Linex損失下Weibull分布參數(shù)的Bayes估計(jì)*

程 靜，周菊玲

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

Weibull分布在可靠性分析或壽命檢驗(yàn)中常被用到，在一些管理科學(xué)與工程領(lǐng)域中也有所應(yīng)用，有不少學(xué)者對(duì)該分布有研究興趣.韋瑩瑩等[1]討論了Pareto分布參數(shù)在Linex損失下的Bayes估計(jì)問(wèn)題，證明了所給估計(jì)是可容許的.王學(xué)敏[2]研究了Linex損失下先驗(yàn)分布不同時(shí)Burr分布參數(shù)的Bayes估計(jì)問(wèn)題.王理峰[3]在Linex損失下得到了多元正態(tài)分布熵的最優(yōu)仿射同變估計(jì)，證明了其是Bayes估計(jì).鄧立鳳等[4]對(duì)逆Gaussian分布參數(shù)倒數(shù)的Bayes估計(jì)進(jìn)行了研究，給出了估計(jì)并證明了該估計(jì)是可容許的.李鳳等[5]在損失函數(shù)下取逐步增加的Ⅱ型截尾樣本研究Weibull分布的Bayes估計(jì).崔群法等[6]討論了E-Weibull分布參數(shù)及可靠度在Linex 損失下的Bayes估計(jì)問(wèn)題，并在該情況下對(duì)極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)做了對(duì)比.張麗[7]討論了在Linex損失下各分布參數(shù)的Bayes估計(jì)及其性質(zhì)，證明了所得各分布參數(shù)的估計(jì)是可容許的.王敏[8]在復(fù)合Linex損失下，參數(shù)先驗(yàn)分布不同時(shí)對(duì)參數(shù)的估計(jì)進(jìn)行了對(duì)比，得到了參數(shù)的唯一Bayes估計(jì).姚慧等[9，10]在Linex損失下對(duì)關(guān)于Lomax分布參數(shù)的一些Bayes估計(jì)進(jìn)行了討論.邱燕[11]對(duì)Weibull分布參數(shù)及可靠度的Bayes估計(jì)進(jìn)行了研究.本文基于以上研究對(duì)Weibull分布參數(shù)的Bayes估計(jì)在Linex 損失函數(shù)下進(jìn)行了討論，給出了估計(jì)式并對(duì)其可容許性給出了證明，最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性和精確度.

設(shè)X是服從Weibull分布的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為

上式中σ=ηβ,σ,β分別為尺度參數(shù)和形狀參數(shù)，且σ是未知的.記X～Weib(σ,β).

(1)

1 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)及可容許性

定義1.1Linex損失函數(shù)的形式為

L(θ，δ)=eb(δ-θ)-b(δ-θ)-1,

(2)

式中δ,b分別為θ的估計(jì)值和該損失函數(shù)的尺度參數(shù)，b∈R且b≠0.

本文僅考慮b>0的情況，b<0情況的討論類似.該損失函數(shù)對(duì)于δ嚴(yán)格凸的，且當(dāng)δ=θ時(shí)有最小值.

定理1.1在損失(2)下，對(duì)任一先驗(yàn)分布π(θ),θ的Bayes估計(jì)為

證明設(shè)在式(2)下θ的任一估計(jì)為δ(X)，則δ(x)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

E(L(θ,δ))=E{E[eb(δ-θ)-b(δ-θ)-1|X]}=

E[ebδE(e-bθ|X)-bδ+bE(θ|X)-1].

(3)

要使式(3)最小，只需極小化ebδE(e-bθ|X)-bδ+bE(θ|X)-1.令h(δ)=ebδE(e-bθ|X)-bδ+bE(θ|X)-1，對(duì)h(δ)關(guān)于δ求導(dǎo)并令所得導(dǎo)數(shù)等于零，得

因?yàn)棣氖瞧渥钚≈迭c(diǎn)且也是唯一的，所以θ的Bayes估計(jì)為

定理1.2在損失函數(shù)(2)下，設(shè)Gamma分布Γ(α，λ)為θ的先驗(yàn)分布，則θ的Bayes估計(jì)為

證明若參數(shù)θ～Γ(α,λ)，則

(4)

從而θ的后驗(yàn)分布

所以參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

引理1.1[13]在Bayes決策問(wèn)題中，若對(duì)于給定的先驗(yàn)分布π(θ),θ的Bayes估計(jì)δB(X)是唯一的，則它是可容許的.

由引理1.1可知，如果損失函數(shù)為嚴(yán)格凸的，那么它的Bayes估計(jì)定是唯一的，且也是可容許的.本文所討論的Linex損失函數(shù)與上述引理的相同，是嚴(yán)格凸的，因而它的Bayes估計(jì)定是唯一的，由此可得，Bayes估計(jì)是可容許的.

2 參數(shù)θ的多層Bayes估計(jì)

從上述定理1.1可以看出當(dāng)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為Γ(α,λ)時(shí)，Bayes估計(jì)δB(X)中仍有超參數(shù)α,λ.因?yàn)樾枰M(jìn)一步討論θ的多層Bayes估計(jì)，所以此時(shí)把超參數(shù)看成相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，再給出一個(gè)先驗(yàn)，稱為超先驗(yàn)，進(jìn)而求得θ的多層Bayes估計(jì).當(dāng)Γ(α,λ)分布的超參數(shù)λ>0,0<α<1時(shí)，α,λ的先驗(yàn)分布分別為均勻分布

πα=U(0,1),和πλ=U(0,c).

(5)

為了保證Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性，此時(shí)c是一個(gè)常數(shù)且不宜過(guò)大.

定理2.1當(dāng)式(1)在Linex損失函數(shù)和兩層先驗(yàn)式(4)、式(5)下時(shí)，參數(shù)θ的多層Bayes估計(jì)為

證明由式(4)和式(5)知，θ的先驗(yàn)分布為

從而θ的后驗(yàn)分布為

進(jìn)而得

所以在損失函數(shù)(2)下，θ的多層Bayes估計(jì)為

利用數(shù)值積分可得θ的多層Bayes估計(jì)δB(X).

3 數(shù)值模擬

當(dāng)尺度參數(shù)σ=0.45，形狀參數(shù)β=0.8，n=50時(shí)，使用Matlab生成Weibull分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)，由這些數(shù)據(jù)計(jì)算得到，當(dāng)n=50時(shí)，T=29.064 0，b=3.根據(jù)定理1.2中得出的參數(shù)θ的Bayes估計(jì)δB(X)，計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 Linex損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)

由表1可以看出，在Linex損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes估計(jì)δB(X)橫向極差不超過(guò)0.062 011,縱向極差不超過(guò)0.041 639.從統(tǒng)計(jì)決策中穩(wěn)健性角度看，δB(X)是很穩(wěn)健的.由偏差△δ=|δB-θ0|(其中δB為參數(shù)θ的估計(jì)量，θ0為參數(shù)θ的真值，θ0≈2.222 2)得到偏差區(qū)間為[0.525 1,0.628 7].偏差區(qū)間較小，所以參數(shù)θ的Bayes估計(jì)δB(X)的精確度比較高.與文獻(xiàn)[11]相比較可知，Weibull分布在Linex損失函數(shù)下與復(fù)合Linex損失函數(shù)下得到的參數(shù)的Bayes估計(jì)極差都較小，即穩(wěn)健性均較好；但該分布在Linex損失函數(shù)下估計(jì)量更接近真值，偏差更小，即精確度更高.