根式基礎(chǔ)極限承載力預(yù)測(cè)的修正雙曲線法

沈浩浩, 羅曉光, 余 竹

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省交通控股集團(tuán)有限公司,安徽 合肥 230088)

0 引 言

根式基礎(chǔ)或根樁是一種新型基礎(chǔ)形式[1],它是通過(guò)將預(yù)制的根鍵頂入樁身預(yù)留的孔中而形成的一種異形樁,因形似樹(shù)根而得名,已成功應(yīng)用于馬鞍山長(zhǎng)江大橋、池州長(zhǎng)江公路大橋中。根式基礎(chǔ)通過(guò)頂入根鍵來(lái)提高承載力并減小沉降,充分發(fā)揮根鍵的作用,現(xiàn)場(chǎng)試樁的荷載試驗(yàn)表明效果顯著,具有很好的應(yīng)用前景。

根式基礎(chǔ)豎向和水平承載力研究已經(jīng)取得一些成果[2-3]。樁-土相互作用的機(jī)理較為復(fù)雜,引入水平的根鍵后更難處理,具有較大的不確定性,因此現(xiàn)場(chǎng)載荷試驗(yàn)的結(jié)果是確定根式基礎(chǔ)承載力的最可靠方法[4]。然而由于現(xiàn)場(chǎng)靜載試驗(yàn)費(fèi)用大,受制于現(xiàn)場(chǎng)條件可能無(wú)法加載到根式基礎(chǔ)破壞就停止加載,很難得到根式基礎(chǔ)的最終極限承載力。從已有的試樁資料統(tǒng)計(jì)來(lái)看,一些根式基礎(chǔ)的試樁結(jié)果未達(dá)到相應(yīng)規(guī)范要求的極限承載力,因此如何通過(guò)已有的試樁數(shù)據(jù)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)根式基礎(chǔ)的極限承載力是當(dāng)前需要考慮的問(wèn)題[5-6]。

為了解決普通樁的極限承載力預(yù)測(cè)問(wèn)題,文獻(xiàn)[7]采用雙曲線模型模擬樁的荷載-沉降曲線,預(yù)測(cè)單樁的承載力;文獻(xiàn)[8]采用完整指數(shù)模型擬合單樁荷載-沉降曲線;文獻(xiàn)[9-10]利用完整指數(shù)模型等數(shù)學(xué)模型,估算試樁未達(dá)破壞時(shí)的單樁極限承載力;文獻(xiàn)[11]對(duì)比分析了幾種單樁豎向極限承載力的預(yù)測(cè)模型;文獻(xiàn)[12-13]分別提出基于Boltzmann函數(shù)及Usher生長(zhǎng)模型的單樁極限承載力預(yù)測(cè)模型。

本文在普通樁極限承載力預(yù)測(cè)的雙曲線模型基礎(chǔ)上,結(jié)合根式基礎(chǔ)的特點(diǎn),即考慮根鍵的作用,提出一種修正雙曲線模型,能夠更好擬合根式基礎(chǔ)的荷載-沉降(Q-s)曲線;進(jìn)行根式基礎(chǔ)的極限承載力預(yù)測(cè),并與完整指數(shù)模型及現(xiàn)場(chǎng)試樁實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,驗(yàn)證所提出修正雙曲線模型預(yù)測(cè)根式基礎(chǔ)極限承載力的有效性。

1 根式基礎(chǔ)承載力預(yù)測(cè)模型

1.1 修正的雙曲線模型

傳統(tǒng)的雙曲線模型和完整指數(shù)模型可以用來(lái)描述樁頂Q-s關(guān)系,能基本擬合樁基靜荷載的Q-s曲線。

雙曲線模型假設(shè)樁基礎(chǔ)的Q-s曲線符合雙曲線方程,即

(1)

其中:Q為作用于樁頂?shù)暮奢d;s為樁頂沉降量;a為Q-s曲線原點(diǎn)的切線斜率的倒數(shù);b為基礎(chǔ)極限承載力的倒數(shù)。

完整指數(shù)模型假設(shè)樁基礎(chǔ)的Q-s曲線符合指數(shù)方程,即

Q=Qu(1-e-b′s)

(2)

其中:Qu為基礎(chǔ)的極限承載力;b′為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

為了更好地模擬實(shí)際工程的情況,一些研究者對(duì)雙曲線模型作出相應(yīng)的修正。文獻(xiàn)[14]在預(yù)估試樁極限承載力時(shí)提出調(diào)整雙曲線模型;文獻(xiàn)[15]在研究嵌巖預(yù)應(yīng)力高強(qiáng)混凝土(prestressed high-intensity concrete,PHC)管樁承載特性時(shí)提出修正雙曲線模型;文獻(xiàn)[16]在描述抗拔擠擴(kuò)支盤樁Q-s曲線時(shí)提出相應(yīng)的修正雙曲線模型。

