奇偶對稱是一家 圖象平移可轉(zhuǎn)化
——對一道課本習題的教學探究

陶新芝

(江蘇省昆山中學,215300)

課本中的例題和習題具有示范性和延展性,是訓練學生思維,提升解題能力,培養(yǎng)數(shù)學學科素養(yǎng)的核心生長點．開展課本典型例、習題的探究性教學,有利于減輕學生的學業(yè)負擔,有助于學生跳出題海．本文對一道課本習題的教學進行探究．

問題函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),將其推廣可得:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心;

(2)類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.

一、課堂教學片斷

1.巧用平移轉(zhuǎn)化，探索問題解決

師:請從圖象變換的角度說明推廣結(jié)論中條件與結(jié)論之間的關(guān)系．

學生小組討論結(jié)果:當a≥0,b≥0時，函數(shù)y=f(x+a)-b的圖象向右平移a個單位,再向上平移b個單位,可得函數(shù)y=f(x)的圖象;函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù),圖象關(guān)于坐標原點對稱,可推得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)對稱.當a<0,b<0時,函數(shù)y=f(x+a)-b的圖象向左平移a個單位,再向下平移b個單位,可得函數(shù)y=f(x)的圖象;函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù),圖象關(guān)于坐標原點對稱,可推得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)對稱.

師:函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù)用符號語言怎樣刻畫?

生:f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b]?f(x+a)+f(-x+a)=2b.

師:根據(jù)以上分析如何求解本題第(1)問?

學生小組討論結(jié)果如下:

方法1(待定系數(shù)法)

設函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心是點P(a,b),則函數(shù)y=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b為奇函數(shù).

由奇函數(shù)的定義可得(x+a)3+(-x+a)3-3(x+a)2-3(-x+a)2-2b=0，即

(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0.

故函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心是(1,-2).

方法2(圖象變換法)

因為y=f(x)=x3-3x2=(x-1)3-3(x-1)-2,所以y=f(x+1)+2=x3-3x.由于y=f(x+1)+2=x3-3x是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心是(1,-2).

師:類比原題結(jié)論,完成第(2)問．

生:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù).

師:用符號語言刻畫函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù).

生:f(-x+a)=f(x+a).

本題看似簡單,若深入挖掘可以得到一些新的結(jié)論,進而拓展學生數(shù)學思維空間,激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣.

2.問題特殊化,探尋思維新生長點

學生小組討論結(jié)果:由三次函數(shù)y=f(x)=ax3+bx2+c+d是奇函數(shù),圖象關(guān)于坐標原點對稱,猜測三次函數(shù)y=f(x)=ax3+bx2+c+d是中心對稱圖形,設對稱中心為是點P(m,n),則f(x+m)+f(-x+m)=2n,代入f(x)=ax3+bx2+cx+d化簡得：(3am+b)x2+am3+bm2+cm+d=n.由此可知

3.變換視角,拓展學生思維空間

師:若函數(shù)f(x)是定義在集合D上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于坐標原點對稱,若函數(shù)f(x)定義在集合D上且具有最大值和最小值,則f(x)max+f(x)min=0.類比推廣,定義在集合D上的函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點P(a,b)對稱,若函數(shù)f(x)是定義在集合D上具有最大值和最小值,則f(x)max+f(x)min=( ).

生:f(x)max+f(x)min=2b.

師:若函數(shù)f(x)是定義在集合D上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,若函數(shù)f(x)在集合D上有奇數(shù)個零點,則有f(0)=0,類比推廣,若定義在集合D上函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱,若函數(shù)D上有奇數(shù)個零點，則有( )：

生:f(a)=0.

4.學以致用,揭示高考題神秘面紗

(A)f(x-1)-1 (B)f(x-1)+1

(C)f(x+1)-1 (D)f(x+1)+1

例2(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a=( )

(A)0 (B)m(C)2m(D)4m

二、教學反思

1.鉆研教材,充分挖掘例習題的育人價值

課本是教師上課之本,學生數(shù)學認知之本,也是高考專家命題之本.分析教材是教師進行教學設計的基礎,是教師上課的前奏.對教材分析是否到位,不僅關(guān)系到能否發(fā)揮教材的作用,也會直接影響教師的課堂教學質(zhì)量[1].教學中,應注重對課本例題和習題的開發(fā)利用,對典型的例題和習題進行挖掘、聯(lián)想、推廣、引申，得到綜合性強、形式新穎的問題,訓練學生數(shù)學思維的靈活性和創(chuàng)新性,提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng).

2.教師主導,用問題激活整個教學過程

學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展需要通過教師組織教學活動來引領(lǐng)．在教學過程中，數(shù)學問題是學生思維的發(fā)動機,因此要用精心設計的一系列問題來引導教學進程．根據(jù)課程內(nèi)容提出有研究價值的問題,問題的提出要以學生已有的活動經(jīng)驗和認知水平為基礎,但不能僅靠回憶或復述就能解決,而要能引導學生對以往學習經(jīng)驗整合,啟發(fā)學生對核心內(nèi)容探究,引發(fā)學生深度思考,從而使學生積極主動地參與數(shù)學學習活動．

3.學生主體,在活動中提升數(shù)學學科素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)是能動的,是依賴于大腦機能而存在的,具有很強的主體性,他人無法替代．數(shù)學經(jīng)驗需要在數(shù)學活動中積累,數(shù)學能力需要在數(shù)學活動中發(fā)展．數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成,僅依賴教師講授是不行的,更重要的是尊重學生的主體地位,依靠學生親身參與數(shù)學活動,并在活動中認真思考．在教學活動中,要給學生足夠的時間和機會進行自主探究、合作討論和展示交流,讓學生在數(shù)學活動中發(fā)揮主觀能動性,在分析和探究中實現(xiàn)數(shù)學思維和數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升．