精準復習萬有引力與航天的策略

浙江 成金德

隨著時代的進步，航天事業(yè)的蓬勃發(fā)展，作為發(fā)展高科技的一個重要領(lǐng)域，航天事業(yè)必將迎來高度關(guān)注、競爭激烈的新的發(fā)展態(tài)勢。

牛頓在研究天體運動時，應用牛頓運動定律并結(jié)合開普勒定律，建立了偉大的萬有引力定律，為探索宇宙奠定了堅實的基礎。近年來我國成功發(fā)射“天問一號”“嫦娥五號”和“空間站天和核心倉”等航天器，作為與航天有著直接聯(lián)系的“萬有引力與宇宙航行”的知識得到重視是眾望所歸。為了精準復習有關(guān)“萬有引力與宇宙航行”的知識，本文從復習的“四大策略”方面作些探討，供讀者參考。

策略1——建模型

本章的核心內(nèi)容是一個物理模型，也就是將人造衛(wèi)星或天體的運動抽象成勻速圓周運動，人造衛(wèi)星或天體做圓周運動所需要的向心力由中心天體的萬有引力提供，即

其中r是人造衛(wèi)星或天體與中心天體球心間的距離，R是人造衛(wèi)星或天體做圓周運動的軌道半徑。

策略2——明要點

1.兩大定律

(1)萬有引力定律

萬有引力定律只適用于質(zhì)點間引力大小的計算，也可應用于質(zhì)量分布均勻的兩個球體間，其中r是兩個球體球心間的距離。當兩個物體不能看成質(zhì)點時，可假想將物體分割成無數(shù)個質(zhì)點，求出物體上每個質(zhì)點與另一物體上所有質(zhì)點的萬有引力，然后求合力。

(2)開普勒定律

①開普勒第一定律(也稱軌道定律)。所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

②開普勒第二定律(也稱面積定律)。對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

2.三大運行參量

人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時，由地球?qū)θ嗽煨l(wèi)星的萬有引力提供向心力，可得線速度v、角速度ω和周期T與軌道半徑R的關(guān)系：

(1)線速度v與軌道半徑R的關(guān)系

(2)角速度ω與軌道半徑R的關(guān)系

(3)周期T與軌道半徑R的關(guān)系

3.三種運行軌道

(1)赤道軌道。如圖1所示，衛(wèi)星的軌道與赤道在同一平面內(nèi)，同步衛(wèi)星的軌道就是赤道軌道的一種。

圖1

(2)極地軌道。如圖2所示，衛(wèi)星的軌道經(jīng)過地球的南北兩極，如極地氣象衛(wèi)星的軌道就屬于極地軌道。

圖2

(3)其他軌道。除赤道軌道和極地軌道以外的衛(wèi)星軌道，如圖3所示。

圖3

不管是何種軌道，其軌道的圓心必與地球的球心重合。

4.宇宙速度

(1)第一宇宙速度(環(huán)繞速度)。使人造衛(wèi)星環(huán)繞地球表面附近作勻速圓周運動，在地面附近的最小發(fā)射速度，其大小為v1=7.9 km/s。第一宇宙速度的粗略計算方法：

(2)第二宇宙速度(脫離速度)。使物體掙脫地球的束縛，在地面附近的最小發(fā)射速度，其大小為v2=11.2 km/s。

(3)第三宇宙速度(逃逸速度)。使物體掙脫太陽引力的束縛，在地面附近的最小發(fā)射速度，其大小為v3=16.7 km/s。

宇宙速度均指發(fā)射速度，但第一宇宙速度與環(huán)繞地球運行的最大速度相等。

5.兩類運動

(1)穩(wěn)定運動

(2)變軌運行

衛(wèi)星在某一軌道上繞中心天體運動時，如果衛(wèi)星由于某種原因，其速度v突然變化，則中心天體提供的萬有引力與衛(wèi)星所需要的向心力不再相等，衛(wèi)星將做變軌運動。

6.二種典型的星體

(1)同步衛(wèi)星(靜止衛(wèi)星)

