由磁矩計算磁場強(qiáng)度的公式在航天器磁矩測量中的應(yīng)用

張新邦，陳德祥，王東盛，馮強(qiáng)濤

（1. 北京控制工程研究所，北京 100190； 2. 中國科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，成都 610207）

0 引言

磁學(xué)中關(guān)于磁場的生成和磁場強(qiáng)度的計算公式有多種論述：1）認(rèn)為磁場由磁荷產(chǎn)生，應(yīng)用磁庫侖定律計算磁荷產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度。提出磁偶極子由一對等量異號的點磁荷±組成，兩個點磁荷之間距離為，偶極子的磁矩=。2）認(rèn)為磁場由電流產(chǎn)生，應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律計算電流產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度。提出電流環(huán)生成磁矩=，其中是通過的電流，是環(huán)的面積。這兩種論述中的磁矩模型完全不一樣：偶極子模型中沒有橫截面積，電流環(huán)模型中沒有長度。兩模型對近場的計算結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，但對遠(yuǎn)場計算出的場強(qiáng)卻十分一致。于是以此為基礎(chǔ)將前兩種觀點結(jié)合延伸，整理得到由磁矩計算磁場強(qiáng)度的公式。在由磁矩的偶極子模型和電流環(huán)模型推導(dǎo)此公式時，文獻(xiàn)[3]的推導(dǎo)過程煩瑣低效，文獻(xiàn)[4]內(nèi)有其簡潔漂亮的推導(dǎo)過程，但其推導(dǎo)目的只是為了說明兩個模型在遠(yuǎn)距離處得到的磁場強(qiáng)度完全相同，沒有進(jìn)一步的拓展論述。

航天器磁特性試驗研究中一個重要內(nèi)容是通過測量磁場強(qiáng)度間接獲知航天器本體磁矩，現(xiàn)已形成有效的磁試驗規(guī)范。目前常用的方法有偶極子法、赤道作圖法和球面作圖法3 種。偶極子法是將衛(wèi)星看作磁偶極子，此法簡單，適用于對準(zhǔn)確度要求不高的場合。赤道作圖法采用多極子模型，應(yīng)用單軸轉(zhuǎn)臺使衛(wèi)星處于水平旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，在衛(wèi)星赤道平面上測量磁場強(qiáng)度，計算得到衛(wèi)星磁矩。球面作圖法是在衛(wèi)星球坐標(biāo)系中，由磁位函數(shù)的球諧分析得到磁矩的基本方程，測量中應(yīng)用二軸轉(zhuǎn)臺測量包圍衛(wèi)星的某個球面上的磁場強(qiáng)度，計算得到衛(wèi)星磁矩。赤道作圖法和球面作圖法可以得到較高測量精度（誤差＜4%）的數(shù)據(jù)，但數(shù)據(jù)處理過程比較復(fù)雜，需要專家參與。

為探索航天器內(nèi)部多磁源情況下更為簡便的磁測量新方法，本文提出新球面作圖法，即將磁矩計算磁場強(qiáng)度的公式與球面作圖法相結(jié)合，根據(jù)測得的點磁場強(qiáng)度計算得到航天器磁矩，并進(jìn)行仿真計算以驗證該方法的有效性。

1 由磁矩計算磁場強(qiáng)度的公式

圖1 由磁矩求磁場強(qiáng)度示意[3]Fig. 1 Schematic diagram of magnetic field intensity calculated by magnetic moment[3]

當(dāng)物體（磁矩載體）的尺寸相對于物體到點的距離是小量（距離大于物體尺寸6 倍）時，則有

式中為距離，m。

式(1)內(nèi)的磁場強(qiáng)度與距離的立方成反比下降，即符合立方反比定律，所以又簡稱其為反立方公式。

2 反立方公式的一般工程應(yīng)用

對于滿足磁矩載體尺寸相對于載體到測點距離是小量的磁源稱之為點磁源，不滿足的稱為體磁源。反立方公式描述了點磁源與外部磁場強(qiáng)度的關(guān)系，因此當(dāng)點磁源和測點的位置已知，則由磁矩可計算出測點磁場強(qiáng)度，也可由測點磁場強(qiáng)度計算出磁矩。

