基于整體公平度最小極差的席位公平分配模型

韋碧鵬，史文雷，莫京蘭

(1.柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.山東財(cái)經(jīng)大學(xué) 會(huì)計(jì)學(xué)院，濟(jì)南 250014；3.柳州工學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，廣西 柳州 545616)

0 引言

席位公平分配來源于美國眾議院在其各州的席位名額分配而產(chǎn)生的問題[1]。它在政治學(xué)、管理學(xué)以及對(duì)策決策等領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用而備受關(guān)注。由于公平標(biāo)準(zhǔn)比較難界定，針對(duì)此問題，學(xué)者們從各方的公平性角度出發(fā)，通過定義各自的公平標(biāo)準(zhǔn)對(duì)公平分配問題進(jìn)行研究，提出了一些公平席位分配的方法，如：尾數(shù)最大法[1]、Q值法[2]、最大熵法[3]、最小極差法[4-5]、最大概率法[6]等，這些方法在現(xiàn)實(shí)生活中也得到了較好的應(yīng)用。國內(nèi)學(xué)者張建勛在文獻(xiàn)[7]中指出：國外學(xué)者M(jìn).L.Balinski與 H.P.Young于1974年提出了席位分配問題的公理化體系(以下簡稱為Young的公理化體系)，即人數(shù)單調(diào)性、無偏性、席位單調(diào)性、公平分?jǐn)傂?、接近份額性。但是，在1982年，這兩位學(xué)者證明了同時(shí)滿足這5個(gè)公理化體系的分配方法是不存在的[7]541-542?；诖?，國內(nèi)外學(xué)者在考慮滿足Young的公理化體系第四條公平分?jǐn)傇瓌t的前提下，從各方的公平性角度對(duì)席位公平分配問題進(jìn)行深入研究，提出了一些新的方法[8-9]。

在席位公平分配問題中，存在著個(gè)體公平和總體公平之間的矛盾，但它們又是不可分割的?；诖?，岳林[10]從整體公平度的角度出發(fā)，認(rèn)為席位公平分配問題的所謂公平應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)是各個(gè)個(gè)體和總體之間公平性應(yīng)該相等或者盡可能相等，整體公平度是整體數(shù)量與整體席位數(shù)的比值，并對(duì)于席位公平分配問題提出了新Q值法。針對(duì)文獻(xiàn)[10]所提出的整體公平度問題，不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究，如：嚴(yán)余松[11]提出了0-1規(guī)劃法；張建勛[7]提出了席位公平問題的代表個(gè)人角度、成員個(gè)人角度以及單位角度的評(píng)價(jià)模型，且對(duì)其進(jìn)行了模型檢驗(yàn)；吳黎軍和田存福[12]采用相對(duì)指標(biāo)建立了相應(yīng)的新0-1規(guī)劃模型。為了滿足Young的公理化體系公平分?jǐn)傇瓌t，在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，張華等學(xué)者[13]提出了席位分配問題的整數(shù)變量模型，并對(duì)其進(jìn)行了應(yīng)用。丁會(huì)等學(xué)者[14]提出了基于平均公平度的席位分配方法。對(duì)于席位分配問題，也有一些學(xué)者從其他的角度進(jìn)行研究[15-17]。以上文獻(xiàn)基于不同的標(biāo)準(zhǔn)從各方公平性、整體公平度以及統(tǒng)計(jì)量等角度，對(duì)席位公平分配問題提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和算法。雖然也有學(xué)者從整體公平的角度對(duì)席位公平問題提出相應(yīng)的模型和算法，但是從整體公平的角度對(duì)問題進(jìn)行研究還比較缺乏。

為此，本文將在整體公平度的基礎(chǔ)上，提出改進(jìn)的席位代表人數(shù)差量和改進(jìn)的人數(shù)代表席位差量最小極差數(shù)學(xué)模型及其算法，并通過實(shí)驗(yàn)對(duì)改進(jìn)算法與未改進(jìn)算進(jìn)行對(duì)此分析。

