基于條件風險價值理論的水庫群防洪庫容協(xié)同作用

張曉琦，劉 攀，陳 進，許繼軍，王永強，姚立強，洪曉峰

(1. 長江水利委員會長江科學院水資源與生態(tài)環(huán)境湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430010；2. 武漢大學水利水電學院水資源與水電工程科學國家重點實驗室，湖北 武漢 430072)

隨著流域復雜水庫群系統(tǒng)的建立，開展水庫群防洪庫容聯(lián)合設計研究是實現(xiàn)庫群系統(tǒng)整體效益大于各單庫簡單疊加的關鍵技術手段[1- 2]。針對傳統(tǒng)單庫系統(tǒng)，已有學者分析論證單庫防洪庫容值與防洪(或興利)效益之間呈現(xiàn)單調關聯(lián)性[3- 4]，即水庫防洪庫容值越大，防洪效益則越大(汛期興利效益則越小)；但在水庫群系統(tǒng)中，由于水庫之間存在著復雜的水文水力聯(lián)系，僅變動庫群系統(tǒng)中單一水庫的防洪庫容值，并不能直接判別系統(tǒng)整體的防洪(或興利)效益會如何隨之響應。因此，在不增加流域水庫群系統(tǒng)防洪風險的基礎上，探究各水庫間防洪庫容協(xié)同作用及其水庫群防洪庫容組合方案對系統(tǒng)防洪效益的影響具有現(xiàn)實的研究意義[5- 6]。

目前，水庫群防洪庫容聯(lián)合設計方面主要的研究方法大體可分為風險分析方法、庫容補償方法和大系統(tǒng)聚合分解方法[7- 10]。風險分析方法可考慮流域水庫群系統(tǒng)復雜的洪水遭遇情況所引起的多重不確定性，從衡量庫群系統(tǒng)的風險指標角度來優(yōu)化水庫群防洪庫容組合方案。馮平等[11]基于風險效益分析的研究思路，考慮了崗南和黃壁莊兩水庫的聯(lián)合調度，探討分析了崗南水庫提高自身汛限水位的可能性和合理性。庫容補償方法的基本思想是通過考慮庫群系統(tǒng)中上、下游水庫之間的水力聯(lián)系，從而構建梯級水庫群間的汛限水位協(xié)調關系并將其納入水庫群防洪庫容聯(lián)合設計研究中。鐘平安等[12]以梯級水庫中公共防洪任務所需的總防洪庫容為切入點，結合庫容補償原理建立上、下庫有富余防洪庫容情形下的防洪庫容置換模型，剖析上、下庫汛限水位抬升幅度之間的關系。大系統(tǒng)聚合分解方法是將復雜的流域水庫群系統(tǒng)整體概化為一個“聚合水庫”，從而確定水庫群系統(tǒng)總防洪庫容值，然后通過一定的庫容分配原則將所推求的庫群總防洪庫容值“分解”到各個水庫。郭生練等[13]借鑒大系統(tǒng)分解協(xié)調理論思想，推求得到水布埡、隔河巖水庫的汛限水位聯(lián)合運用尋優(yōu)區(qū)間。條件風險價值是經(jīng)濟學范疇中的經(jīng)典風險工具[14]，已有不少學者將其應用于水資源管理領域并提供損失值的評價方法[15]；已有條件風險價值在單庫中的應用[16]，且與傳統(tǒng)洪水風險率方法進行對比分析，驗證了該指標的合理性，但還未見將條件風險價值概念引入水庫群聯(lián)合防洪調度范疇的應用研究。

本文的研究目的在于開展基于條件風險價值理論的水庫群防洪庫容組合方案的可行區(qū)間研究。以單庫系統(tǒng)為基礎，構建各水庫防洪損失條件風險價值指標；將所提出的防洪損失條件風險價值指標拓展到復雜的庫群系統(tǒng)，并給出水庫群系統(tǒng)防洪庫容組合方案可行區(qū)間的推求思路；最后，以漢江流域水庫群系統(tǒng)開展實例研究，剖析各水庫防洪庫容之間的協(xié)同作用。

1 研究方法

1.1 單庫系統(tǒng)防洪損失條件風險價值評價指標

風險價值(Value- at- Risk，VaR)和條件風險價值(Conditional Value- at- Risk，CVaR)均是財務風險測量工具。VaR_α定義為某一段時間內，在給定的置信水平α條件下的最大損失。CVaR_α是VaR_α的一種改進形式，其表征在一定置信水平下，損失超過VaR_α的平均水平[14]：