大量工程實(shí)踐證明,傳統(tǒng)的雙曲線模型在樁基的彈性變形階段能夠很好地?cái)M合Q-s關(guān)系,但是當(dāng)荷載水平較高時(shí),進(jìn)入塑性變形階段后擬合效果并不是很理想,導(dǎo)致擬合的Q-s曲線尾部誤差較大,最終的單樁極限承載力預(yù)估值與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)值產(chǎn)生偏差。

針對(duì)根式基礎(chǔ)的特性,為了體現(xiàn)根鍵對(duì)于極限承載力的影響,提高擬合精度,考慮到雙曲線模型應(yīng)用的廣泛性,本文在雙曲線模型的基礎(chǔ)上建立如下修正的雙曲線模型:

(3)

其中,分母增加ce-ds這一影響因子,即引入新的c、d經(jīng)驗(yàn)參數(shù),使得該模型能夠更好地?cái)M合根式基礎(chǔ)Q-s曲線?？梢钥闯?當(dāng)c=0時(shí),(3)式為普通的雙曲線模型,為本文修正模型的一個(gè)特例。

該修正模型用于調(diào)整樁頂Q-s曲線彈性變形階段和彈塑性變形階段,應(yīng)同時(shí)滿足雙曲線模型的2個(gè)明顯特征:當(dāng)s取值為0時(shí),Q取值為0;當(dāng)s→∞時(shí),Q=Qu。因此,(3)式中需要d>0,c沒(méi)有特定的要求,擬合時(shí)無(wú)取值限制。

1.2 模型參數(shù)確定

對(duì)于修正的雙曲線模型(3)式,只要求得模型中的參數(shù)a、b、c、d,即可進(jìn)行根式基礎(chǔ)極限承載力預(yù)測(cè)。根據(jù)根式基礎(chǔ)現(xiàn)場(chǎng)載荷試驗(yàn)的試樁資料,可獲得一系列的樁頂荷載Qi與相應(yīng)的豎向沉降si(i=1,2,3,…,m;m為荷載施加級(jí)數(shù))。只需對(duì)Q-s曲線進(jìn)行非線性擬合,即可得出這些參數(shù)的取值。

為了保證實(shí)測(cè)的樁頂荷載Qi與擬合的樁頂荷載Qi′總體偏離度最小,保證偏差的均值達(dá)到最小,取目標(biāo)函數(shù)為:

(4)

其中,Δ為相對(duì)誤差。采用最小二乘法非線性擬合樁頂Q-s曲線,可以找到使目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)相應(yīng)的參數(shù)。

最小二乘法非線性擬合采用Levenberg-Marquardt算法,該算法是對(duì)Gauss-Newton算法的一種改進(jìn),利用如下線性方程組的解dk作為在點(diǎn)xk處的一個(gè)搜索方向:

(J(xk)TJ(xk)+μkI)dk=-J(xk)TF(xk)

(5)

dk=-(J(xk)TJ(xk)+μkI)-1J(xk)-1F(xk)

(6)

其中:k為迭代次數(shù);I為單位矩陣。為書(shū)寫(xiě)方便,下文將J(xk)、F(xk)分別簡(jiǎn)記為Jk、Fk。

Fk=[F1(x)F2(x) …Fn(x)]，F(xiàn)1,F2,…,Fn均為(x1,x2,…,xn)上的多元函數(shù),Jk為Fk的Jacobi矩陣。Fk和Jk矩陣維度應(yīng)根據(jù)實(shí)測(cè)荷載級(jí)數(shù)確定,本文采用信賴域的方法,引入?yún)?shù)μk>0,克服Jacobi矩陣奇異所帶來(lái)的搜索困難,從而獲得全局收斂的解。μk計(jì)算公式為:

(7)

其中,θ為給定參數(shù),0<θ<1;αk為調(diào)整因子,迭代過(guò)程中通過(guò)不斷調(diào)整其大小來(lái)改變參數(shù)μk的大小,(5)式的解與參數(shù)μk相關(guān)。

該算法迭代過(guò)程如下:

(1) 給定x1∈Rn,ε≥0,α1>q>0,0≤p0≤p1≤p2<1,k∶=1。其中:q為給定參數(shù),是αk的下界,當(dāng)?shù)饪拷匠探M真實(shí)解時(shí),防止試探步過(guò)大引起的數(shù)值計(jì)算困難;p0、p1、p2為給定參數(shù),按照信賴域方法的普遍做法,取p0=0.000 1,p1=0.25,p2=0.75,迭代過(guò)程中其大小不變。

