豎向荷載作用下飄浮體系斜拉橋極限承載能力與失效模式分析

呂文高，何 政

(1. 貴州民族大學(xué)建筑工程學(xué)院，貴州，貴陽 550025；2. 大連理工大學(xué)土木工程學(xué)院，遼寧，大連 116024)

大跨斜拉橋以其卓越的跨越能力、優(yōu)美的外觀造型等特點在我國得到廣泛的應(yīng)用[1-2]，進(jìn)而成為國家重大基礎(chǔ)設(shè)施(如高速公路及鐵路等)的關(guān)鍵節(jié)點。近年來，全球范圍內(nèi)極端災(zāi)害頻發(fā)，嚴(yán)重威脅處于重要交通樞紐位置上的大跨斜拉橋的運營，關(guān)于大跨度斜拉橋損傷與失效機(jī)制的基礎(chǔ)研究已成為我國經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的迫切需求。極端作用下的結(jié)構(gòu)往往出現(xiàn)諸如塑性變形、漸進(jìn)破壞、整體失穩(wěn)，直至倒塌等大變形、大位移過程。斜拉橋結(jié)構(gòu)的大位移和局部大應(yīng)變是結(jié)構(gòu)失效破壞的重要原因之一，其性態(tài)往往表現(xiàn)為較強(qiáng)的幾何非線性和材料非線性效應(yīng)。目前尚缺少成熟有效的分析理論和方法，因此，開展大跨度斜拉橋的塑性失效機(jī)理研究是非常必要的，同時也是亟待解決的關(guān)鍵問題。

目前，結(jié)構(gòu)的損傷倒塌機(jī)理研究主要集中在建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域[3-4]，橋梁結(jié)構(gòu)特別是斜拉橋的損傷失效機(jī)制研究卻相對較少。同時，橋梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量主要沿橋跨分布導(dǎo)致其可能的倒塌機(jī)制與建筑結(jié)構(gòu)是不同的[5]。結(jié)構(gòu)的損傷倒塌分析方法主要包括有限元法和塑性極限分析法。首先，有限元法方面主要是通過彈塑性分析得到斜拉橋的倒塌荷載[6-7]及其構(gòu)件的損傷失效情況。然而，有限元法要不斷的生成整體剛度矩陣并通過迭代求解非線性方程組[8]來獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，求解費事費力[9]且收斂性問題也比較突出。在拱橋破壞的有限元分析方面，黃盛楠等[10]采用MSC.Marc 有限元軟件進(jìn)行了因超載導(dǎo)致的鋼筋混凝土連續(xù)倒塌過程分析，并用構(gòu)件重要性評價方法驗證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性；彭衛(wèi)兵等[11]基于OpenSEES 平臺的實體單元建模進(jìn)行了圬工拱橋的內(nèi)力分析和漸進(jìn)式倒塌過程模擬，結(jié)果表明：兩者的預(yù)測結(jié)果一致。在斜拉橋損傷破壞的有限元分析方面，林楷奇等[12]結(jié)合OpenSEES 和MSC.Marc 有限元軟件建立了主跨1500 m 的特大跨斜拉橋有限元模型，進(jìn)而實現(xiàn)了地震災(zāi)變及倒塌全過程的模擬，驗證了開發(fā)的計算單元和模型的可行性與正確性；宗周紅等[13-14]通過LS-DYNA 有限元軟件建立了大跨度斜拉橋顯式積分有限元模型，探究強(qiáng)震作用下大跨度斜拉橋的倒塌破壞模式。其次，塑性極限分析法方面則是基于極限分析的運動學(xué)原理研究斜拉橋的失效荷載及破壞模式。該方法由Kazinczy[15]在研究梁的極限載荷時提出，可直接建立結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)與極限載荷之間的關(guān)系，無需結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣及完整的載荷歷史，并結(jié)合優(yōu)化方法獲得結(jié)構(gòu)的極限承載力與相應(yīng)的失效模式。Jirásek 和Bazant[16]通過其專著對塑性極限分析法在各建筑結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用進(jìn)行了系統(tǒng)、全面的梳理與總結(jié)，為該方法在其他類型結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用提供了便利。目前，塑性極限分析法主要用于框架結(jié)構(gòu)[17-18]、梁和柱[19]及砌體石拱橋結(jié)構(gòu)[20-23]的極限承載力計算中，如Brandonisio 等[24]結(jié)合該方法和試驗分析研究了砌體門式平面框架的水平抗震能力，可揭示結(jié)構(gòu)倒塌破壞的基本行為，是簡單快速評估結(jié)構(gòu)抗倒塌能力的一種方法。Brandonisio等[25]通過該方法評估了砌體圓形支承拱的倒塌荷載和塑性鉸位置，證明是一個簡單可靠的初步分析工具且數(shù)值實現(xiàn)容易。Da 等[26]基于該方法計算了誘發(fā)單跨及多跨鐵路石拱橋產(chǎn)生縱向和橫向倒塌的極限水平加速度，表明塑性極限分析法可用于石拱橋的地震安全初步評估和橋梁的維護(hù)管理。近年來，結(jié)合各種優(yōu)化方法的塑性極限分析法被應(yīng)用于較為復(fù)雜框架結(jié)構(gòu)的承載力及倒塌機(jī)制分析中[18,27-29]，這進(jìn)一步擴(kuò)展了該方法的應(yīng)用范圍。然而，塑性極限分析法在橋梁結(jié)構(gòu)特別是斜拉橋結(jié)構(gòu)中應(yīng)用很少，僅Yan 等[30-31]提出采用該方法研究了支承體系斜拉橋的倒塌荷載，并在此基礎(chǔ)上分析其易損性，但文中未詳細(xì)闡述或證明該方法在斜拉橋結(jié)構(gòu)中的適用性，也未對飄浮體系、控制體系斜拉橋等做進(jìn)一步研究。拉索銹蝕是斜拉橋運營中的主要危害之一，有些剛建成不久就換索(如德國漢堡的Kohlbrand Estuary 橋)；有些則因銹蝕斷索事故造成了嚴(yán)重的社會影響，且花費了巨資更換拉索(如廣州海印大橋)。因此，對于運營中的斜拉橋而言，拉索銹蝕作為突出的問題，是結(jié)構(gòu)性能退化及影響安全服役的重要因素。嚴(yán)重的拉索銹蝕不僅影響其本身的極限強(qiáng)度、伸長率及疲勞強(qiáng)度[32]，還會明顯改變斜拉橋結(jié)構(gòu)的整體剛度、變形及承載力[33]，甚至改變失效模式[34-36]、增加結(jié)構(gòu)的失效風(fēng)險。由于拉索銹蝕的局部性，目前除了有限元法外，還未有其他有效分析方法能考慮拉索銹蝕對整個斜拉橋結(jié)構(gòu)失效行為的影響。綜上所述，塑性極限分析法在大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)失效機(jī)理的研究中還未得到廣泛應(yīng)用。