(1)

式中：x為決策變量；θ為隨機變量；E(·)代表期望；Fα為相應于置信水平α的VaR_α值；Fmax為損失函數(shù)的最大值；L(x,θ)為損失函數(shù)；f(·)為損失分布的概率密度函數(shù)；φ(x,θ)為損失的累計分布函數(shù)。

損失函數(shù)是條件風險價值指標建立的核心，本文通過考慮水庫下游防洪控制點需多余承擔的洪量來構建水庫防洪損失函數(shù)L(x,θ)，從而將經(jīng)濟學中的條件風險價值理念引入水庫防洪評價領域。選取水庫防洪庫容值(或汛限水位)為決策變量x，入庫洪水量級為隨機變量θ，損失函數(shù)可表達為

L(x,θ)=wf(x,θ)

(2)

式中：wf(·)代表下游防洪控制點需分擔的多余洪量，億m3。當構建多個水庫汛限水位(防洪庫容)方案和多種設計頻率下的洪水過程方案，即可建立損失函數(shù)值L(x,θ)與x和θ之間的聯(lián)系。

假設防洪損失發(fā)生在第i年的洪水風險為R，則置信水平和洪水風險滿足關系式α+R=1；當損失函數(shù)L(x,θ)的形式確定，并且給定置信水平α時，防洪損失的條件風險價值CVaR_α為確定值(詳細證明過程可見文獻[16])。

1.2 庫群系統(tǒng)防洪損失條件風險價值評價指標

以庫群系統(tǒng)中的水庫下游防洪控制點為研究對象，分別建立相應的防洪損失條件風險價值指標。若下游防洪控制點k對應的上游水庫個數(shù)為n，則其防洪損失條件風險價值計算式如下：

(3)

式中：xi為第i個水庫的防洪庫容值(或汛限水位值)；θk為庫群系統(tǒng)對應的流域洪水量級(本文采用設計頻率表征)；Lk(·)為防洪控制點的損失函數(shù)(概率分布函數(shù))；Fk,α為相應于置信水平α的防洪損失閾值；Fk,max為損失函數(shù)的最大值；fk(·)為防洪損失的概率密度函數(shù)。

因此，針對庫群系統(tǒng)中不同的防洪控制點可分別推求其相應的防洪損失條件風險價值，并將庫群系統(tǒng)劃分為以不同防洪控制點對應的多個子系統(tǒng)；在每個子系統(tǒng)層面，以各水庫現(xiàn)狀設計防洪庫容值對應的防洪損失條件風險價值為約束上限，可推求子系統(tǒng)中各水庫防洪庫容安全下限值。從庫群系統(tǒng)層面，若以現(xiàn)狀的水庫防洪庫容組合方案計算所得的條件風險價值為約束上限，即可辨識水庫群系統(tǒng)中不同水庫防洪庫容組合方案的可行性，從而開展基于條件風險價值防洪損失評價指標的水庫群防洪庫容可行區(qū)間研究。

2 研究區(qū)域

本文以漢江流域中的安康、潘口、丹江口、三里坪以及鴨河口5個水庫構成的復雜水庫群系統(tǒng)為研究對象，如圖1所示。流域暴雨發(fā)生的時節(jié)多在7—10月，劃分為夏、秋季暴雨，故形成的洪水也相應分有夏、秋兩季。由于庫群系統(tǒng)夏汛期和秋汛期的水庫特征參數(shù)是獨立分開設計的，故本研究僅展示以夏汛期為研究時段的實例分析與討論；夏汛期為6月中下旬至8月中下旬。

圖1 漢江流域示意Fig.1 Schematic diagram of the Hanjiang River basin

漢江流域五庫系統(tǒng)共計有5個下游防洪控制點，分別為安康水庫下游對應的安康市、潘口水庫下游對應的竹山縣、三里坪水庫下游對應的谷城縣城、鴨河口水庫下游對應的南陽市，以及整個庫群系統(tǒng)下游對應的皇莊站。將漢江流域庫群系統(tǒng)以各水庫及其下游防洪控制點劃分為4個子系統(tǒng)；此外，庫群系統(tǒng)是指由5個水庫及流域防洪控制點皇莊站構成的大系統(tǒng)。研究思路分為2個方面：

(1) 僅變動單個水庫的防洪庫容方案，依次推求子系統(tǒng)/庫群層面各水庫防洪庫容安全下限值，并分析各水庫對庫群防洪風險的影響程度。

(2) 分析各水庫對于整個庫群系統(tǒng)防洪風險的影響，并推求水庫群系統(tǒng)防洪庫容可行區(qū)間。綜合各單庫下游防洪控制點和庫群系統(tǒng)下游皇莊站的防洪標準，選取置信水平0.99和0.999的2種情形計算防洪損失條件風險價值指標。

