半實(shí)物射頻仿真的誤差聯(lián)合概率密度函數(shù)分析

唐 波, 劉乃文, 馬 靜, 郭琨毅, 盛新慶

(1. 北京科技大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院, 北京 100083; 2. 北京仿真中心航天系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100854; 3. 北京理工大學(xué)集成電路與電子學(xué)院射頻技術(shù)與軟件研究所, 北京 100081)

0 引 言

半實(shí)物射頻仿真是雷達(dá)導(dǎo)引頭系統(tǒng)研發(fā)過(guò)程中常用的一種測(cè)試方法,是介于外場(chǎng)試驗(yàn)與全數(shù)字仿真之間的一種仿真技術(shù),既在一定程度上克服了外場(chǎng)試驗(yàn)所需費(fèi)用較大的問(wèn)題,又通過(guò)實(shí)物在回路而使仿真保持了相當(dāng)高的真實(shí)度?，F(xiàn)在世界上的一些主要國(guó)家和大型研發(fā)公司,都建立有半實(shí)物射頻仿真實(shí)驗(yàn)室。例如英國(guó)的馬可尼公司、美國(guó)的埃格林空軍基地導(dǎo)彈仿真實(shí)驗(yàn)室、陸軍高級(jí)仿真中心等。我國(guó)也在相關(guān)科研院所建立了半實(shí)物射頻仿真實(shí)驗(yàn)室。半實(shí)物射頻仿真微波暗室中,多個(gè)輻射天線單元整齊排列,構(gòu)成天線陣列墻。微波暗室的另一端是一轉(zhuǎn)臺(tái),可以將待測(cè)雷達(dá)導(dǎo)引頭系統(tǒng)置于其上。為了仿真某一方向過(guò)來(lái)的點(diǎn)目標(biāo)回波,可以使用在方向上包圍該點(diǎn)目標(biāo)的相鄰的3個(gè)輻射單元。這3個(gè)輻射單元構(gòu)成了一個(gè)三元組。通過(guò)調(diào)整三元組中每個(gè)輻射單元的饋電幅度,可以模擬該點(diǎn)目標(biāo)在三元組構(gòu)成的三角形內(nèi)不同方向的回波,從而可以快速地仿真點(diǎn)目標(biāo)在運(yùn)動(dòng)軌跡上每個(gè)位置處的散射回波。三元組仿真的目標(biāo)方位位置可以由重心公式給出。

對(duì)于半實(shí)物射頻仿真,相關(guān)的研究文獻(xiàn)目前主要關(guān)注以下幾個(gè)方面:仿真誤差分析,近場(chǎng)誤差與近場(chǎng)修正,仿真對(duì)象的擴(kuò)展,仿真誤差的抑制等。例如,文獻(xiàn)[4]研究了仿真的實(shí)時(shí)控制技術(shù),文獻(xiàn)[5]研究了寬帶雷達(dá)的射頻仿真問(wèn)題。由于器件以及模型的非理想性,射頻仿真不可避免地存在誤差。文獻(xiàn)[7]使用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)射頻仿真系統(tǒng)的誤差以及可靠性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[8-9]建立了射頻仿真誤差模型。文獻(xiàn)[10-11]研究了近場(chǎng)效應(yīng)、近場(chǎng)誤差的產(chǎn)生以及近場(chǎng)修正算法。文獻(xiàn)[12]研究了對(duì)多個(gè)散射中心進(jìn)行半實(shí)物射頻仿真的問(wèn)題和誤差分析。文獻(xiàn)[13]提出使用分集的方法來(lái)抑制仿真誤差。文獻(xiàn)[14-15]研究了幅度相位誤差對(duì)仿真誤差的影響。文獻(xiàn)[16]研究了天線方向圖、轉(zhuǎn)臺(tái)誤差等對(duì)仿真誤差的影響。文獻(xiàn)[17]從不同象限的天線接收信號(hào)強(qiáng)度著手對(duì)三元組近場(chǎng)誤差進(jìn)行了修正。文獻(xiàn)[18]研究了耦合對(duì)半實(shí)物射頻仿真角度誤差的影響。文獻(xiàn)[19]研究了近場(chǎng)效應(yīng)對(duì)仿真精度的影響。文獻(xiàn)[20]給出了比幅單脈沖導(dǎo)引頭仿真的近場(chǎng)修正表格。上述對(duì)半實(shí)物射頻仿真誤差的研究多從方位角誤差和俯仰角誤差分別進(jìn)行研究,而沒(méi)有考慮到這兩個(gè)不同角度域上誤差的相關(guān)性;或僅考慮二維角度誤差幅值的均方根,而沒(méi)有考慮角度誤差的方向性分布。