對于體磁源，處理方法是將其分割成許多尺寸足夠小的符合點磁源要求的單元，對每個小單元應(yīng)用反立方公式，調(diào)用由點磁源磁矩求磁場強(qiáng)度的子程序，然后將全部小單元的結(jié)果相加得到測點的磁場強(qiáng)度。關(guān)鍵是需要磁源體內(nèi)磁化強(qiáng)度分布規(guī)律（如均勻磁化或磁化強(qiáng)度以某曲線分布）已知，這樣才能計算出各小單元磁矩（一般情況下可近似認(rèn)為是均勻磁化）。反之，已知測點磁場強(qiáng)度、體磁源磁化強(qiáng)度分布規(guī)律，在上面成果的基礎(chǔ)上，可以計算出體磁源的磁矩。理論上在磁化強(qiáng)度分布規(guī)律已知情況下，只需要一個測點的磁場強(qiáng)度數(shù)據(jù)就可以計算出體磁源磁矩。

因此，體磁源內(nèi)磁化強(qiáng)度分布規(guī)律是關(guān)鍵。由均勻介質(zhì)組成的球形體是均勻磁化；細(xì)長圓柱體不是均勻磁化，但在圓柱體的長度與直徑之比不大時，可近似為均勻磁化。下面討論圓柱體長度與直徑之比較大時的情況。

先假設(shè)細(xì)長圓柱體（簡稱為“磁棒”）均勻磁化，應(yīng)用基于反立方公式的體磁源求外部磁場強(qiáng)度方法，得到外部磁場強(qiáng)度分布數(shù)據(jù)。再將磁棒相等于同樣長度的偶極子，應(yīng)用磁庫侖定律計算得到外部的場強(qiáng)分布數(shù)據(jù)。若這兩個結(jié)果完全一樣，則說明偶極子模型中的磁棒是均勻磁化。

但近距離測量證明偶極子模型不正確，即磁棒不是均勻磁化，尤其在圓柱體長度與直徑的比值較大情況下更是如此，因此需要研究其磁化強(qiáng)度曲線。張新邦等對此進(jìn)行了研究：以某磁力矩器為例，坡莫合金（各向同性）為磁介質(zhì)的圓柱體長0.8 m，直徑0.02 m，磁化率10 000，線圈產(chǎn)生磁場強(qiáng)度為300 A/m（軸向）；將圓柱體橫切成80 等分，得到81 個截面，計算得到各截面的磁化強(qiáng)度（見圖2），進(jìn)而得出總磁矩為24 A·m。

圖2 細(xì)長圓柱體磁化強(qiáng)度曲線[8]Fig. 2 Magnetization curve of slender cylinder[8]

工程上可將圖2 中曲線近似為余弦曲線，將實際磁化強(qiáng)度分成2 部分：一部分是直線（均勻磁化部分），其高度為；另一部分是余弦曲線（非均勻磁化部分），余弦曲線的幅值為。當(dāng)比值=/很小，表示非均勻磁化程度高，值大說明非均勻磁化程度低。如值已知，應(yīng)用反立方公式求其磁矩時只需要1 個外部測點數(shù)據(jù)。

3 反立方公式在航天器磁測量中的應(yīng)用

進(jìn)行航天器磁測量時，如能遠(yuǎn)距離得到其磁場強(qiáng)度的準(zhǔn)確測量值，則可將其視為點磁源，直接根據(jù)測量值反演計算得到磁矩值；如果是近距離測量且被測部件磁特性已知（如磁力矩器），則不用轉(zhuǎn)臺，由測量值可計算出磁矩；如是近距離測量且航天器磁特性未知，則需要二軸轉(zhuǎn)臺，應(yīng)用基于反立方公式的球面作圖法（或稱為新球面作圖法）得到磁矩值。以下以衛(wèi)星為例具體說明，將其視為非均勻磁化的球體。

