出，基于廣義特征值分離信號(hào)的效果最好，本文提出的算法分離后的信號(hào)與源信號(hào)的相似系數(shù)較MAX-SNR分解的相似系數(shù)依次提高了1.9%、3.0%、3.4%、2.8%，較ICA分解的相似系數(shù)增加了1.0%、2.0%、2.4%、2.8%。在二次殘差這一評(píng)價(jià)指標(biāo)中，利用三種方法分離觀測(cè)信號(hào)后計(jì)算得到的二次殘差都小于-23dB。

廣義特征值分離后的信號(hào)與源信號(hào)之間的殘差較MAX-SNR分解的殘差分別減少了21.8%、19.5%、18.4%、19.3%，較ICA分解的殘差分別減少了15.5%、11.0%、11.4%、11.6%。

通過表格對(duì)比描述可知，在增加GNSS多路徑誤差后，利用本文提出的廣義特征值盲源分離仍然可以得到很好的效果，對(duì)于GNSS變形監(jiān)測(cè)誤差模型建立有很高的參考價(jià)值。

表3 相似系數(shù)對(duì)比Tab.3 Comparisonofsimilaritycoefficient信號(hào)MAX-SNR/dBICA/dB廣義特征值/dBS10.98120.99011.0000S20.96940.97930.9989S30.96130.97050.9939S40.97050.96980.9974

表4 二次殘差對(duì)比Tab.4 ComparisonofSecondaryResiduals信號(hào)MAX-SNR/dBICA/dB廣義特征值/dBS1-24.796-26.147-30.211S2-24.428-26.296-29.193S3-24.589-26.144-29.113S4-24.223-25.897-28.896

5 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了盲源分離算法的數(shù)學(xué)模型以及當(dāng)前盲源分離算法的不足，并針對(duì)傳統(tǒng)盲源分離算法的不足，提出了一種新的盲源分析方法。主要研究成果與展望如下：

1)建立逆變函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的分離。通過仿真信號(hào)驗(yàn)證廣義特征盲源分離的有效性，將分離結(jié)果與MAX-SNR和ICA分離的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，表明該方法分離的效果最好。

2)在仿真試驗(yàn)的基礎(chǔ)上增加GNSS觀測(cè)數(shù)據(jù)多路徑誤差作為源信號(hào)組成多路源信號(hào)，結(jié)果顯示利用本文提出的分離方法能很好地分離源信號(hào)，且較另外兩種方法分離的效果更好。

3)與MAX-SNR和ICA相比，本文提出的基于廣義特征值盲源分離算法的分離效果更好。但是尚未解決盲源分離算法中排序與幅值不確定問題，仍然需要對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，并尋找更貼合實(shí)際環(huán)境的分離算法。

4)下一步將重點(diǎn)研究信號(hào)個(gè)數(shù)未知及個(gè)數(shù)動(dòng)態(tài)變化的情況下如何進(jìn)行盲源分離，也就是對(duì)源信號(hào)個(gè)數(shù)動(dòng)態(tài)識(shí)別的研究，同時(shí)進(jìn)一步研究復(fù)雜環(huán)境下的盲源分離算法。