隨著雷達(dá)技術(shù)的精進(jìn),對(duì)其半實(shí)物射頻仿真誤差的評(píng)估需要更精確地進(jìn)行。仿真角度誤差是評(píng)估半實(shí)物射頻仿真系統(tǒng)的一個(gè)重要指標(biāo)。因此,為了對(duì)仿真角度誤差進(jìn)行更精確地描述,需要對(duì)其在二維角度域上的聯(lián)合概率密度函數(shù)(probability density function, PDF)進(jìn)行研究。

因此,本文將從常見(jiàn)的饋電幅度誤差著手,研究其導(dǎo)致的仿真角度誤差在二維角度域上的聯(lián)合PDF分布。

1 三元組仿真的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系

半實(shí)物射頻仿真通過(guò)3個(gè)相鄰的構(gòu)成正三角形的3個(gè)輻射單元,按照一定的幅度比例對(duì)3個(gè)單元進(jìn)行饋電,其在空間中疊加生成的總的輻射場(chǎng)在轉(zhuǎn)臺(tái)處的能流密度或相位梯度沿著真實(shí)點(diǎn)目標(biāo)的視線方向,從而仿真該點(diǎn)目標(biāo)的散射回波。為了研究方便,建立如下坐標(biāo)系:以轉(zhuǎn)臺(tái)位置處為坐標(biāo)原點(diǎn),轉(zhuǎn)臺(tái)與三元組的中心點(diǎn)的連線為軸,三元組的底邊與軸平行,三元組所在平面平行于面。

圖1 三元組仿真數(shù)學(xué)坐標(biāo)系Fig.1 Coordinates system of three-unit-array simulation

三元組3個(gè)單元的坐標(biāo)為(,,),=1,2,3,在球坐標(biāo)系下表示為(,,),=1,2,3。將直角坐標(biāo)(,,)對(duì)距離歸一化,得

(1)

(2)

同樣,可得目標(biāo)的關(guān)于距離歸一化的直角坐標(biāo)為

=sincos

(3)

=sinsin

(4)

=cos?1

(5)

則可定義目標(biāo)在和方向(也即和方向)的角位置分別為

(6)

(7)

(8)

(9)

式中:(=1,2,3)為3個(gè)輻射單元的饋電系數(shù),為實(shí)數(shù)。已假定各單元初始相位調(diào)整為同相。由重心公式,通過(guò)常規(guī)的矩陣求逆即得饋電系數(shù)關(guān)于單元位置和仿真點(diǎn)位置的表達(dá):

(10)

(11)

(12)

2 仿真誤差的二維聯(lián)合PDF

在進(jìn)行半實(shí)物射頻仿真時(shí),由于器件性能和噪聲的限制,各單元的饋電幅度不可能絕對(duì)精確,而是會(huì)存在一定誤差,即、、存在誤差。該幅度誤差將會(huì)導(dǎo)致仿真給出的目標(biāo)位置產(chǎn)生誤差。若、、的誤差記作Δ、Δ、Δ,則通過(guò)常規(guī)的偏微分運(yùn)算可由式(8)得到方向上的仿真誤差為

(13)

式中:

(14)

同理:

(15)

(16)

將式(14)～式(16)代入式(13),得

(17)

同理可得方向仿真誤差為

(18)

由于Δ為饋電幅度誤差隨機(jī)變量,因而Δ和Δ也為誤差隨機(jī)變量，則ΔΔ的均值為

(19)

(20)

即

(21)

將式(21)代入式(19),得

(22)

另外,和方向上的仿真角度誤差方差為

(23)

(24)

則可由式(22)～式(24)得Δ和Δ的相關(guān)系數(shù)為

(25)