(3) 定義第k步實(shí)際下降量Adk和預(yù)估下降量Pdk分別為:

Adk=‖F(xiàn)k‖2-‖F(xiàn)(xk+dk)‖2,

Pdk=‖F(xiàn)k‖2-‖F(xiàn)k+Jkdk‖2。

計(jì)算rk=Adk/Pdk,通過(guò)rk來(lái)判斷試探步dk是否可以接受,并調(diào)整每次迭代過(guò)程中參數(shù)μk的取值。令

(4) 計(jì)算αk+1,即

令k∶=k+1,返回步驟(2)繼續(xù)迭代。

2 工程實(shí)例驗(yàn)證

對(duì)池州長(zhǎng)江公路大橋(簡(jiǎn)稱“池州橋”)、秋浦河特大橋(簡(jiǎn)稱“秋浦河橋”)、淮河特大橋(簡(jiǎn)稱“淮河橋”)、望東長(zhǎng)江公路大橋(簡(jiǎn)稱“望東橋”)工程中共計(jì)5根根式基礎(chǔ)現(xiàn)場(chǎng)荷載試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模擬和驗(yàn)證。池州橋有2根試樁,其中1根試樁采用堆載法進(jìn)行加載,其余4根試樁均采用自平衡法進(jìn)行加載,在試樁下部位置埋設(shè)一個(gè)大型荷載箱,樁身埋設(shè)測(cè)試元件,待樁身砼齡期達(dá)到測(cè)試要求后進(jìn)行加載。

池州橋覆蓋地層第1層至第8層為第四系全新統(tǒng)沖積層,下伏基巖為白堊系下統(tǒng)楊柳灣組泥質(zhì)粉砂巖、砂巖和粉砂質(zhì)泥巖。

淮河橋地表出露地層為第四系全新統(tǒng)、上更新統(tǒng),其下伏基巖為上太古界霍邱群、上寒武統(tǒng)、下奧陶統(tǒng)、二疊系、白堊系、下第三系。

望東橋覆蓋地層主要由第四系沖積成因的黏性土、粉細(xì)砂及卵石、碎石土組成,下伏基巖為第三系雙塔寺組礫巖、二疊系灰?guī)r。

秋浦河橋下伏基巖以白堊系上統(tǒng)宣南組礫巖為主,局部夾透鏡體狀泥質(zhì)粉砂巖,巖面平緩,上部礫巖膠結(jié)程度相對(duì)較弱,下部礫巖膠結(jié)較好。5根根式基礎(chǔ)的試樁詳細(xì)參數(shù)見(jiàn)表1所列。

表1 根式基礎(chǔ)試樁參數(shù)

為了比較分析,5根根式基礎(chǔ)分別采用傳統(tǒng)雙曲線模型、完整指數(shù)模型和本文修正雙曲線模型3種模型進(jìn)行Q-s曲線擬合,擬合結(jié)果如圖1～圖5所示,并與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。從圖1～圖5可以看出,本文修正雙曲線模型能夠更好地?cái)M合根式基礎(chǔ)的Q-s曲線,主要體現(xiàn)在曲線的尾部。當(dāng)荷載等級(jí)較低時(shí),3種模型均能較好地?cái)M合根式基礎(chǔ)的承載特性,但當(dāng)荷載逐漸增大直至停止加載,雙曲線模型和指數(shù)模型的擬合曲線都出現(xiàn)一定程度的偏離,沒(méi)有很好地體現(xiàn)根式基礎(chǔ)的極限承載力,而本文修正雙曲線模型可以更好地?cái)M合根式基礎(chǔ)Q-s曲線,與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)較為相符,其預(yù)測(cè)的根式基礎(chǔ)極限承載力也具有更高的可信度。

5根根式基礎(chǔ)擬合的相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表2所列。從表2可以看出,本文修正雙曲線模型的擬合效果均好于雙曲線模型和完整指數(shù)模型,相關(guān)系數(shù)(R)達(dá)到0.995 4以上,平均為0.998 5,高于雙曲線模型的0.992 0和指數(shù)模型的0.996 7。

