相鄰扶正器間抽油桿柱縱橫耦合振動(dòng)特性仿真*

智勤功

(中國石化勝利油田分公司石油工程技術(shù)研究院)

0 引 言

抽油機(jī)舉升是油田最常見的采油方式[1]。受多種實(shí)際因素的影響，油井井眼軌道多為存在較大彎曲的空間曲線，即油井為定向井[2]。由于井眼軌道的影響，抽油桿柱在井下呈彎曲狀態(tài)。抽油機(jī)運(yùn)行過程中，抽油桿柱在頂端周期性位移激勵(lì)和底端周期性載荷激勵(lì)的作用下產(chǎn)生軸向振動(dòng)，軸向振動(dòng)又導(dǎo)致了桿柱各截面軸向內(nèi)力的波動(dòng)。在軸向力與彎曲井眼的共同作用下，抽油桿柱在彎曲井眼軌道內(nèi)產(chǎn)生橫向振動(dòng)，即抽油桿柱的動(dòng)力學(xué)行為是縱橫耦合振動(dòng)。抽油桿柱縱橫耦合振動(dòng)導(dǎo)致油井存在較大的桿管接觸力，進(jìn)而導(dǎo)致油井產(chǎn)生桿管偏磨現(xiàn)象。油井實(shí)際運(yùn)行情況表明，桿管偏磨導(dǎo)致的抽油桿柱與油管失效是油井檢泵作業(yè)的主要原因之一。在抽油桿上布置扶正器是最常用的桿管防偏磨措施，因此優(yōu)化扶正器的配置方案一直是油田關(guān)注的重點(diǎn)。

以研究對(duì)象分類，目前關(guān)于扶正器優(yōu)化配置的設(shè)計(jì)方案主要分為兩類：①以整體抽油桿柱為研究對(duì)象，通過靜力學(xué)或動(dòng)力學(xué)仿真模型計(jì)算桿管接觸力，以桿管接觸力的仿真結(jié)果為依據(jù)優(yōu)化扶正器的配置方案[3-7]；②以相鄰扶正器之間抽油桿柱為研究對(duì)象，將其簡化為考慮或不考慮初彎曲的簡支梁模型，以桿柱受壓不失穩(wěn)或桿體、接箍不與油管接觸為約束條件，優(yōu)化扶正器的布置間距[8-13]。相較于第一類設(shè)計(jì)方案，第二類設(shè)計(jì)方案以其模型簡單易于理解、計(jì)算便捷的優(yōu)勢(shì)而被大眾所接受。目前第二類設(shè)計(jì)方案中僅考慮了抽油桿柱在最大壓力下的靜力變形，但對(duì)于實(shí)際問題來說，抽油桿柱在交變軸向載荷的作用下存在橫向振動(dòng)，橫向振動(dòng)將影響桿柱的橫向變形，進(jìn)而影響扶正器的優(yōu)化配置。因此有必要建立兩相鄰扶正器之間的抽油桿柱縱橫耦合振動(dòng)仿真模型，并分析桿柱橫向振動(dòng)對(duì)桿柱橫向變形的放大作用。

本文基于縱橫彎曲梁理論，建立了兩相鄰扶正器之間抽油桿柱在交變軸向載荷激勵(lì)下的縱橫耦合振動(dòng)仿真的力學(xué)與數(shù)學(xué)模型。采用空間離散——時(shí)間連續(xù)與數(shù)值積分相結(jié)合的方法進(jìn)行數(shù)值求解，實(shí)現(xiàn)了兩扶正器之間桿柱縱橫耦合振動(dòng)的仿真計(jì)算。通過動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果與靜力學(xué)仿真結(jié)果的比較，證明了優(yōu)化扶正器配置時(shí)考慮抽油桿柱橫向振動(dòng)的必要性。以上述研究為基礎(chǔ)，建立了扶正器配置間距優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)了扶正器配置間距的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 桿柱縱橫耦合振動(dòng)力學(xué)與數(shù)學(xué)模型