從而Δ和Δ的聯(lián)合PDF可以表示為

(26)

二維聯(lián)合PDF的對(duì)稱軸相對(duì)于軸的偏移角為

(27)

這表明,相關(guān)性的存在將會(huì)導(dǎo)致二維PDF的分布產(chǎn)生傾斜。

可以用長(zhǎng)短軸之比

(28)

來(lái)表達(dá)仿真角度誤差在方向上差異性的大小,以定量評(píng)估在航跡方向以及垂直航跡方向的角度誤差之比的極值。

3 相關(guān)性與方差分析

首先討論一個(gè)特殊的待仿真點(diǎn)目標(biāo)位置,即點(diǎn)目標(biāo)處于三元組三角形中心的情況。此時(shí)==0,代入式(25)得

(29)

對(duì)于中心點(diǎn)目標(biāo),由于==,則式(29)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(30)

將圖1中給出的三元組各單元坐標(biāo)代入可得=0。這表明,中心點(diǎn)處的仿真角度誤差在和兩個(gè)方向上不存在相關(guān)性。事實(shí)上,不論對(duì)圖1所示坐標(biāo)系如何旋轉(zhuǎn)和平移,該結(jié)論都是成立的。這可由式(25)出發(fā)來(lái)獲得證明。由于(,)為三元組的中心點(diǎn),因而可以記:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

另外,可將式(31)～式(36)以及==代入式(23)和式(24),得

(38)

(39)

因而,在三元組中心點(diǎn)處,任意兩個(gè)正交方向上的仿真角度誤差皆不相關(guān),且方差相等。

下面再對(duì)三元組內(nèi)部對(duì)稱軸上的點(diǎn)目標(biāo)仿真角度誤差進(jìn)行分析。若點(diǎn)目標(biāo)處于過(guò)單元1的對(duì)稱軸(軸)上,則此時(shí)==0,-=-(-),-=-,=,代入式(23)～式(25),得

(40)

(41)

(42)

若點(diǎn)目標(biāo)處于過(guò)單元2或單元3的對(duì)稱軸上,則此時(shí)=或=,代入式(25),可知一般不為零。

以上為三元組內(nèi)部點(diǎn)目標(biāo)的仿真角度誤差情況。對(duì)于處于三元組3條邊上的點(diǎn)目標(biāo),其仿真角度誤差PDF分布將退化成一維的情況。此時(shí),仿真角度誤差的PDF為沿著點(diǎn)目標(biāo)所在三元組的邊的分布函數(shù),即聯(lián)合PDF由面分布退化成了線分布。此時(shí),由于仿真角度誤差沿著一條確定的直線分布,因而Δ和Δ之間存在一個(gè)確定的線性關(guān)系。記:

Δ=Δ

(43)

4 數(shù)值結(jié)果

下面對(duì)上述解析分析結(jié)果作數(shù)值仿真計(jì)算。仿真所用坐標(biāo)系亦如圖1所示。三元組邊長(zhǎng)張角為=36 mrad,幅度相對(duì)誤差的均方根為=002。針對(duì)(,)取值依次為(0003,0001 7)、(-0003,0001 7)、(0,-0003 5)、(0,0006 9)、(-0006,-0003 5)、(0006,-0003 5)、(0006,0003 5)、(-0006,0003 5)、(0,-0006 9)、(0,0013 9)、(-0012,-0006 9)、(0012,-0006 9)的12個(gè)待仿真點(diǎn)目標(biāo)位置進(jìn)行二維仿真角度誤差聯(lián)合PDF計(jì)算。這12個(gè)位置如圖2所示。這12個(gè)位置實(shí)際上處于尺寸為三元組1/3和2/3的兩個(gè)正三角形上,且處于三元組的3個(gè)對(duì)稱軸上。圖3給出了第8個(gè)位置處仿真角度誤差的聯(lián)合PDF三維圖?？梢钥吹?聯(lián)合PDF的對(duì)稱軸相對(duì)于軸產(chǎn)生了傾斜。為了更好地觀察仿真誤差聯(lián)合PDF的分布,圖4給出了等值線圖。圖4(a)～圖4(l)分別依次給出了目標(biāo)所在位置為第1～12處的仿真誤差聯(lián)合PDF的等值線分布?？梢钥吹?位置1、2、5、6、7、8、11、12處的PDF產(chǎn)生了傾斜,其等概率密度線橢圓的對(duì)稱軸偏離了軸;而位置3、4、9、10處并沒(méi)有產(chǎn)生傾斜。注意到,位置3、4、9、10正處于三元組的對(duì)稱軸軸上,而此處相關(guān)系數(shù)為零。另外,2、5、8、11向著同一側(cè)傾斜,1、6、7、12向著同一側(cè)傾斜。這是因?yàn)檩S右側(cè)的區(qū)域相關(guān)系數(shù)為負(fù),而左側(cè)區(qū)域的相關(guān)系數(shù)為正。對(duì)比1、2、5、6和7、8、11、12可以看到,越偏離軸,橢圓越扁。