結(jié)合塑性極限分析方法的原理與優(yōu)點，本文在文獻(xiàn)[30]研究的基礎(chǔ)上嘗試將其應(yīng)用于豎向荷載作用下漂浮體系斜拉橋的極限承載力和失效模式的研究中，進(jìn)而分析部分拉索銹蝕對整個斜拉橋結(jié)構(gòu)失效行為的影響，完善服役斜拉橋安全評估的理論與方法，為斜拉橋結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計及其控制措施制定提供重要參考。主要研究內(nèi)容如下：① 計算斜拉橋極限承載力(塑性倒塌荷載)；② 識別斜拉橋的失效模式；③ 分析構(gòu)件損傷(如拉索和主梁)與倒塌載荷及失效模式之間的關(guān)聯(lián)性；④ 分析拉索銹蝕對斜拉橋極限承載力及失效模式的影響。

1 斜拉橋塑性極限分析理論

1.1 基本假定

研究所采用假定如下：① 材料采用理想剛塑性模型；② 采用小變形假定，因此變形前后的平衡方程都參照初始構(gòu)型構(gòu)建，應(yīng)變-位移之間的幾何關(guān)系是線性的；③ 由于拉索對主梁的足夠支承，因此可假定密索體系斜拉橋在達(dá)到極限荷載以前不會出現(xiàn)屈曲失效；④ 假定結(jié)構(gòu)倒塌為穩(wěn)態(tài)過程，可不考慮慣性效應(yīng)；⑤ 外荷載同比例增加，符合簡單加載條件；⑥ 假定基本破壞機(jī)構(gòu)范圍內(nèi)所包含的全部拉索都達(dá)到屈服。

1.2 塑性倒塌荷載定義

設(shè)軸向屈服構(gòu)件的屈服內(nèi)力為F，彎曲屈服構(gòu)件的塑性彎矩為M，則所有屈服構(gòu)件的塑性耗散功率為[37]：

1.3 斜拉橋破壞機(jī)構(gòu)

若結(jié)構(gòu)為r次超靜定結(jié)構(gòu)，且由于塑性極限分析中極限載荷系數(shù)λ 也是待定的，因此，在斜拉橋結(jié)構(gòu)倒塌瞬時共有r+1 個多余未知量。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)知識可知，r次超靜定結(jié)構(gòu)要想變成破壞機(jī)構(gòu)，至少需要r+1 個截面或構(gòu)件屈服才能使其成為有1 個自由度的機(jī)構(gòu)。因此，若要唯一確定結(jié)構(gòu)破壞時的內(nèi)力，必須在靜力平衡方程之外，再增加r+1 個條件。r+1 個構(gòu)件或截面屈服時的內(nèi)力值已知，這等于在靜力平衡方程之外增加了r+1 個已知條件，此時，結(jié)構(gòu)倒塌破壞時所有的內(nèi)力和載荷參數(shù)都可以完全確定，因此，其破壞機(jī)構(gòu)為完全破壞機(jī)構(gòu)。若在斜拉橋結(jié)構(gòu)內(nèi)部屈服構(gòu)件或截面數(shù)少于r+1，此時雖然不會產(chǎn)生完全破壞機(jī)構(gòu)，但也能使結(jié)構(gòu)局部成為破壞機(jī)構(gòu)，為不完全破壞機(jī)構(gòu)。對于不完全破壞機(jī)構(gòu)，其載荷系數(shù)及內(nèi)力是唯一確定的，但未變成機(jī)構(gòu)的部分則是不能唯一確定的。由于，塑性極限分析過程中不可能要求結(jié)構(gòu)的全部內(nèi)力都能唯一確定，因此，完全破壞機(jī)構(gòu)和不完全破壞機(jī)構(gòu)都是允許的。對于斜拉橋破壞機(jī)構(gòu)而言，r+1 個截面屈服包括屈服拉索和主梁的若干個塑性鉸。由于結(jié)構(gòu)的破壞機(jī)構(gòu)往往有很多個，不可能全部進(jìn)行分析，為此，只需要找出基本機(jī)構(gòu)并通過其組合成為能包含所有破壞機(jī)構(gòu)的情況即可。具體證明如下[38]：