1 席位公平分配問題

2 基于整體公平度的席位代表人數(shù)差量最小極差數(shù)學(xué)模型

2.1 席位代表人數(shù)差量

對(duì)于席位分配問題，我們認(rèn)為的公平，不但要考慮整體，還應(yīng)當(dāng)考慮各個(gè)體間的關(guān)系。因此，本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，對(duì)席位公平分配問題的整體和個(gè)體間的關(guān)系進(jìn)行了研究，提出席位代表人數(shù)差量的概念。

2.2 最小極差數(shù)學(xué)模型

minz=x-y

(1)

案例1設(shè)某校有甲乙丙丁戊5個(gè)二級(jí)學(xué)院，這5個(gè)二級(jí)學(xué)院的學(xué)生人數(shù)分別為345、72、894、68、39(合計(jì)1418人)，學(xué)校代表大會(huì)學(xué)生的席位為47個(gè)，請(qǐng)對(duì)席位進(jìn)行合理分配。

結(jié)合最小極差數(shù)學(xué)模型(1)，對(duì)案例1進(jìn)行求解，得出其相應(yīng)的結(jié)果如表1所示。

表1 席位分配結(jié)果

2.3 改進(jìn)的最小極差數(shù)學(xué)模型和算法

2.3.1 改進(jìn)的最小極差數(shù)學(xué)模型

minz=x-y，

(2)

其中：pi,N,P,ai是已知常數(shù)，yi,x,y為變量；yi表示各方在原有基礎(chǔ)上所分配到的席位數(shù)。

2.3.2 算法

針對(duì)席位公平分配問題，根據(jù)啟發(fā)式算法[18-20]的思想，在分配席位過程中，通過各方席位代表人數(shù)的數(shù)值與整體公平度的數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，刪除席位代表人數(shù)差量小于或者等于零的一方，運(yùn)用改進(jìn)的最小極差數(shù)學(xué)模型IPDQM對(duì)下一個(gè)席位進(jìn)行分配，直到剩余的席位等于零為止，具體算法如下。

結(jié)合案例1，對(duì)最小極差數(shù)學(xué)模型和改進(jìn)的最小極差數(shù)學(xué)模型算法進(jìn)行對(duì)比，具體如表2所示。

表2 PDQM模型算法與IPDQM模型算法結(jié)果比較

從表2中結(jié)果以及公平分?jǐn)傂栽瓌t可知，運(yùn)用IPDQM模型算法對(duì)各學(xué)院席位進(jìn)行分配的方案滿足公平分?jǐn)傂栽瓌t，說明了IPDQM模型算法比PDQM模型算法優(yōu)越。

2.4 幾種方法的對(duì)比分析

對(duì)于席位公平分配問題，結(jié)合已有的模型，將文獻(xiàn)[2]中Q值法、文獻(xiàn)[3]中最大熵法、文獻(xiàn)[8]中TMDP模型以及文獻(xiàn)[14]中平均公平度算法與IPDQM模型算法進(jìn)行對(duì)比，說明IPDQM模型算法的正確性。

案例2設(shè)某校有甲乙丙3個(gè)二級(jí)學(xué)院，這3個(gè)二級(jí)學(xué)院的學(xué)生人數(shù)分別為103、63、34，學(xué)校代表大會(huì)學(xué)生的席位為21個(gè)，請(qǐng)對(duì)席位進(jìn)行合理分配。

根據(jù)2.3.2算法的步驟，可以得出IPDQM數(shù)學(xué)模型分配方案的具體結(jié)果。

步驟1：根據(jù)比例的方式，計(jì)算出各方的席位數(shù)，即

步驟2：運(yùn)用取整的方式分配各方的席位數(shù)，結(jié)果為甲分得10個(gè)席位，乙分得6個(gè)席位，丙分得3個(gè)席位。下一步對(duì)剩余的2個(gè)席位進(jìn)行分配。