抽油桿柱長度達(dá)上千米，為防止桿管偏磨，通常在抽油桿上布置扶正器[14]。在油井工作過程中，抽油桿柱在交變軸向載荷與自重的影響下產(chǎn)生縱橫耦合振動(dòng)。為簡化研究，本文取兩相鄰扶正器間的抽油桿柱為研究對(duì)象，分析抽油桿柱的振動(dòng)特性。

為便于研究，同時(shí)也為突出本文的研究重點(diǎn)，做如下簡化和假設(shè)：①抽油桿柱為均質(zhì)彈性體；②桿柱各橫截面切應(yīng)力始終處于桿柱軸線的法平面內(nèi)；③將桿柱兩端扶正器簡化為鉸支約束；④僅考慮井斜角的變化，忽略方位角的變化。

1.1 抽油桿柱縱橫耦合振動(dòng)方程

在上述假設(shè)條件下，建立相鄰扶正器間抽油桿柱縱橫耦合振動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 抽油桿柱縱橫耦合振動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of longitudinal and transverse coupling vibration of sucker rod string

對(duì)于相鄰扶正器間抽油桿柱來說，扶正器約束了桿柱的橫向位移，因此可以將桿柱兩端扶正器簡化為鉸支約束。由于桿柱存在縱向振動(dòng)，所以其中一端為固定的鉸支約束，另一端為可滑動(dòng)的鉸支約束，且受交變集中軸向載荷的作用。此外桿柱還受分布載荷的作用。圖1中：P(t)為t時(shí)刻作用于桿柱一端的軸向載荷，以拉力為正；q(s，t)為桿柱所受軸向分布載荷；qub(s，t)為桿柱所受橫向分布載荷。微元兩端的集中力Fe(s，t)可以分解到對(duì)應(yīng)井眼軌道的切線方向與主法線方向。微元橫向所受外力可分解到對(duì)應(yīng)井眼軌道的主法線方向。

基于微元受力可以得到以矢量表示的桿柱縱橫耦合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

fe(s，t)ds

(1)

其中:

(2)

式中：ρ為抽油桿密度，kg/m3；A為抽油桿橫截面積，m2；e(s，t)為t時(shí)刻桿柱任意截面s處的節(jié)點(diǎn)在井眼切線方向上的位移，m；τA(s)為井眼軌道任意截面s處的切向量；u(s，t)為t時(shí)刻桿柱任意截面s處的節(jié)點(diǎn)在井眼主法線方向上的位移，m；nA(s)為井眼軌道任意截面s處的主法線向量；Feτ(s，t)為t時(shí)刻桿柱任意截面s在切向方向上的內(nèi)力，N；Fen(s，t) 為t時(shí)刻抽油桿柱任意截面s在主法線方向上的內(nèi)力，N；kA(s)為井眼軌道任意截面s處的斜率，m-1；feτ(s，t)為t時(shí)刻抽油桿柱任意截面s處切向所受外力，N/m；fen(s，t)為t時(shí)刻抽油桿柱任意截面s處主法線方向所受外力，N/m；(Feτ)s為Feτ對(duì)s求一階偏導(dǎo)，N/m；(Fen)s為Fen對(duì)s求一階偏導(dǎo)，N/m。

忽略方位角變化時(shí)，井眼軌道的斜率表達(dá)式為：

(3)

式中：α(s)為井眼軌道任意截面s處的井斜角，(°)。

對(duì)式(1)進(jìn)行簡化，可以得到桿柱縱橫耦合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(4)

在小變形假設(shè)下，由彈性力學(xué)可知Feτ和(Feτ)s的表達(dá)式[15]：

(5)

式中：es為e對(duì)s求一階偏導(dǎo)；ess為e對(duì)s求二階偏導(dǎo),m-1； (kA)s為kA對(duì)s求一階偏導(dǎo)，m-2；us為u對(duì)s求一階偏導(dǎo)。

通過微元受力分析列彎矩平衡方程，進(jìn)而求解內(nèi)力之間的關(guān)系，則有：

(6)

化簡得：

Ms+[Fen(1+es)-Feτus]bA=0

(7)

其中：

(8)

式中：E為抽油桿材料的彈性模量，Pa；I為抽油桿的抗彎慣性矩，m4；usss為u對(duì)s求三階偏導(dǎo)，m-2。

將式(8)帶入式(7)進(jìn)行計(jì)算，求得Fen的表達(dá)式：

(9)