表1 水庫特征參數(shù)表

3 案例分析

3.1 庫群系統(tǒng)防洪風險對各水庫防洪庫容的敏感度分析

依次僅變動安康/潘口/丹江口/三里坪/鴨河口水庫夏汛期防洪庫容值，固定其他相應的4個水庫夏汛期防洪庫容值為相應的現(xiàn)狀設計方案，且設置各水庫夏汛期防洪庫容值在死水位至正常蓄水位對應庫容范圍內變動，以此分析漢江流域五庫群系統(tǒng)的防洪損失條件風險價值(CVaR_HZ,α)對各水庫防洪庫容值變動的敏感度情況。

圖2為僅變動安康水庫夏汛期防洪庫容方案的防洪損失條件風險價值計算結果。庫群系統(tǒng)CVaR_HZ,α隨著安康水庫防洪庫容(VAK)的逐步增大呈現(xiàn)一個先陡然下降后又趨于平穩(wěn)的變化趨勢，且以庫群系統(tǒng)現(xiàn)狀設計防洪庫容方案所推求的防洪損失條件風險價值為約束上限(即表征不增加庫群系統(tǒng)防洪風險的條件下)，可推求庫群系統(tǒng)層面安康水庫防洪庫容安全下限值為3.60億m3。此外，在庫群系統(tǒng)CVaR_HZ,α趨于穩(wěn)定之前，對安康水庫防洪庫容值變化的響應幅度若采用斜率表征為-0.166 5元/m3，該擬合相關系數(shù)R2=0.967 8。

采取相同的研究思路，可推求庫群系統(tǒng)層面潘口、丹江口、三里坪和鴨河口水庫防洪庫容安全下限值依次為2.80億m3、110.00億m3、1.21億m3、2.95億m3，且?guī)烊合到y(tǒng)CVaR_HZ,α各水庫的變化趨勢與安康水庫結論一致，此處不再贅述。同理，可推求庫群系統(tǒng)CVaR_HZ,α對各水庫防洪庫容值變動的響應幅度如表2所示，可發(fā)現(xiàn)庫群系統(tǒng)CVaR_HZ,α對各水庫防洪庫容變動的敏感度排序依次為三里坪、鴨河口、丹江口、安康、潘口水庫。若兩庫為并聯(lián)關系，則水庫防洪庫容值越小，庫群系統(tǒng)CVaR_HZ,α對其變化越敏感；若兩庫處于串聯(lián)關系，則水庫防洪庫容越大，庫群系統(tǒng)CVaR_HZ,α對其變化越敏感。

表2 庫群系統(tǒng)防洪損失條件風險價值對各水庫防洪庫容變動的敏感度計算

圖2 僅變動安康水庫防洪庫容方案的結果Fig.2 Result of only changing the Ankang Reservoir′s flood storage value

3.2 水庫群防洪庫容組合可行區(qū)間推求

采用的研究方案為固定水庫群系統(tǒng)夏汛期總防洪庫容為常數(shù)值，但考慮到漢江流域五庫系統(tǒng)中丹江口水庫防洪庫容量級與其他水庫的差別較大，故通過將丹江口水庫與其他單庫以兩兩組合的形式，探究水庫間防洪庫容組合的規(guī)律。具體而言，分別采用以下4組方案。方案A：僅變動安康和丹江口水庫防洪庫容(VDJK)組合方案；方案B：僅變動丹江口和潘口水庫防洪庫容(VPK)組合方案；方案C：僅變動丹江口和三里坪水庫防洪庫容(VSLP)組合方案；方案D：僅變動丹江口水庫和鴨河口水庫防洪庫容(VYHK)組合方案。

圖3為五庫系統(tǒng)總防洪庫容值固定為現(xiàn)狀設計方案時的計算結果，當?shù)そ谒畮炫c其他水庫兩兩組合變動防洪庫容方案時，有且僅當兩水庫防洪庫容值均取其防洪庫容安全下限值時，庫群系統(tǒng)防洪損失條件風險價值才滿足約束條件。但通過進一步擴展研究，若庫群系統(tǒng)總防洪庫容大于121.76億m3，滿足庫群系統(tǒng)防洪損失條件風險價值約束的防洪庫容組合方案存在可行區(qū)間。由于水庫兩兩組合變動方案的結果呈現(xiàn)相似的規(guī)律，故僅展示總防洪庫容固定為122.26億m3時，安康與丹江口水庫兩兩組合的變動結果(如圖4)。與圖3(a)對比可知，當庫群系統(tǒng)總防洪庫容值較大時，兩庫防洪庫容組合方案存在1個可行區(qū)間，且可行區(qū)間的左右邊界分別由各水庫的防洪庫容安全下限值決定。