圖2 仿真目標(biāo)位置示意圖Fig.2 Locations schematic diagram of the simulated targets

圖3 目標(biāo)位置8處仿真誤差PDFFig.3 PDF of simulation error at location 8

圖4 二維誤差聯(lián)合PDF分布圖Fig.4 Two-dimensional error joint PDF distribution

雖然在推導(dǎo)誤差二維分布函數(shù)的過(guò)程中設(shè)立了具體的坐標(biāo)系,然而在幅度重心公式的研究框架下,誤差二維分布函數(shù)在三元組中的分布圖與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。仔細(xì)觀察圖4,這12個(gè)點(diǎn)的誤差分布圖正如其在三元組中的位置一樣,具有120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,這與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。

為了更全面地考察整個(gè)三元組內(nèi)部各點(diǎn)處的仿真誤差PDF的特點(diǎn),圖5給出了三元組內(nèi)部各點(diǎn)處的和兩個(gè)方向上的仿真角度誤差的相關(guān)系數(shù)分布。圖5(a)給出了三維圖,圖5(b)給出了等值線圖。由圖5可以看到,相關(guān)系數(shù)在軸上為零,由軸向兩側(cè)的兩條邊,相關(guān)性逐漸增大。向右側(cè)邊是負(fù)相關(guān)增強(qiáng),向左側(cè)邊是正相關(guān)增強(qiáng)。相關(guān)系數(shù)的分布是隨坐標(biāo)系的選取而變化的,因而此處結(jié)果僅針對(duì)本文坐標(biāo)系。

圖5 相關(guān)系數(shù)分布Fig.5 Correlation coefficient distribution

5 結(jié) 論

本文通過(guò)解析分析和數(shù)值計(jì)算,給出了半實(shí)物射頻仿真的仿真角度誤差的聯(lián)合概率密度分布。在三元組的3條中線上誤差橢圓的長(zhǎng)短軸分別平行于三元組的中線與其對(duì)應(yīng)邊。三元組外,在三元組中線延長(zhǎng)線上的誤差橢圓分布也有相同的規(guī)律。通過(guò)對(duì)其有關(guān)參數(shù)——相關(guān)系數(shù)和方差進(jìn)行研究,給出了其分布特點(diǎn)。在三元組中心點(diǎn)處,任意兩個(gè)正交的方向上其仿真角度誤差不相關(guān),且任意兩個(gè)正交方向上的誤差方差相等,其聯(lián)合PDF的等值線分布圖是一系列的同心圓。當(dāng)某個(gè)坐標(biāo)軸為三元組的某個(gè)對(duì)稱軸而另一坐標(biāo)軸與三元組一邊平行時(shí),在該對(duì)稱軸上的各點(diǎn)處,兩個(gè)坐標(biāo)方向上的仿真角度誤差不相關(guān)。且由該對(duì)稱軸分別向兩側(cè),即兩個(gè)坐標(biāo)方向上的仿真角度誤差的相關(guān)性越來(lái)越強(qiáng)。在該對(duì)稱軸的兩側(cè),聯(lián)合PDF的等值線橢圓產(chǎn)生傾斜,且離開(kāi)該對(duì)稱軸越遠(yuǎn),橢圓越扁,直到在左右兩個(gè)側(cè)邊上收縮成一條線。