圖1 池州橋①試樁擬合結(jié)果

圖2 池州橋②試樁擬合結(jié)果

圖3 淮河橋試樁擬合結(jié)果

圖4 秋浦河橋試樁擬合結(jié)果

圖5 望東橋試樁擬合結(jié)果

以淮河橋試樁(R=0.998 4)擬合曲線為例,對(duì)各級(jí)荷載的擬合值進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果見(jiàn)表3所列。從表3可以看出,淮河橋試樁各級(jí)荷載最大相對(duì)誤差為3.547 3%,平均相對(duì)誤差為1.789 9%,擬合效果很好,在荷載等級(jí)較高時(shí)相對(duì)誤差均較小,對(duì)曲線尾部擬合精度較高,能夠很好地描述荷載等級(jí)較高時(shí)根式基礎(chǔ)的承載特性。

以池州橋②試樁(R=0.995 4)為例進(jìn)行擬合曲線的驗(yàn)證,取前10級(jí)荷載進(jìn)行曲線擬合,得到相應(yīng)的擬合參數(shù)后,通過(guò)擬合曲線對(duì)最后3級(jí)承載力進(jìn)行預(yù)測(cè),并與實(shí)測(cè)值對(duì)比,結(jié)果見(jiàn)表4所列。由表4可知,池州橋②試樁最后3級(jí)荷載的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值非常接近,平均相對(duì)誤差為0.756 5%,擬合曲線的結(jié)果具有較高的可信度,可用來(lái)進(jìn)行根式基礎(chǔ)極限承載力預(yù)測(cè)。

表3 淮河橋試樁擬合值驗(yàn)證

表4 池州橋②試樁最后3級(jí)荷載預(yù)測(cè)值驗(yàn)證

3 根式基礎(chǔ)極限承載力預(yù)測(cè)

根據(jù)文獻(xiàn)[17],試樁極限承載力的確定主要有以下方式:對(duì)于陡降型Q-s曲線,取其發(fā)生明顯陡降的起始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的荷載值;對(duì)于緩變型Q-s曲線可根據(jù)沉降量確定,宜取s=40 mm對(duì)應(yīng)的荷載;對(duì)于直徑大于或等于800 mm的灌注樁或閉口樁,可取s=0.05D對(duì)應(yīng)的荷載值。

根式基礎(chǔ)由于根鍵的存在大大提升了承載力和抗變形能力,Q-s曲線均表現(xiàn)為緩變型,確定承載力時(shí)要考慮土體結(jié)構(gòu)對(duì)基樁沉降的要求。當(dāng)Q-s曲線呈緩變型且樁長(zhǎng)超過(guò)40 m時(shí),可加載至樁頂總沉降超過(guò)80 mm,故根式基礎(chǔ)采用80 mm與0.05D中的較小值對(duì)應(yīng)的荷載值為相應(yīng)的極限承載力。根式基礎(chǔ)的極限承載力現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)結(jié)果和本文修正雙曲線模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表5所列。

從表5可以看出,根式基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)極限承載力均高于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的承載力,這是由于受到現(xiàn)場(chǎng)加載條件的限制,現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)均無(wú)法加載到根式基礎(chǔ)破壞。對(duì)于采用自平衡法測(cè)試的根式基礎(chǔ),上段樁先于下段樁達(dá)到試驗(yàn)終止的條件,未得到下段樁的極限承載力。

望東橋試樁由于樁底嵌巖,且樁身進(jìn)行了注漿,極限承載力較大,受限于加載條件,達(dá)到荷載箱最大加載能力時(shí),根式基礎(chǔ)的沉降僅有15 mm,遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到文獻(xiàn)[17]要求的極限值,因此極限承載力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)值。

表5 根式基礎(chǔ)極限承載力預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié) 論

根式基礎(chǔ)是一種新型的樁基礎(chǔ),本文提出修正的雙曲線模型預(yù)測(cè)根式基礎(chǔ)的極限承載力,并與傳統(tǒng)模型和實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較,得到以下結(jié)論:

(1) 傳統(tǒng)的雙曲線模型、完整指數(shù)模型和本文修正雙曲線模型對(duì)根式基礎(chǔ)的擬合表明,本文修正雙曲線模型具有更高的擬合精度,擬合效果更好,相關(guān)系數(shù)均在0.995 4之上,平均相關(guān)系數(shù)為0.998 5。

(2) 基于本文修正雙曲線模型的根式基礎(chǔ)荷載的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之間的誤差較小,且曲線尾部與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合更好,擬合精度更高,表明本文修正雙曲線模型可用來(lái)預(yù)測(cè)根式基礎(chǔ)的極限承載力。

(3) 從承載力預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出,根鍵的存在大大提高了根式基礎(chǔ)的豎向極限承載力,受到現(xiàn)場(chǎng)試樁條件的限制,根式基礎(chǔ)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)極限承載力過(guò)于保守,按照現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)極限承載力進(jìn)行設(shè)計(jì)具有很高的安全系數(shù)。