式(9)對(duì)s求偏微分可得如下公式：

(10)

式中：uss為u對(duì)s求二階偏導(dǎo)，m-1；ussss為u對(duì)s求四階偏導(dǎo)，m-3；(kA)ss為kA對(duì)s求二階偏導(dǎo)，m-2。

桿柱所受分布外力可表示為：

(11)

式中：μ為阻尼系數(shù)，Pa·s。

1.2 邊界條件

桿柱兩端的邊界條件可表示為：

(12)

對(duì)于實(shí)際抽油機(jī)井，桿柱底端集中軸向載荷受抽油泵工作狀態(tài)的影響。為簡化模型，本文基于正弦曲線構(gòu)造與其形態(tài)類似的軸向載荷，其表達(dá)式為：

(13)

其中：

(14)

式中：T為激勵(lì)周期，s；Tt為載荷最大值所持續(xù)的時(shí)間，s；Tb為載荷最小值所持續(xù)的時(shí)間，s；n為抽油機(jī)沖次，min-1。

1.3 初始條件

假設(shè)抽油桿柱初始狀態(tài)時(shí)，桿柱軸線與井眼軸線重合。初始條件可表示為：

(15)

2 縱橫耦合振動(dòng)仿真方法

抽油桿柱縱橫耦合振動(dòng)的仿真模型為變系數(shù)的偏微分方程，無法求得方程的解析解。本文首先采用空間離散——時(shí)間連續(xù)與數(shù)值積分相結(jié)合的方法將偏微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的求解問題，然后采用四階龍格庫塔法進(jìn)行求解。其求解形式如下：

(16)

式中：y(4i-3)為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的軸向位移，m；y(4i-2)為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的軸向速度，m/s；y(4i-1)為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫向位移，m；y(4i)為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫向速度，m/s；Feτ，i為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處的軸向內(nèi)力，N；Feτds，i為Feτ，i對(duì)s偏導(dǎo)數(shù)的差分形式，N/m；Fen，i為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處的切向內(nèi)力，N；Fends，i為Fen，i對(duì)s偏導(dǎo)數(shù)的差分形式，N/m；kA，i為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的井眼斜率，m-1；feτ，i為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處的軸向分布力，N/m；fen，i為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處的橫向分布力，N/m。

以差分公式為基礎(chǔ)，式(16)中Feτ，i、Feτds，i、Fen，i、Fends，i、feτ，i和fen，i的數(shù)值可分別依據(jù)式(10)、式(14)、式(15)和式(16)求得。

式(16)的初始條件為：

y=0

(17)

對(duì)式(16)進(jìn)行求解，即可得到抽油桿柱的縱橫耦合振動(dòng)仿真結(jié)果。圖2為桿柱縱橫耦合振動(dòng)仿真計(jì)算流程圖。

圖2 計(jì)算流程圖Fig.2 Calculation process

3 扶正器配置間距優(yōu)化模型

在抽油桿上配置扶正器的目的是防止發(fā)生油井的桿管偏磨現(xiàn)象，其實(shí)現(xiàn)方法就是防止桿柱與油管接觸，在這種思路下建立了扶正器配置間距的優(yōu)化模型。優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量就是兩相鄰扶正器之間的配置間距。優(yōu)化目標(biāo)是在滿足桿管不接觸的約束條件下，兩相鄰扶正器之間的配置間距最大，可表示為：

Lop=max(L)

(18)

式中：Lop為在滿足桿管不接觸的約束條件下兩相鄰扶正器之間的最大配置間距，m；L為兩相鄰扶正器之間的配置間距，m。

優(yōu)化模型的約束條件為抽油桿柱與油管不接觸，即桿柱最大橫向變形量小于桿管間隙，即有：

max(u)<δrt

(19)