3.1 多磁源情況

對多磁源的分析可分2 種情況。若清楚衛(wèi)星內(nèi)部結(jié)構(gòu)，包括各磁源的坐標(biāo)及大小形狀等，可在衛(wèi)星周邊安裝多個磁強(qiáng)計，磁強(qiáng)計數(shù)目大于或等于磁源數(shù)目。設(shè)各磁源的磁矩為未知數(shù)，根據(jù)每個磁強(qiáng)計實際測量值等于接收的各個磁源信息的總和，以此建立方程組并求解即可。注意得到的可能是病態(tài)方程組，應(yīng)采用較多的磁強(qiáng)計和應(yīng)用最小二乘法以減小誤差。若不清楚衛(wèi)星內(nèi)部結(jié)構(gòu)，則應(yīng)用新球面作圖法解決。

3.2 新球面作圖法

新球面作圖法是指，在數(shù)據(jù)采集過程應(yīng)用球面作圖法思路，數(shù)據(jù)處理過程應(yīng)用反立方公式的對點磁源求磁矩方法，數(shù)據(jù)處理簡單方便，易于推廣應(yīng)用。如圖3 所示，坐標(biāo)系內(nèi)半徑為的大球是測量球面，半徑為的小球是衛(wèi)星本體；衛(wèi)星本身是黑盒子，不知其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

圖3 新球面作圖法示意Fig. 3 Schematic diagram of the new spherical mapping method

設(shè)衛(wèi)星總磁矩為。在大球面上均勻布置個磁場強(qiáng)度測量點，各點測量值為B(=1, 2, …,)。計算衛(wèi)星磁矩時假設(shè)衛(wèi)星為點磁矩，位置在坐標(biāo)原點，于是根據(jù)測量值B可計算出相應(yīng)的衛(wèi)星磁矩m，個測量點對應(yīng)有個m值。當(dāng)測量點數(shù)目

其中積分曲面為測量球面，為測量球面的面積。

下面通過仿真算例作進(jìn)一步說明，并對誤差進(jìn)行分析。

先假設(shè)衛(wèi)星內(nèi)部只在點處有點磁矩m（見圖4）。

圖4 新球面作圖法應(yīng)用示意圖Fig. 4 Schematic diagram of application of the new spherical mapping method

將測量球面分成面積大小基本相等的個小塊，其中某塊內(nèi)有測點，此塊面積為d。

根據(jù)反立方公式可以：

1）由m計算出點的磁場強(qiáng)度B；

2）由B計算出衛(wèi)星磁矩m（m與m有很大的差別）；

3）根據(jù)式(3)在測量球面對m求均值得到衛(wèi)星磁矩。

以上的運算過程都是線性關(guān)系。因為m的位置和點位置都已知，則有=Cm，其中為3 階方陣，里面元素都是常數(shù)，即m和是線性關(guān)系，同樣m和也是線性關(guān)系，于是m和是線性關(guān)系。

定義磁矩計算的相對誤差

設(shè)測量球面半徑=1 m，衛(wèi)星半徑= 0.5 m；點p(=,,)位于距坐標(biāo)原點最遠(yuǎn)處，分別為、、軸與衛(wèi)星球面的3 個交點。

對測量球面分割成塊，m(=,,)的值分別取3 個單位矢量，于是應(yīng)用式(4)得到9 個磁矩計算值的相對誤差，取其中最大值w。當(dāng)m取其他值，則是3 個單位矢量的疊加，應(yīng)用式(3)得到的相對誤差由于疊加原理也小于w。衛(wèi)星體內(nèi)其他任意點與原點的距離都不大于，所以其他點的計算誤差也小于w。