由于結(jié)構(gòu)的各基本機(jī)構(gòu)是線性獨立的，因此任何破壞機(jī)構(gòu)都可由基本機(jī)構(gòu)組合而成。設(shè)結(jié)構(gòu)最終的失效機(jī)構(gòu)場與各基本機(jī)構(gòu)之間的幾何關(guān)系可表示為：

式中：Fyi為第i個屈服構(gòu)件的軸力；Mpi為彎曲屈

式(12)表明結(jié)構(gòu)最終的破壞機(jī)構(gòu)可由各基本破壞機(jī)構(gòu)的線性疊加而成，這正是本文基于塑性極限分析法研究斜拉橋豎向荷載作用下極限承載力和失效模式的依據(jù)。同時，根據(jù)式(8)和式(12)可得，對于任意一個可能破壞機(jī)構(gòu)相應(yīng)的Fyi和Mpi，滿足式(12)的破壞機(jī)構(gòu)必為真實的破壞機(jī)構(gòu)。一般對于具體的結(jié)構(gòu)和荷載而言，其獨立的基本破壞機(jī)構(gòu)往往是較少且易識別的。上述證明可得，斜拉橋的破壞機(jī)構(gòu)都可由基本破壞機(jī)構(gòu)組合疊加而成，因此，在斜拉橋具體的失效機(jī)理分析過程中，首先，可基于基本破壞機(jī)構(gòu)組合表示出倒塌破壞機(jī)構(gòu)，然后，依據(jù)最小能量原理并借助優(yōu)化方法識別出最小倒塌載荷系數(shù)λu及其對應(yīng)的失效模式，即為斜拉橋結(jié)構(gòu)真實的極限承載力及倒塌失效模式。

首先，飄浮體系斜拉橋的恒載及車輛荷載主要通過拉索傳遞給索塔，因此，相比于支承體系，飄浮體系斜拉橋拉索受力更為不利；其次，飄浮體系斜拉橋拉索長期處于較高應(yīng)力狀態(tài)下，導(dǎo)致其在惡劣環(huán)境中更易腐蝕受損；再者，相比于支承體系，飄浮體系的超靜定次數(shù)相對較低，冗余度較低，極端荷載作用下發(fā)生破壞的風(fēng)險較大；最后，跨徑大、密索體系或在地震地區(qū)修建的斜拉橋一般可選飄浮體系斜拉橋。為此，本文關(guān)于斜拉橋結(jié)構(gòu)失效機(jī)理的探討主要集中于飄浮體系。

飄浮體系斜拉橋的上部結(jié)構(gòu)主要由斜拉索、主梁及索塔組成，斜拉索將索塔和主梁連接起來，索塔和主梁之間未直接有連接構(gòu)件，可認(rèn)為索塔和主梁是相對獨立的構(gòu)件。由于拉索的柔性支承作用，主梁相當(dāng)于多跨連續(xù)梁，索塔相當(dāng)于懸臂梁，主梁-拉索和索塔-拉索可分別形成各自的破壞機(jī)構(gòu)，即為斜拉橋的基本破壞機(jī)構(gòu)，也可稱為梁-拉索型破壞機(jī)構(gòu)。斜拉橋的橋墩與主梁之間通常為滑動鉸支座連接，在考慮橋墩的情況下，豎向荷載作用下塑性鉸仍然集中于主梁上，因此，可通過墩-梁-拉索型基本機(jī)構(gòu)考慮橋墩對極限承載力和失效模式的影響?？蚣芙Y(jié)構(gòu)的基本破壞機(jī)構(gòu)主要包括三種，分別為梁型基本機(jī)構(gòu)、層間側(cè)移型基本機(jī)構(gòu)和節(jié)點型基本機(jī)構(gòu)(如圖1 所示)。為此，類比框架結(jié)構(gòu)并結(jié)合基本假定，可認(rèn)為飄浮體系斜拉橋在豎向荷載作用下的基本破壞機(jī)構(gòu)主要包括簡支梁-拉索型基本機(jī)構(gòu)、懸臂梁-拉索型基本機(jī)構(gòu)和墩-梁-拉索型基本機(jī)構(gòu)(如圖2 所示)，斜拉橋所有的破壞機(jī)構(gòu)都可以通過上述基本機(jī)構(gòu)的組合疊加而成[39-40]。

圖1 框架結(jié)構(gòu)的基本機(jī)構(gòu)[39]Fig. 1 Typical elementary mechanisms of frame structures[39]

圖2 斜拉橋梁-拉索型基本機(jī)構(gòu)Fig. 2 Elementary mechanisms of cable-stayed bridges with floating systems