步驟3：計(jì)算各方席位代表人數(shù)和整體公平度，其計(jì)算結(jié)果如下。

由于甲乙丙三方席位代表人數(shù)都大于整體公平度的值，因此運(yùn)用IPDQM模型及其算法對(duì)第20個(gè)席位進(jìn)行分配，求解得出第20個(gè)席位分配給甲，因此，甲分得席位由10個(gè)變?yōu)?1個(gè)席位。

步驟4：分配第21個(gè)席位，與步驟3一樣。首先計(jì)算出各方的席位代表人數(shù)和整體公平度，根據(jù)計(jì)算得出甲的席位代表人數(shù)為9.36，小于整體公平度9.52。因此，在分配第21個(gè)席位時(shí)，不考慮甲方，僅僅把剩余的席位分配給乙方和丙方。重復(fù)步驟3得出，第21個(gè)席位分配給丙，因此，丙分得席位由3個(gè)變?yōu)?個(gè)席位。最終，21個(gè)席位分配結(jié)果：甲11個(gè)，乙6個(gè)，丙4個(gè)。

經(jīng)過計(jì)算，可以得出Q值法、最大熵法、TMDP模型算法、平均公平度算法對(duì)于21個(gè)席位分配的結(jié)果，與IPDQM模型算法所獲結(jié)果進(jìn)行比較的情況如表(3)所示。

由表3中結(jié)果可以看出，IPDQM模型算法的計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典Q值法和最大熵法的結(jié)果相同，可以說明IPDQM模型算法的正確性。

表3 各算法席位分配結(jié)果對(duì)比

案例3設(shè)某公司有甲乙丙丁戊5個(gè)部門，這5個(gè)部門的職工人數(shù)分別為10、19、40、48、59，公司代表大會(huì)職工的席位為78個(gè)，請(qǐng)對(duì)席位進(jìn)行合理分配。

基于整體公平度的角度，將文獻(xiàn)[9]中的新Q值法、文獻(xiàn)[10]中的0-1規(guī)劃法以及文獻(xiàn)[14]中的平均公平度算法，與本文建立的IPDQM模型算法對(duì)席位分配的研究結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表(4)所示。

由表4可見，基于整體公平度的角度下建立的席位公平分配模型(新Q值法、0-1規(guī)劃法、平均公平度算法)極差較大，本研究基于整體公平度角度建立的IPDQM模型算法所得的分配結(jié)果極差較小。本算法結(jié)果的極差小能夠使得席位分配更加集中，從而使得分配對(duì)于公司各個(gè)部門來說更加公平。因此，基于整體公平度的角度，本研究建立的IPDQM模型算法更公平合理。

表4 各算法席位分配結(jié)果對(duì)比

minz=x-y，

(3)

證明(i)充分性

將不等式變形，則約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

這與模型(3)中的約束條件一致。

(ii)必要性

這與改進(jìn)的最小極差I(lǐng)PDQM模型中的目標(biāo)函數(shù)一致。又由于有約束條件

這與改進(jìn)的最小極差I(lǐng)PDQM模型中的約束條件一致。

為了說明基于整體公平度建立的IPDQM模型和算法與文獻(xiàn)[8]在各方公平性下所建立的TMDP模型的差異性，構(gòu)造某公司甲乙丙丁戊5個(gè)部門的4組數(shù)據(jù)(見表5)，并對(duì)這4組數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表5所示。

表5 IPDQM模型算法與TMDP模型算法對(duì)比

從表5中可以看出，基于整體公平度的角度，所建立的IPDQM模型算法與從各方公平性的角度建立的TMDP模型算法是有區(qū)別的。例如：甲乙丙丁戊5個(gè)部門的人數(shù)分別為10、24、31、39、89，總席位為26個(gè)。經(jīng)過分配IPDQM模型和算法的結(jié)果為1、3、4、6、12，TMDP模型和算法的結(jié)果為2、3、4、5、12。運(yùn)用IPDQM模型和算法，甲得到的席位數(shù)少了1個(gè)，丁得到的席位數(shù)多了1個(gè)。這是由于IPDQM模型和算法考慮了分配的整體性，然而TMDP模型和算法僅僅考慮各個(gè)部門之間的關(guān)系，忽略了整體性的存在。從而也驗(yàn)證了定理1，即當(dāng)席位代表人數(shù)差量大于等于零時(shí)，IPDQM模型和TMDP模型等價(jià)。