跟地球自轉(zhuǎn)同步的衛(wèi)星(相對地面靜止)叫做同步衛(wèi)星。同步衛(wèi)星的特點有：

①同步轉(zhuǎn)動。與地球同步轉(zhuǎn)動，角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期，即T=24 h。各種同步衛(wèi)星的角速度相等、線速度的大小相等；

②同一軌道。同步衛(wèi)星的軌道平面與赤道在同一平面上，所有地球同步衛(wèi)星處在同一軌道上。同步衛(wèi)星高度不變，其大小計算如下：

設地球表面處的物體質(zhì)量為m′，其受到地球的萬有引力近似等于重力，即

取地球表面處的重力加速度g=9.8 m/s2，聯(lián)立解得

(2)雙星

如圖4所示，兩個相距為L、質(zhì)量分別為m1、m2的星體，它們在萬有引力的作用下繞它們連線上的某一點O做勻速圓周運動，這樣的系統(tǒng)稱為雙星系統(tǒng)。

圖4

雙星系統(tǒng)顯著的特點是兩者的距離保持不變，向心力大小相等，角速度相等，周期相等。

策略3——善區(qū)別

1.區(qū)別軌道半徑和間距的關(guān)系

2.區(qū)別發(fā)射速度和環(huán)繞速度的關(guān)系

3.區(qū)別赤道上隨地球做圓周運動的物體與近地衛(wèi)星的關(guān)系

地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的軌道圓心與近地衛(wèi)星的軌道圓心都在地球的球心，它們做勻速圓周運動的半徑都可認為等于地球的半徑R，但是它們的線速度并不相等，雖然它們受到的萬有引力大小相等，但赤道上的物體只有一部分的萬有引力用來提供向心力，而近地衛(wèi)星將全部的萬有引力都用來提供向心力。

4.區(qū)別萬有引力與重力的關(guān)系

如圖5所示，地球?qū)Φ厍虮砻嫔系奈矬w的萬有引力產(chǎn)生兩個效果：其一是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)所需要的向心力F向；其二是重力mg。

圖5

策略4——知熱點

1.求中心天體的質(zhì)量

【例1】(2021年全國乙卷第18題)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置，如圖6所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為

圖6

( )

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

【分析】把S2繞黑洞的運動看成是勻速圓周運動，由圖6中可以看到，S2繞黑洞運動的周期T為16年，地球的公轉(zhuǎn)周期T0為1年。由題意可知，S2繞黑洞做圓周運動的半徑r與地球繞太陽做圓周運動的半徑R關(guān)系是：r=1 000R

地球繞太陽做圓周運動的向心力由太陽對地球的萬有引力提供，即

S2繞黑洞作圓周運動的向心力由黑洞的萬有引力提供，即

代入數(shù)據(jù)解得M黑=3.90×106M。故選項B正確。

2.分析衛(wèi)星的運行參量

【例2】(海南省2021年普通高中學業(yè)水平選擇性考試第4題)2021年4月29日，我國在海南文昌用長征五號B運載火箭成功將空間站天和核心艙送入預定軌道。核心艙運行軌道距地面的高度為400 km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36 000 km。則該核心艙的

( )

A.角速度比地球同步衛(wèi)星的小

B.周期比地球同步衛(wèi)星的長

C.向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大

D.線速度比地球同步衛(wèi)星的小

【分析】核心艙和地球同步衛(wèi)星都因為受到地球的萬有引力而做勻速圓周運動，則

由于核心艙運行軌道距地面的高度為400 km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36 000 km，即r艙

ω艙>ω同，T艙a同，v艙>v同

可見，選項C正確。

【點評】求解衛(wèi)星繞中心天體做圓周運動的運行參量時，只要應用中心天體對衛(wèi)星的萬有引力提供向心力建立方程，一般均可得到相應的結(jié)果。

3.考查變軌問題

【例3】(2021年天津市普通高中學業(yè)水平等級考試第5題)2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下中國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖7所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器

圖7

( )

A.在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)