式中：δrt為桿管間隙，m。

4 仿真實(shí)例與仿真分析

分別采用本文建立的桿柱縱橫耦合振動(dòng)仿真模型與桿柱靜力學(xué)仿真模型(去除公式(4)中的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)與公式(11)中的阻尼項(xiàng)即可得到靜力學(xué)模型)對(duì)桿柱的橫向變形進(jìn)行仿真，通過仿真結(jié)果對(duì)比說明在優(yōu)化扶正器配置時(shí)考慮桿柱振動(dòng)的必要性。為了進(jìn)行對(duì)比，首先對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)進(jìn)行定義：

(20)

式中：u0為靜力學(xué)模型所得桿柱橫向位移，m。

4.1 基本參數(shù)

表1為抽油桿柱縱橫耦合振動(dòng)仿真的基本參數(shù)。圖3為桿柱一端軸向集中載荷的變化規(guī)律。

表1 仿真參數(shù)Table1 Simulation Parameters

圖3 軸向集中載荷Fig.3 Axial concentrated load

4.2 仿真結(jié)果分析

以表1中參數(shù)為基礎(chǔ)，采用靜力學(xué)模型進(jìn)行仿真，得到抽油桿柱受600 N壓力時(shí)，桿柱的靜力學(xué)仿真變形結(jié)果，如圖4a所示；采用動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行仿真，得到一個(gè)周期內(nèi)抽油桿柱橫向位移的仿真結(jié)果，如圖4b所示。

圖4 桿柱橫向變形仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of lateral deformation of rod

由圖4可以看出：靜力學(xué)模型仿真結(jié)果抽油桿柱最大橫向變形量為17.96 mm；動(dòng)力學(xué)模型仿真結(jié)果抽油桿柱最大橫向變形量為26.10 mm；相對(duì)靜力學(xué)模型仿真結(jié)果來說，動(dòng)力學(xué)模型仿真結(jié)果的抽油桿柱橫向變形更大，因此在進(jìn)行扶正器布點(diǎn)設(shè)計(jì)時(shí)，采用動(dòng)力學(xué)仿真模型分析桿柱變形更為合理，所得結(jié)果更為可靠。

4.3 敏感度分析

桿柱振動(dòng)受多方面的因素影響。本節(jié)分別從沖次(激勵(lì)周期)、最小激勵(lì)載荷、最大激勵(lì)載荷、最小載荷持續(xù)時(shí)間與井斜角5個(gè)方面分析影響桿柱橫向振動(dòng)的敏感因素。

4.3.1 軸向激勵(lì)對(duì)桿柱振動(dòng)的影響

通過調(diào)整沖次，計(jì)算得到不同沖次下桿柱最大橫向變形。桿柱橫向變形動(dòng)力放大系數(shù)隨沖次的變化曲線如圖5所示。

圖5 動(dòng)力放大系數(shù)隨沖次的變化曲線Fig.5 Variation of dynamic amplification coefficient with stroke

由圖5可以看出，隨著沖次的增大，桿柱橫向振動(dòng)的動(dòng)力放大系數(shù)逐漸增大，即沖次越高對(duì)桿柱橫向振動(dòng)的影響越明顯。

保證激勵(lì)最大載荷不變，調(diào)整激勵(lì)的最小載荷進(jìn)行仿真計(jì)算，得到動(dòng)力放大系數(shù)隨激勵(lì)最小載荷的變化曲線，如圖6所示。

圖6 動(dòng)力放大系數(shù)隨最小激勵(lì)載荷的變化曲線Fig.6 Variation of dynamic amplification coefficient with minimum excitation load

由圖6可以看出，動(dòng)力放大系數(shù)隨最小載荷的增大而減小。這是由于最小激勵(lì)載荷增大后，激勵(lì)幅值降低，桿柱振動(dòng)減弱。

保證最小激勵(lì)載荷不變，通過調(diào)整最大激勵(lì)載荷進(jìn)行仿真計(jì)算，得到動(dòng)力放大系數(shù)隨最大激勵(lì)載荷的變化曲線，如圖7所示。

圖7 動(dòng)力放大系數(shù)隨最大激勵(lì)載荷的變化曲線Fig.7 Variation of dynamic amplification coefficient with maximum excitation load

由圖7可以看出，動(dòng)力放大系數(shù)隨著最大激勵(lì)載荷的增大而增大。相較于最大激勵(lì)載荷，桿柱最大橫向變形對(duì)最小激勵(lì)載荷的變化更敏感。