1.4 斜拉橋塑性倒塌荷載

根據(jù)斜拉橋結(jié)構(gòu)的受力特點(如圖3 所示)，索塔只要出現(xiàn)1 個塑性鉸就可形成不完全破壞機(jī)構(gòu)，而主梁則需要多個塑性鉸才能形成破壞機(jī)構(gòu)。

圖3 斜拉橋荷載傳遞特點Fig. 3 Load transfer characteristics of cable-stayed bridges

圖4 表明飄浮體系斜拉橋索塔處主梁截面為最大軸力處，且有一定的彎矩，因此，根據(jù)壓彎構(gòu)件的N-M破壞曲線可知，該處截面最易因小偏心受壓破壞而形成塑性鉸。然而，主梁若要形成不完全破壞機(jī)構(gòu)，需至少形成3 個塑性鉸。盡管索塔根部截面的軸力及彎矩等內(nèi)力都比較大，但由于截面尺寸較大，因此，其塑性鉸不一定出現(xiàn)在根部。索塔上部由于兩側(cè)拉索的支承作用，塑性鉸一般也不會出現(xiàn)在此位置。由此可知，單塔飄浮體系斜拉橋(不考慮橋墩影響)的塑性鉸位置可假定為：索塔處主梁截面、左跨度內(nèi)某處及右跨度內(nèi)某處，索塔的塑性鉸位于索塔最內(nèi)側(cè)拉索與索塔根部之間某處。根據(jù)前面關(guān)于塑性鉸位置和基本破壞機(jī)構(gòu)的描述，單塔飄浮體系斜拉橋的組合破壞機(jī)構(gòu)(這里未考慮橋墩的影響)如圖5 所示，需要注意的是各基本破壞機(jī)構(gòu)內(nèi)的拉索全部為屈服狀態(tài)。由于，斜拉索為僅受拉構(gòu)件，為此，在計算屈服構(gòu)件的塑性耗能功率時，拉索的軸向虛位移率必為正值，此條件在優(yōu)化計算結(jié)構(gòu)倒塌荷載及識別倒塌模式時轉(zhuǎn)變?yōu)槟繕?biāo)函數(shù)的約束條件。具體描述如下：

圖4 斜拉橋主梁軸力分布(Ng(x)為主梁x 處軸力，Ng, max 為主梁最大軸力)Fig. 4 Distribution of axial force of girder in cable-stayed bridges (Ng(x) is axial force of girder with position x and Ng, max is the maximum axial force of girder)

圖5 飄浮體系單塔斜拉橋倒塌失效機(jī)構(gòu)Fig. 5 Collapse mechanism of cable-stayed bridges with floating systems

1)塑性耗散功率

根據(jù)假定，斜拉橋塑性倒塌時塑性耗散功率可表示為：

因此有：

4)基于線性規(guī)劃的失效模式優(yōu)化識別

單純形法是線性規(guī)劃中應(yīng)用最廣泛的經(jīng)典優(yōu)化方法，但隨著目標(biāo)問題約束條件的增加，該方法的迭代次數(shù)也迅速增加，甚至導(dǎo)致收斂困難，于是新的優(yōu)化方法-內(nèi)點法開始被廣泛應(yīng)用。內(nèi)點法的基本思想是從可行域內(nèi)部的一個初始點(如圖6的x0點)出發(fā)，沿著能使目標(biāo)函數(shù)下降最快的方向找到新內(nèi)點(如圖6 的x1點)，再從這個新內(nèi)點出發(fā)，沿著可行方向不斷迭代求出后續(xù)內(nèi)點，直至獲得最優(yōu)解如(如圖6 所示)。相比較而言，單純形法需要搜尋大部分甚至所有可行域的頂點才能收斂(如圖6 所示)，而內(nèi)點法是在可行域內(nèi)部尋優(yōu)，迭代次數(shù)因約束條件的增加而變化的比較少，其計算速度和收斂性均優(yōu)于單純形法，且對問題規(guī)模不敏感，適用于大系統(tǒng)的優(yōu)化。因此，對于大規(guī)模優(yōu)化問題，內(nèi)點法要優(yōu)于單純形法。

圖6 單純形法與內(nèi)點法尋優(yōu)路徑[41]Fig. 6 Optimization path of simplex method and interior point method[41]

內(nèi)點法基本原理如下：內(nèi)點法是從可行域內(nèi)部的某個可行點出發(fā)，不斷迭代尋找最優(yōu)解。優(yōu)化過程中，新內(nèi)點要始終在可行域內(nèi)，為防止其越過邊界，可在約束邊界內(nèi)設(shè)置障礙，即構(gòu)造罰函數(shù)(當(dāng)新內(nèi)點遠(yuǎn)離邊界時，懲罰值很小的，反之則迅速增大懲罰值)。約束邊界設(shè)置障礙尤如在邊界上修筑了一道墻根圓滑的高墻，使新內(nèi)點始終落在可行域內(nèi)，故將該方法稱為“內(nèi)點法”或“障礙法”。根據(jù)其基本原理[42-43]及本文研究的具體問題，目標(biāo)函數(shù)及約束條件表示如下：