3 基于整體公平度的人數(shù)代表席位差量最小極差數(shù)學(xué)模型

3.1 改進(jìn)的最小極差數(shù)學(xué)模型

定義2設(shè)m個(gè)機(jī)構(gòu)(簡稱m方)中有P人參與總席位的分配，第i方的人數(shù)為pi(i∈m)，所分配到的席位數(shù)為ni(i∈m)，稱為第i方相對(duì)于整體公平度倒數(shù)的人數(shù)代表席位差量。

minz=x-y，

(4)

3.2 算法

針對(duì)席位公平分配問題，根據(jù)啟發(fā)式算法[18-20]的思想，在席位分配過程中，通過各方人數(shù)代表席位的數(shù)值與整體公平度的倒數(shù)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，刪除人數(shù)代表席位差量大于或者等于零的一方，運(yùn)用改進(jìn)的最小極差數(shù)學(xué)模型ISDQM對(duì)下一個(gè)席位進(jìn)行分配，直到剩余的席位等于零為止，具體算法如下步驟。

3.3 IPDQM與ISDQM模型算法對(duì)比

案例4(數(shù)據(jù)來源于案例1)設(shè)某校有5個(gè)二級(jí)學(xué)院，這5個(gè)二級(jí)學(xué)院的學(xué)生人數(shù)分別為345、72、894、68、39，學(xué)校代表大會(huì)學(xué)生的席位為N個(gè)，請(qǐng)對(duì)席位進(jìn)行合理分配。

為了說明IPDQM與ISDQM兩種模型算法的區(qū)別與聯(lián)系，本案例運(yùn)用案例1數(shù)據(jù)和相關(guān)分配原則對(duì)它們進(jìn)行說明，具體結(jié)果見表6。

表6 IPDQM模型算法與ISDQM模型算法結(jié)果對(duì)比

從表6中可以看出，當(dāng)學(xué)校代表大會(huì)學(xué)生的總席位分別為47、48、50、101以及102時(shí)，模型IPDQM與模型ISDQM的算法結(jié)果相同。但當(dāng)學(xué)校代表大會(huì)學(xué)生的總席位分別為30、99、100以及150時(shí)，以上兩種模型的算法結(jié)果不一樣，即某些二級(jí)學(xué)院所獲得的代表席位數(shù)不一樣。

4 結(jié)論

席位公平分配問題由于其在政治學(xué)、管理學(xué)以及對(duì)策決策等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用而一直以來備受關(guān)注?；谡w公平度的角度，本文通過給出席位公平分配問題的席位代表人數(shù)差量的概念，提出了一種基于整體公平度最小極差PDQM的數(shù)學(xué)模型。為了尋求滿足Young的公理體系中公平分?jǐn)傇瓌t，對(duì)最小極差PDQM模型進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)而提出了改進(jìn)的最小極差I(lǐng)PDQM數(shù)學(xué)模型和算法。通過案例，將改進(jìn)分配方法與現(xiàn)有的分配方法進(jìn)行對(duì)比，說明了改進(jìn)的最小極差I(lǐng)PDQM數(shù)學(xué)模型和算法的正確性與有效性。此外，為了研究席位代表數(shù)量和人數(shù)代表數(shù)量模型之間的關(guān)系，在席位代表人數(shù)差量的基礎(chǔ)上，定義了人數(shù)代表席位差量的概念，提出了基于整體公平度的人數(shù)代表席位差量改進(jìn)的最小極差數(shù)學(xué)模型ISDQM。通過具體的案例進(jìn)行分析，得出IPDQM數(shù)學(xué)模型算法與ISDQM數(shù)學(xué)模型算法之間的差異性。