一類(lèi)非線性擬周期系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的有效約化性

朱春鵬

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 徐州 221111)

此時(shí),‖Q1Q2‖ρ≤‖Q1‖ρ‖Q2‖ρ.Q的平均記為[Q]=([qij])1≤i,j≤n.若Q是常數(shù)矩陣,記‖Q‖=‖Q‖ρ.

在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上,論文考慮更一般的情況，即出現(xiàn)重特征值的情況.

1 主要結(jié)論

定理考慮擬周期非線性系統(tǒng)

(1)

假設(shè)A=diag(λ1Ir1,λ2Ir2,…,λlIrl)，其中Id是d階單位矩陣,r1+r2+…+rl=n,λi≠0,1≤i≤l，i≠j時(shí),λi≠λj. 假設(shè)Q(t,ε),g(t,ε),h(x,t,ε)在Dρ上解析擬周期,頻率是ω=(ω1,ω2,…,ωr)，關(guān)于ε解析.假設(shè)h(x,t,ε)在Ba(0)上關(guān)于x解析，h(0,t,ε)=0，Dxh(0,t,ε)=0， 其中Ba(0)是半徑為a、中心在原點(diǎn)的球.

假設(shè)1(非共振條件)λ=(λ1,λ2,…,λn)和ω=(ω1,ω2,…,ωr) 滿足

(2)

(3)

其中：k∈Zr(〗0},τ>r-1,α>0是一個(gè)小常數(shù).

(4)

其中：j≠j′,i=1,2,…,l, |ε|≤ε0,ζ是常數(shù).

假設(shè)3‖Q(t,ε)‖≤q,‖g(t,ε)‖≤q|ε|，?|ε|≤ε0，q>0是常數(shù).

假設(shè)4‖Dxxh(x,t,ε)‖≤K, 其中x∈Ba(0)，|ε|≤ε0.

則存在一個(gè)擬周期變換x=φ(t,ε)y+ψ(t,ε)，其中φ(t,ε)和ψ(t,ε)在Dρ上解析擬周期, 頻率為ω，對(duì)于所有的|ε|≤ε0,使得 (1) 變?yōu)閿M周期系統(tǒng)

在開(kāi)展施工安裝及施工后的模板拆除工作前，要讓工作人員參與安全技術(shù)交底中，申明施工操作中的各種規(guī)范，如要求工人持證件上崗，高空作業(yè)時(shí)做好安全措施，在危險(xiǎn)區(qū)域設(shè)置安全標(biāo)示等。

(5)

此外， 有以下結(jié)論成立：

(1)A*(ε)是常數(shù)矩陣,滿足‖A*-A‖≤c1ε，其中c1>0是常數(shù).

(2)R*(t,ε),g*(t,ε),h∞(y,t,ε)=O(y2)在Dρ上解析擬周期，頻率為ω，并且

‖R*‖ρ-δ‖g*‖ρ-δ≤c2exp(-M(ε)δ)，

注一般來(lái)說(shuō),Q(t,ε),g(t,ε),h(x,t,ε)依賴于ε. 為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，有時(shí)省略其中的參數(shù)ε.

2 定理的證明

論文重特征值的情況主要影響文獻(xiàn)[9]中的第一步KAM迭代.先給出第一步KAM迭代，之后的KAM迭代變?yōu)椴煌卣髦档那樾?，完全?lèi)似文獻(xiàn)[9].

(6)

(7)

其中：

如果

(8)

(9)

做變換y=(I+εP0)x1,則方程(9)變?yōu)?/p>

(10)

其中：

見(jiàn)文獻(xiàn)[9].

此時(shí)，需要解變換

(11)

由定理的假設(shè)2，即A1的特征值互不相同，知存在可逆矩陣S, 使得

(12)

(13)

對(duì)于系統(tǒng)(10)，A1的特征值互不相同.每一步KAM迭代中的Ad,d∈，它們分別都有不同的特征值.由文獻(xiàn)[9]中的(4.15) 和(4.24)，得到‖Am+1-Am‖≤|ε|β2m,其中β>0是一個(gè)充分小的常數(shù)，證明完全類(lèi)似文獻(xiàn)[9]，此略.