上述優(yōu)化問題可利用內(nèi)點法(interior point method)求解，首先構(gòu)造罰函數(shù)形式為：

由式(18)～式(19)可知，斜拉橋結(jié)構(gòu)的極限載荷計算和失效模式識別包含兩組參數(shù)：其一是破壞機(jī)構(gòu)場中拉索、主梁及索塔塑性鉸的各虛位移率參數(shù)，如e˙ci、 θ˙g1、 θ˙g2、 θ˙g3及 θ˙t；其二是主梁和索塔的塑性鉸位置參數(shù)，如l1、l2、h1或h2，兩組參數(shù)同時優(yōu)化很困難。為此，本文結(jié)合內(nèi)點法并采用MATLAB 編程進(jìn)行優(yōu)化，具體步驟為：① 在給定的塑性鉸位置參數(shù)下得到基于該位置參數(shù)的最優(yōu)解；② 改變位置參數(shù)繼續(xù)計算，得到多個極限載荷系數(shù)λ[44]；③ 所有載荷系數(shù)λ 的最小值λu為同時符合兩組機(jī)構(gòu)場參數(shù)的最優(yōu)解-斜拉橋結(jié)構(gòu)真實的倒塌載荷，同時與λu對應(yīng)的各位置參數(shù)及各虛位移率參數(shù)所表征的失效機(jī)構(gòu)即為結(jié)構(gòu)的真實倒塌失效模式。

2 算例分析

本文以某大跨度飄浮體系單塔斜拉橋為例，討論采用塑性極限分析法研究其失效行為的準(zhǔn)確性與可行性，并據(jù)此分析拉索銹蝕對豎向荷載作用下斜拉橋結(jié)構(gòu)極限承載力和失效模式的影響。

2.1 斜拉橋概述

如圖7 所示，某飄浮體系斜拉橋跨度為600 m，左右跨均為300 m，索塔高175.5 m，拉索沿橋跨對稱且等間距布置，主梁與索塔之間無直接連接。主梁左端為鉸接約束，右端為滑動支座約束。結(jié)構(gòu)材料參數(shù)設(shè)置為：① 主梁：彈性模量為210 GPa，剪切模量為80 GPa，泊松比為0.3，截面面積為1.0175 m2，塑性模量為1.1462 m4及屈服強(qiáng)度為340 MPa；② 拉索：彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3 及屈服強(qiáng)度為1500 MPa；③ 索塔：彈性模量為33 GPa，剪切模量為14 GPa，屈服強(qiáng)度為60 MPa，泊松比為0.15，各段截面面積及慣性矩如圖7 所示；④ 豎向恒、活荷載均布于主梁上，為190 kN/m[44]。由于本文的主要目的是驗證方法在飄浮體系斜拉橋中的適用性，因此參數(shù)分析中單根拉索銹蝕考慮為均勻銹蝕，銹蝕率采用假定值。算例中的拉索強(qiáng)度系數(shù)為以實際斜拉橋設(shè)計時的拉索屈服強(qiáng)度fcy0為參考值對塑性極限分析過程中所采用的屈服強(qiáng)度fcy進(jìn)行放大或縮小的比例系數(shù)，即拉索強(qiáng)度系數(shù)=fcy/fcy0。主梁強(qiáng)度系數(shù)的定義與拉索強(qiáng)度系數(shù)的定義類似，即主梁強(qiáng)度系數(shù)=fgy/fgy0，其中fgy0為實際斜拉橋設(shè)計時的主梁屈服強(qiáng)度。后續(xù)章節(jié)中拉索強(qiáng)度與主梁強(qiáng)度之比是指當(dāng)主梁強(qiáng)度不變，拉索強(qiáng)度發(fā)生變化時，兩者的相對比值；主梁強(qiáng)度與拉索強(qiáng)度之比是指當(dāng)拉索強(qiáng)度不變，主梁強(qiáng)度發(fā)生變化時，兩者的相對比值。

圖7 飄浮體系單塔斜拉橋模型概況 /mFig. 7 Introduction of single tower cable-stayed bridge with floating system

為驗證方法的準(zhǔn)確性與可行性，本文基于OpenSEES(open system for earthquake engineering simulation)平臺建立斜拉橋二維結(jié)構(gòu)分析模型。該平臺綜合了截面分析、靜力彈塑性分析、動力分析等多種功能，能較好模擬荷載作用下結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)。為了更好模擬主梁的塑性鉸行為，本文在有限元模型中將零長度單元(Zero-Length Element)加入各主梁單元節(jié)點之間(如圖8 所示)。零長度單元的水平方向和豎向自由度均通過耦合(EqualDOF)實現(xiàn)，彎曲自由度采用彈簧模擬，其轉(zhuǎn)動剛度等于主梁的初始轉(zhuǎn)動剛度。當(dāng)形成塑性鉸時，零長度單元的轉(zhuǎn)動剛度為零。索塔的強(qiáng)度和剛度都比較大，一般不產(chǎn)生塑性鉸，因此，在有限元分析時索塔采用彈性梁-柱單元。主梁采用彈塑性梁-柱單元，拉索采用桁架單元，主梁及拉索材料均為理想彈塑性模型。采用非線性靜力Push-Down 分析，豎向荷載按比例增加，當(dāng)計算出現(xiàn)因剛度矩陣奇異不收斂或變形發(fā)散時，對應(yīng)的載荷即為其極限承載力[45]，對應(yīng)極限荷載系數(shù)為λu，失效前的瞬時狀態(tài)即為倒塌或失效模式。