圖3 水庫群總防洪庫容固定為現(xiàn)狀設計方案時的計算結果Fig.3 Results of fixing the total flood storage at its current designed value

圖4 總防洪庫容值固定為122.26億m3時僅變動安康和丹江口水庫防洪庫容組合方案計算結果Fig.4 Results of only changing the flood storage combination scheme for Ankang and Danjiangkou Reservoirs when the total flood storage is fixed at 12.226 billion m3

因此，在水庫兩兩組合方案中，當庫群系統(tǒng)總防洪庫容值固定為某一常數(shù)值時，滿足防洪損失條件風險價值約束條件的庫容組合方案的解不一定唯一，即庫群系統(tǒng)整體防洪風險不僅需要關注總防洪庫容值，也應側重研究各水庫防洪庫容組合方案對庫群系統(tǒng)防洪風險的影響。

3.3 協(xié)同防洪水庫數(shù)量對庫群系統(tǒng)防洪風險的影響

庫群系統(tǒng)防洪損失以及各水庫的防洪庫容安全下限值計算結果如表3所示：① 由于安康水庫下游安康市防洪標準的約束(子系統(tǒng)層面)，兩庫/五庫系統(tǒng)中安康水庫的防洪庫容安全下限值均為3.60億m3；② 隨著系統(tǒng)內協(xié)同防洪水庫數(shù)量的增加(考慮潘口、三里坪和鴨河口3個水庫協(xié)同防洪作用)，庫群系統(tǒng)的條件風險價值更小，說明系統(tǒng)的潛在防洪風險更?。虎?由于5庫系統(tǒng)的條件風險價值約束更嚴格，故五庫群系統(tǒng)中丹江口水庫防洪庫容安全下限值更偏安全和保守；④若采用兩庫系統(tǒng)的條件風險價值為約束條件，推求五庫系統(tǒng)中丹江口水庫防洪庫容安全下限值為105.70億m3，因此，若選取相同的條件風險價值約束條件，相比于兩庫系統(tǒng)，五庫系統(tǒng)由于考慮了更多水庫(潘口、三里坪、鴨河口水庫)的防洪協(xié)調作用，丹江口水庫自身防洪庫容可調節(jié)的靈活空間更大。

表3 兩庫/五庫系統(tǒng)防洪損失條件風險價值和防洪庫容安全下限值計算結果

4 結 論

本文提出了基于條件風險價值的水庫群防洪庫容協(xié)同作用研究，以漢江流域的安康、潘口、丹江口、三里坪和鴨河口5個水庫構成的庫群系統(tǒng)為例，主要結論如下：

(1) 以水庫群系統(tǒng)現(xiàn)狀設計的防洪庫容方案對應的防洪損失條件風險價值為約束上限(即不降低水庫群系統(tǒng)防洪標準的前提下)，可推求安康、潘口、丹江口、三里坪和鴨河口各水庫防洪庫容安全下限值分別為3.60億m3、4.00億m3、110.0億m3、1.21億m3、2.95億m3，且?guī)烊合到y(tǒng)防洪損失條件風險價值指標對各水庫防洪庫容變動的敏感度排序依次為三里坪、鴨河口、丹江口、安康、潘口水庫。

(2) 當水庫群總防洪庫容值相同時，若各水庫防洪庫容組合方案不同，所對應的防洪損失條件風險價值不一定相同，即可推求各水庫防洪庫容組合存在可行區(qū)間，且區(qū)間邊界由各水庫的允許最小防洪庫容值決定。而且，水庫群聯(lián)合防洪調度不僅應關注總防洪庫容值的設置，也應當剖析各水庫防洪庫容組合方案及各大型骨干水庫對庫群系統(tǒng)總體防洪風險的影響。

(3) 若選取相同的條件風險價值約束條件，相比于兩庫系統(tǒng)(安康、丹江口水庫)，五庫系統(tǒng)由于考慮了更多水庫(潘口、三里坪、鴨河口水庫)的防洪協(xié)同作用，丹江口水庫自身防洪庫容可調節(jié)的靈活空間更大。