保證最大、最小激勵(lì)載荷與激勵(lì)幅值不變，通過調(diào)整最小激勵(lì)載荷所持續(xù)的時(shí)間，計(jì)算得到不同激勵(lì)形態(tài)下桿柱最大橫向變形，進(jìn)而得到動(dòng)力放大系數(shù)隨最小激勵(lì)載荷持續(xù)時(shí)間Tb的變化曲線，如圖8所示。

圖8 動(dòng)力放大系數(shù)隨Tb的變化曲線Fig.8 Variation of dynamic amplification coefficient with Tb

由圖8可以看出，動(dòng)力放大系數(shù)隨著最小激勵(lì)載荷持續(xù)時(shí)間的延長而增大。這是由于最小激勵(lì)載荷持續(xù)時(shí)間的延長，導(dǎo)致集中載荷由最大值變?yōu)樽钚≈档乃俣燃涌欤M(jìn)而導(dǎo)致桿柱振動(dòng)加劇。

4.3.2 井眼軌道對(duì)桿柱振動(dòng)的影響

通過調(diào)整井斜角，計(jì)算得到不同井斜角下桿柱的最大橫向變形，進(jìn)而得到動(dòng)力放大系數(shù)隨井斜角的變化曲線，如圖9所示。

圖9 動(dòng)力放大系數(shù)隨井斜角的變化曲線Fig.9 Variation of dynamic amplification coefficient with deviation angle

由圖9可以看出，隨著井斜角的增大，動(dòng)力放大系數(shù)逐漸增大。但相較與其他參數(shù)來說，井斜角變化對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響并不明顯。

4.4 扶正器配置間距優(yōu)化實(shí)例

由材料力學(xué)可知，桿柱的最大受壓載荷(即軸向最小集中載荷)是影響桿柱橫向變形的主要因素。為此，本小節(jié)以表1中的基本參數(shù)為例，分別調(diào)整P0與P1的數(shù)值以達(dá)到保證軸向最大集中載荷不變、最小集中載荷改變的目的，進(jìn)而通過優(yōu)化計(jì)算，得到在同一軸向最大集中載荷下，扶正器最優(yōu)配置間距隨軸向最小集中載荷的變化曲線，結(jié)果如圖10所示。

圖10 扶正器最優(yōu)配置間距隨軸向最小集中載荷的變化曲線Fig.10 Variation of optimal spacing of centralizers with minimum axial concentrated load

由圖10可以發(fā)現(xiàn)，扶正器最優(yōu)配置間距隨軸向最小集中載荷的減小而縮短。這說明本文建立的優(yōu)化模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)扶正器最優(yōu)配置間距的優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)合抽油桿柱實(shí)際受力可以知道，桿柱的受壓段為桿管偏磨的危險(xiǎn)點(diǎn)，在配置扶正器時(shí)，在桿柱底端應(yīng)適當(dāng)加密扶正器的布置。

5 結(jié) 論

(1)考慮交變軸向載荷激勵(lì)，基于縱橫彎曲梁理論，建立了彎曲井眼軌道內(nèi)兩扶正器之間桿柱縱橫耦合振動(dòng)仿真的力學(xué)與數(shù)學(xué)模型。采用數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)了定向井兩扶正器之間桿柱縱橫耦合振動(dòng)的仿真計(jì)算。

(2)仿真計(jì)算結(jié)果表明，相對(duì)于靜力學(xué)模型仿真結(jié)果，動(dòng)力學(xué)模型仿真結(jié)果的桿柱橫向變形更大。因此在進(jìn)行扶正器布點(diǎn)設(shè)計(jì)時(shí)，采用動(dòng)力學(xué)仿真模型更加合理，所得結(jié)果更為可靠。

(3)桿柱的軸向載荷激勵(lì)與桿柱的初彎曲是影響桿柱橫向位移動(dòng)力放大系數(shù)的主要原因。

(4)建立了扶正器配置間距優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)了兩扶正器間最優(yōu)配置間距的優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究結(jié)果為油井防偏磨設(shè)計(jì)提供思路，對(duì)降低原油開采成本具有實(shí)際意義。