圖8 主梁單元節(jié)點間的零長度單元Fig. 8 Zero-Length Element in girder connection

2.2 結(jié)果分析與驗證

本文首先結(jié)合塑性極限分析方法研究斜拉橋拉索強(qiáng)度及主梁強(qiáng)度的變化對其失效行為的影響，并以此驗證該分析方法用于豎向荷載作用下飄浮體系斜拉橋失效分析的可行性和準(zhǔn)確性。圖9(a)給出了飄浮體系單塔斜拉橋極限載荷系數(shù)λu與其失效模式隨拉索強(qiáng)度的變化規(guī)律。從圖中可得，飄浮體系單塔斜拉橋的極限載荷系數(shù)λu隨著拉索強(qiáng)度的增加而增加，但其非線性并不十分明顯。當(dāng)拉索強(qiáng)度系數(shù)小于0.705，即拉索強(qiáng)度與主梁強(qiáng)度之比相對較小時，斜拉橋主梁呈現(xiàn)出整體性破壞特點，類似于豎向荷載下簡支梁的破壞形式，此時主梁塑性鉸僅有一個，且位于索塔處主梁截面，索塔未出現(xiàn)塑性鉸；當(dāng)拉索強(qiáng)度系數(shù)大于0.705，即拉索強(qiáng)度與主梁強(qiáng)度之比相對較大時，斜拉橋主梁呈現(xiàn)出局部性破壞特點，此時主梁塑性鉸有三個，分別位于索塔處、左跨度L1位置處和右跨度L2位置處，同樣索塔未出現(xiàn)塑性鉸。圖9(b)給出了飄浮體系單塔斜拉橋的極限載荷系數(shù)λu與其失效模式隨主梁強(qiáng)度的變化規(guī)律。從圖中可得，飄浮體系單塔斜拉橋的極限載荷系數(shù)λu隨主梁強(qiáng)度的增加而增加，且非線性顯著。當(dāng)主梁強(qiáng)度系數(shù)小于1.418，即主梁強(qiáng)度與拉索強(qiáng)度之比相對較小時，斜拉橋主梁呈現(xiàn)出局部性破壞特點，此時主梁塑性鉸有三個，分別位于索塔處、左跨度L1位置處和右跨度L2位置處，索塔未出現(xiàn)塑性鉸；當(dāng)主梁強(qiáng)度系數(shù)大于1.418，即主梁強(qiáng)度與拉索強(qiáng)度之比相對較大時，斜拉橋主梁呈現(xiàn)出整體性破壞特點，類似于豎向荷載下簡支梁的破壞形式，此時主梁塑性鉸僅有一個，且位于索塔處主梁截面，同樣索塔未出現(xiàn)塑性鉸。

由圖9 可得，隨著拉索或主梁強(qiáng)度的變化，極限載荷系數(shù)λu都呈現(xiàn)出光滑連續(xù)的變化，但塑性鉸位置L1或L2均呈現(xiàn)出臺階式變化，兩者之間明顯不同，這意味著不同的拉索或主梁強(qiáng)度可能對應(yīng)于相同的失效模式，同時表明主梁的失效模式的改變是非連續(xù)的。但從整體來看，拉索強(qiáng)度或主梁強(qiáng)度的改變都明顯改變著飄浮體系斜拉橋的失效模式。另外，圖9 也表明極限載荷系數(shù)λu的改變要更敏感于拉索強(qiáng)度的變化。

圖9 塑性倒塌機(jī)制隨拉索及主梁強(qiáng)度的變化(塑性極限分析法)Fig. 9 Variation of plastic collapse mechanism with cable and girder’s strength (plastic limit analysis method)

總結(jié)圖9 可得，隨著拉索強(qiáng)度的增加或主梁強(qiáng)度的減小，斜拉橋主梁失效呈現(xiàn)出由整體性轉(zhuǎn)變?yōu)榫植啃缘顾?，這是失效模式類型的重要變化。其主要原因是：當(dāng)拉索強(qiáng)度較低時，拉索對于主梁的約束限制作用也較小，進(jìn)而導(dǎo)致主梁呈現(xiàn)出整體性破壞，反之則加強(qiáng)了對主梁的約束限制作用，導(dǎo)致主梁呈現(xiàn)出局部性破壞。根據(jù)圖9可得，促使斜拉橋失效模式類型改變的正是拉索強(qiáng)度與主梁強(qiáng)度之比，這正說明了斜拉橋失效機(jī)理不僅與拉索或主梁強(qiáng)度密切相關(guān)，還與兩者之比有重要關(guān)聯(lián)。上述分析結(jié)論對于斜拉橋的初步設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義。在實際的斜拉橋設(shè)計中，可通過塑性極限分析法得到拉索與強(qiáng)度之比的臨界值(如圖9 系數(shù)0.705 或1.418 對應(yīng)的兩者的比值)，以此在提高斜拉橋抗倒塌能力的同時盡量避免不期望的失效模式的發(fā)生。