再假設(shè)衛(wèi)星體內(nèi)有眾多的點磁矩m，由于各m與其對應(yīng)的計算均值同樣是線性關(guān)系，應(yīng)用疊加原理，所有點磁矩組合后的計算誤差也小于w，即應(yīng)用新球面作圖法的計算誤差小于w（忽略了敏感器測量誤差等其他因素）。

在衛(wèi)星實體和測量球面確定后，計算誤差w主要與測點數(shù)有關(guān)，按照上面條件進(jìn)行計算，結(jié)果如表1 所示。可見：隨著測點數(shù)的增大，誤差越來越??；當(dāng)趨于無窮大則誤差趨于0。

表1 測點數(shù)與相對誤差Table 1 Number of measuring points vs. relative error

按照上述方法，對衛(wèi)星內(nèi)部有3 個點磁矩的情況進(jìn)行仿真計算。其中，磁矩的單位為A·m，位置的單位為m。設(shè)3 個點磁矩值分別為m=[10,0, 0]，m=[0, 15, 0]，m=[0, 0, 20]；位置分別為=[0.5, 0, 0]，=[ 0, 0.5, 0]，=[ 0, 0, 0.5]；衛(wèi)星實際總磁矩=[10, 15, 20]。應(yīng)用新球面作圖法，測點數(shù)取60，計算得到衛(wèi)星磁矩=[9.98, 14.91,20.41]；計算誤差w=1.6%。

3.3 新球面作圖法小結(jié)

1）新球面作圖法需要測量包圍衛(wèi)星的某個球面上磁場強(qiáng)度。設(shè)半徑為大球是測量球面，半徑為小球是衛(wèi)星實體；=/，一般要求≥2，因為越大計算誤差越小。但的增大會使測點信號減弱，所以需要有一個合適的值。

2）測量中需要測點是均勻分布，由于無法在球面布置完全均勻的測量點，所以將測量球面分成許多（個）面積相等或相近的小塊，設(shè)某小塊的面積d，小塊上有一個測量點，其測量計算得到磁矩為，對與d的積求和，再除以測量球面積即為衛(wèi)星磁矩。

3）在和確定后，計算誤差w隨著測點數(shù)的增加而減小，若趨于無窮大則w趨于0。

4 結(jié)束語

由磁矩計算磁場強(qiáng)度的反立方公式直接描述了磁場強(qiáng)度與磁矩間的關(guān)系，與球面作圖法結(jié)合，為航天器磁試驗中的本體磁矩測量等工作提供了一種易于推廣的新方法。

1）反立方公式描述了點磁源與外部磁場強(qiáng)度的關(guān)系。對于體磁源可將其分割成許多小單元，然后對每個小單元按點磁源處理。關(guān)鍵是需要磁源體內(nèi)磁化強(qiáng)度分布規(guī)律，一般情況下可近似認(rèn)為體磁源是均勻磁化。

2）細(xì)長圓柱體（如磁力矩器）是一類特殊的體磁源，當(dāng)圓柱體長度與直徑之比較大時，其體內(nèi)非均勻磁化現(xiàn)象明顯，工程上可將其非均勻磁化部分的磁化強(qiáng)度曲線近似為余弦曲線。

3）測量衛(wèi)星磁矩時，若清楚衛(wèi)星內(nèi)部結(jié)構(gòu)（包括內(nèi)部各磁源坐標(biāo)及大小形狀等），可在衛(wèi)星周邊安裝多個磁強(qiáng)計，建立磁強(qiáng)計測量值與衛(wèi)星內(nèi)部各磁源信息的方程組并求解即可。

4）若不清楚衛(wèi)星內(nèi)部結(jié)構(gòu)，可應(yīng)用新球面作圖法，即在采集數(shù)據(jù)時應(yīng)用球面作圖法的思路，在數(shù)據(jù)處理時應(yīng)用基于反立方公式的由場強(qiáng)計算點磁矩方法，計算出本體磁矩。在測量點數(shù)≥30 時，相對誤差≤4%。