B.在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短

C.從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速

D.沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大

【分析】天問一號探測器在軌道Ⅱ上做變速橢圓運動，天問一號只受到火星對它的萬有引力作用，此時并非處于平衡狀態(tài)，選項A錯誤；天問一號軌道Ⅰ的半長軸大于軌道Ⅱ的半長軸，由開普勒第三定律可知，天問一號在軌道Ⅰ運行的周期比在軌道Ⅱ運行的周期長，選項B錯誤；天問一號探測器從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，是做軌道半徑減小的近心運動，需要的向心力要小于提供的向心力，因此，天問一號在P點必須實施點火減速，選項C錯誤；天問一號在軌道Ⅰ上向P飛近時，由于萬有引力做正功，動能增大，天問一號在向P飛近時速度將增大，故選項D正確。

【點評】衛(wèi)星在變軌時，如果軌道半徑增大，即做離心運動，則衛(wèi)星必須先加速；如果軌道半徑減小，即做近心運動，則衛(wèi)星必須先減速。

4.涉及同步衛(wèi)星

【例4】(江蘇省2021年普通高中學業(yè)水平選擇性考試第3題)我國航天人發(fā)揚“兩彈一星”精神砥礪前行，從“東方紅一號”到“北斗”不斷創(chuàng)造奇跡。“北斗”第49顆衛(wèi)星的發(fā)射邁出組網(wǎng)的關(guān)鍵一步。該衛(wèi)星繞地球做圓周運動，運動周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，軌道平面與地球赤道平面成一定夾角。該衛(wèi)星

( )

A.運動速度大于第一宇宙速度

B.運動速度小于第一宇宙速度

C.軌道半徑大于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星

D.軌道半徑小于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星

【分析】第一宇宙速度在數(shù)值上等于繞地球表面做勻速圓周運動的衛(wèi)星的線速度，此速度也是環(huán)繞地球做勻速圓周運動的所有衛(wèi)星的最大線速度。由于“北斗”第49顆衛(wèi)星做圓周運動的半徑遠大于地球的半徑，所以，它的環(huán)繞速度小于第一宇宙速度，選項A錯誤，選項B正確；

環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，受到的萬有引力提供向心力，即

從上式看到，只要繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的周期相同，它們的軌道半徑就相同。由于“北斗”第49顆衛(wèi)星的運動周期與“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星的周期相同，則“北斗”第49顆衛(wèi)星的軌道半徑等于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星的軌道半徑，可見，選項CD錯誤。

【點評】所有同步衛(wèi)星具有相同軌道、相同線速度、相同運行周期、同方向繞行等特點。

5.綜合其他知識

【例5】(山東省2020年普通高中學業(yè)水平等級考試第7題)我國將在今年擇機執(zhí)行“天問1號”火星探測任務。質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經(jīng)歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1，半徑約為地球的0.5，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為

( )

代入數(shù)據(jù)解得g火=0.4g地=0.4g

著陸器在火星表面附近做勻減速直線運動，由速度公式得0=v0-at0

著陸器在勻減速運動過程中，應用牛頓第二定律得

F-mg=ma

所以，著陸器受到的制動力大小為

可見，選項ACD錯誤，選項B正確。

【點評】本題中的著陸器在接近火星表面的運動過程中做勻減速運動，這樣，就將天體運動的問題與牛頓第二定律和運動學知識聯(lián)系在一起。綜合應用相關(guān)的知識可順利求出結(jié)果。

6.應用開普勒定律

【例6】(2021年全國甲卷第18題)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為

( )

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

【分析】忽略火星自轉(zhuǎn)，在火星表面的物體受到萬有引力等于重力，即

設某衛(wèi)星繞火星做圓周運動的周期也為1.8×105s，其半徑為r。由萬有引力提供向心力得

設近火點到火星中心的距離為R1=R+d1

設遠火點到火星中心的距離為R2=R+d2

解以上各式得d2≈6×107m，故選項C正確。

【點評】涉及橢圓軌道和周期等問題時，一般需要應用開普勒定律求解。

總結(jié)