圖10 給出了塑性極限分析法與OpenSEES 計算結(jié)果的對比分析。由圖10(a)可知，隨著拉索強(qiáng)度的增加，OpenSEES 分析得到的極限載荷系數(shù)λu也不斷增加，兩者的誤差范圍為4.90%～20.78%，變化趨勢基本一致。同樣，由圖10(b)可知，隨著主梁強(qiáng)度的增加，OpenSEES 計算結(jié)果與塑性極限分析法得到的結(jié)果的變化趨勢也基本一致，兩者的誤差范圍為3.39%～12.45%。由于簡化分析方法是基于塑性極限分析理論中的上限定理得到的，因此，其計算結(jié)果通常偏高，這正是圖10 中塑性極限分析法得到的極限載荷系數(shù)高于OpenSEES所得結(jié)果的原因。圖10 表明：隨著拉索或主梁強(qiáng)度的增加，OpenSEES 計算結(jié)果與塑性極限分析法計算結(jié)果之間的誤差有增加的趨勢，特別是圖10(a)中OpenSEES 計算結(jié)果后面出現(xiàn)了平直段，這主要是因為在拉索強(qiáng)度較高時，計算中主梁的彈塑性較強(qiáng)進(jìn)而引起數(shù)值收斂困難造成的。圖10(b)中，OpenSEES 結(jié)果后面出現(xiàn)了近似平直段，主要原因是：主梁強(qiáng)度較高，拉索屈服時主梁可能還未出現(xiàn)塑性鉸，但數(shù)值計算不收斂、結(jié)構(gòu)實際已失效進(jìn)而導(dǎo)致極限載荷系數(shù)λu不再增加。

圖10 塑性極限荷載系數(shù)λu 對比(塑性極限分析法與OpenSEES)Fig. 10 Comparison of plastic ultimate load factor λu (plastic limit analysis method and OpenSEES)

以拉索和主梁設(shè)計強(qiáng)度為例(即拉索和主梁強(qiáng)度系數(shù)為1.0)，圖11 給出了飄浮體系斜拉橋兩種方法所得失效響應(yīng)的對比分析。圖11 中左側(cè)為塑性極限分析法計算得到破壞結(jié)果，右側(cè)先由OpenSEES計算獲得結(jié)構(gòu)的彈塑性響應(yīng)，然后，忽略彈性變形轉(zhuǎn)化為純塑性的破壞結(jié)果。從圖11 可以看出，兩種方法計算所得的極限載荷系數(shù)λu分別為2.76和2.52，誤差約為8.7%；塑性鉸位置分別為114 m和96 m，誤差約為15.8%；屈服拉索數(shù)目分別為6 對和5 對，誤差約為16.7%。相比較而言，極限載荷系數(shù)λu的誤差要小一些。由圖11 中具體失效行為的對比分析可知，采用塑性極限分析法得到的結(jié)果有一定誤差，其主要來源有：① 方法本身的假定，如認(rèn)為拉索屈服和塑性鉸形成同時發(fā)生；② 塑性極限分析法未能考慮主梁沿水平方向有限移動的影響；③ OpenSEES 分析時的數(shù)值收斂困難使其計算結(jié)果偏小。

圖12 給出了有限元結(jié)果中主梁若干節(jié)點的豎向位移(δv-86、δv-206及δv-300，86、206 及300 為節(jié)點號，位置如圖12 所示，以下相同)隨載荷系數(shù)λq的變化情況。由圖12 可得，隨λq的增加，δv-86基本呈現(xiàn)線性變化，這是因為該節(jié)點位于破壞機(jī)構(gòu)范圍以外(圖11)，未達(dá)到屈服狀態(tài)；隨λq的增加，δv-206已呈現(xiàn)非線性增長，主要原因為該節(jié)點位于破壞機(jī)構(gòu)范圍邊緣，已有一定的塑性變形(圖11)；隨λq的增加，δv-300后期變化呈現(xiàn)較強(qiáng)非線性，這是因為該節(jié)點位于索塔處(破壞機(jī)構(gòu)范圍中間位置)，已產(chǎn)生較大的塑性變形(圖11)。

圖11 斜拉橋失效行為對比(塑性極限分析法與OpenSEES)Fig. 11 Comparison of failure behavior of cable-stayed bridge (plastic limit analysis method and OpenSEES)

圖13 為有限元結(jié)果中與上述節(jié)點對應(yīng)處若干拉索及主梁截面內(nèi)力隨載荷系數(shù)λq的變化情況。由圖13 可知，14C、15C、16C、17C 和18C 及右側(cè)對稱位置處的拉索已趨于屈服，對應(yīng)位置處的主梁截面的彈塑性變形也不斷增加，這與圖12 的豎向位移變化是相對應(yīng)的。

圖12 主梁節(jié)點豎向位移隨載荷系數(shù)λq 的變化Fig. 12 Variation of vertical displacement of girder with load factor λq

圖13 拉索和主梁截面內(nèi)力隨荷載系數(shù)λq 的變化Fig. 13 Variation of internal force of cable and girder with load factor λq

圖12 和圖13 表明：隨著載荷系數(shù)λq的增加，索塔附近區(qū)域拉索內(nèi)力、主梁節(jié)點位移、主梁截面內(nèi)力都逐漸增加，離索塔越近，非線性越明顯。當(dāng)荷載增至一定數(shù)值時，塑性變形及位移都急劇增加，直至打破結(jié)構(gòu)平衡導(dǎo)致其失效破壞。

2.3 拉索銹蝕影響

上述分析結(jié)果表明：塑性極限分析方法可近似用于研究豎向荷載作用下飄浮體系斜拉橋的塑性倒塌荷載和失效模式。為此，本文嘗試應(yīng)用該方法分析拉索銹蝕對斜拉橋結(jié)構(gòu)失效機(jī)理的影響，這里主要探討單根拉索不同銹蝕程度的影響，拉索銹蝕假定見概述。

圖14(a)給出了飄浮體系斜拉橋單根拉索不同銹蝕程度對主梁塑性鉸位置的影響。圖14(b)描述了飄浮體系斜拉橋單根拉索不同銹蝕程度對極限荷載系數(shù)λu的影響。由圖14 可知，對于單根拉索銹蝕而言，僅有索塔附近至左右跨中間區(qū)域的拉索銹蝕對塑性鉸的位置有影響，且隨著銹蝕程度的增加，極限載荷系數(shù)λu逐漸降低，同時，能夠影響塑性鉸位置的拉索分布位置從索塔處逐漸向左右側(cè)擴(kuò)展至跨中附近。圖14 表明：跨中至索塔處的拉索銹蝕對極限荷載系數(shù)λu和失效模式的影響較為顯著，且離索塔越近影響越突出，離索塔越遠(yuǎn)影響越小，加之局部破壞時主梁塑性鉸也分布于此范圍內(nèi)，因此，該范圍是導(dǎo)致斜拉橋結(jié)構(gòu)失效破壞的關(guān)鍵區(qū)域。

圖14 單根拉索不同銹蝕程度下塑性鉸位置及極限載荷系數(shù)λu 的變化Fig. 14 Variation of position of plastic hinges and ultimate load factor λu with different corrosion of single cable

相比彈塑性有限元分析，塑性極限分析法只考慮結(jié)構(gòu)的極限破壞狀態(tài)，且需要考慮較多的假定條件，因此其結(jié)果有一定的誤差，但影響規(guī)律是一致的。在有限元彈塑性分析中，屈服構(gòu)件或截面是逐漸形成的，且只有在屈服拉索達(dá)到一定數(shù)量后，主梁才可能產(chǎn)生塑性鉸，這與塑性極限分析法是完全不同的。因此，在進(jìn)行對比分析時，兩種方法對應(yīng)結(jié)果的基本變化規(guī)律是一致的，但具體到某一數(shù)值上，誤差可能稍大些。

綜上分析可得，塑性極限分析法是一種簡化的計算方法，雖然，能夠快速便利的分析出各設(shè)計參數(shù)的變化對斜拉橋失效行為的影響，但誤差稍大，精度較有限元方法低一些。因此，該方法可用于斜拉橋初步設(shè)計階段，在快速計算出極限承載力的同時也識別出相應(yīng)的倒塌模式，并在此基礎(chǔ)上修正相關(guān)設(shè)計參數(shù)，盡量避免不希望的失效模式的發(fā)生。

3 結(jié)論

本文基于理論推導(dǎo)和算例分析驗證了塑性極限分析方法用于研究豎向荷載作用下大跨度飄浮體系斜拉橋的極限承載力及其失效模式的可行性和適用性，在此基礎(chǔ)上分析了拉索銹蝕對斜拉橋結(jié)構(gòu)失效行為的影響。主要結(jié)論如下：

(1)對于飄浮體系斜拉橋而言，當(dāng)拉索強(qiáng)度與主梁強(qiáng)度之比相對較小時，斜拉橋主梁呈現(xiàn)出整體性破壞特點，類似于簡支梁的破壞形式；當(dāng)拉索強(qiáng)度與主梁強(qiáng)度之比相對較大時，斜拉橋主梁以局部性破壞為主，且破壞區(qū)域位于索塔附近至跨中范圍內(nèi)。從整體來看，拉索強(qiáng)度或主梁強(qiáng)度的改變都明顯改變著飄浮體系斜拉橋的失效行為，但極限載荷系數(shù)λu呈現(xiàn)出光滑連續(xù)的變化，而塑性鉸位置則呈現(xiàn)出臺階式的非連續(xù)變化，兩者之間明顯不同。分析結(jié)果表明索塔未出現(xiàn)塑性鉸破壞，這符合其結(jié)構(gòu)特點，同時，也說明有限元分析時采用彈性梁柱單元是合適的。

(2)飄浮體系斜拉橋分析結(jié)果表明極限載荷系數(shù)λu的改變要更敏感于拉索強(qiáng)度的變化?？紤]拉索銹蝕影響的分析表明拉索的銹蝕不僅降低極限載荷系數(shù)λu，還能改變塑性鉸的位置，也即改變著斜拉橋的失效模式。離索塔越近的拉索銹蝕對極限載荷系數(shù)λu及失效模式的影響越顯著，離索塔越遠(yuǎn)的則影響越小。局部破壞時主梁塑性鉸及屈服拉索也多分布于索塔附近至跨中范圍內(nèi)，因此，該范圍是導(dǎo)致斜拉橋結(jié)構(gòu)倒塌失效的關(guān)鍵區(qū)域。

(3)結(jié)果分析表明：相比于有限元方法，塑性極限分析法可快速計算出極限載荷系數(shù)并識別出倒塌失效模式和關(guān)鍵構(gòu)件，為斜拉橋初步設(shè)計階段相關(guān)設(shè)計參數(shù)的修正提供了一種簡化、快速及有效的計算方法。