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    以形輔數(shù) 用形助算 借形促思

    2022-05-05 01:37:31袁慧娟
    關(guān)鍵詞:數(shù)軸表現(xiàn)形式應(yīng)用策略

    袁慧娟

    【摘? ?要】數(shù)軸是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要教學(xué)工具,它具有簡潔、直觀、易操作等特點(diǎn),通過厘清數(shù)軸在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的表現(xiàn)形式,提出以形輔數(shù)、用形助算、借形促思的教學(xué)策略,以促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)概念、提升運(yùn)算能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

    【關(guān)鍵詞】數(shù)軸;表現(xiàn)形式;應(yīng)用策略

    數(shù)軸“顯示了數(shù)的存在性及其內(nèi)部結(jié)構(gòu)”(弗賴登塔爾語)。用好數(shù)軸這一直觀教學(xué)工具,對于促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)概念、提升運(yùn)算能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維等具有重要的作用。

    一、數(shù)軸在教材中的表現(xiàn)形式

    在數(shù)學(xué)中,數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線。在小學(xué)階段,數(shù)軸主要以兩種形式出現(xiàn)。

    (一)顯性形式——數(shù)軸圖

    雖然在各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都沒有安排單獨(dú)的有關(guān)數(shù)軸的教學(xué)內(nèi)容,但是出現(xiàn)了很多數(shù)軸的運(yùn)用。大多數(shù)時(shí)候數(shù)軸是以顯性的形式,即標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)軸形式出現(xiàn)的(如圖1),它有原點(diǎn)、正方向和單位長度,學(xué)生能夠看懂,并能利用它來解決很多數(shù)學(xué)問題。

    (二)隱性形式——數(shù)尺圖

    在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始階段,數(shù)軸也會以類似于直尺的形式出現(xiàn),就是通常所說的數(shù)尺(如圖2)。依托生活中的直尺,使數(shù)軸的原點(diǎn)、正方向和單位長度隱藏其中,這是數(shù)軸的隱性形式。隨著學(xué)生抽象能力的不斷提升,數(shù)尺逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)線,最后變成完整的數(shù)軸。

    二、數(shù)軸在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

    正確認(rèn)識了數(shù)軸的表現(xiàn)形式,教師可以結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)以及小學(xué)生的思維特點(diǎn),在教學(xué)中恰當(dāng)使用數(shù)軸,充分發(fā)揮數(shù)軸的應(yīng)用價(jià)值。

    (一)以形輔數(shù):理解數(shù)的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

    借助數(shù)軸滲透數(shù)形結(jié)合思想,可以使抽象的數(shù)學(xué)知識以學(xué)生容易接受的直觀形式呈現(xiàn),加深學(xué)生對數(shù)概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

    1.凸顯數(shù)的單位,理解內(nèi)部關(guān)系

    整數(shù)、小數(shù)等都是十進(jìn)制數(shù),在十進(jìn)制系統(tǒng)中的數(shù)有其自身的內(nèi)部關(guān)系。整數(shù)的計(jì)數(shù)單位依次是一、十、百、千、萬等,借助數(shù)軸可以幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)的單位,理解數(shù)的意義。

    【案例1】浙教版教材二年級下冊《1000與10000》練習(xí)

    圖3呈現(xiàn)的是教材“練一練八”中的第2題。這兩題不但要讓學(xué)生數(shù)數(shù),填數(shù),而且要充分發(fā)揮數(shù)軸的優(yōu)勢,促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)的意義。教師可以在學(xué)生數(shù)數(shù)、填數(shù)之后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對這兩題進(jìn)行比較:為什么數(shù)軸上長度相同的線段表示的數(shù)的大小卻不一樣呢?學(xué)生通過觀察、比較,發(fā)現(xiàn)第(1)題是以百為單位一百一百地?cái)?shù)的,第(2)題是以千為單位一千一千地?cái)?shù)的,單位不一樣,同樣長度的數(shù)軸表示的數(shù)的大小也就不一樣,由此體會計(jì)數(shù)單位的重要性,并引申出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位也是同樣的道理。

    隨著學(xué)習(xí)的不斷深入,學(xué)生從計(jì)數(shù)轉(zhuǎn)向十進(jìn)制結(jié)構(gòu)來認(rèn)識數(shù)的意義,這時(shí)數(shù)軸的直觀功能更能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)概念的理解。

    【案例2】人教版教材四年級下冊《小數(shù)的意義和性質(zhì)》

    學(xué)生初學(xué)小數(shù)時(shí),要求他們寫出0~1之間的一位小數(shù),學(xué)生都沒有問題。如果進(jìn)一步要求他們寫出0~0.1之間的小數(shù),有的學(xué)生就會出現(xiàn)一定的困難。因此,教學(xué)時(shí)教師可以用動態(tài)演示的方式,把教材中的數(shù)軸(如圖4)放大,將1平均分成100份,也就是將0.1再平均分成10份,這樣就可以找到0.01,0.02,0.03……同理,學(xué)生還能找到三位小數(shù)、四位小數(shù)等,從而體會數(shù)軸的直觀功能。

    2.不同形式表征,構(gòu)建對應(yīng)關(guān)系

    學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識是從自然數(shù)開始的一個(gè)循序漸進(jìn)的過程,分?jǐn)?shù)、小數(shù)的產(chǎn)生使數(shù)系得到了進(jìn)一步擴(kuò)展。通過數(shù)軸可以幫助學(xué)生更加直觀、深入地建構(gòu)對分?jǐn)?shù)、小數(shù)的認(rèn)識。數(shù)軸上的同一個(gè)點(diǎn)可以用不同的分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示,而它們又是等值的,由此溝通分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系。

    【案例3】人教版教材五年級下冊《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》

    下面哪些分?jǐn)?shù)在直線上能用同一個(gè)點(diǎn)表示?把它們在直線上表示出來。

    圖5呈現(xiàn)的是教材“練習(xí)十四”中的第5題。利用數(shù)軸,能讓學(xué)生直觀地認(rèn)識到單位1相同,同一個(gè)點(diǎn)可以用不同單位的分?jǐn)?shù)來表示,這些分?jǐn)?shù)的大小相等。

    3.感悟數(shù)系發(fā)展,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

    不管是整數(shù)(計(jì)數(shù)單位的累計(jì)),還是分?jǐn)?shù)、小數(shù)(計(jì)數(shù)單位的均分),用的都是數(shù)軸的正半軸,而負(fù)數(shù)用的是數(shù)軸的負(fù)半軸。全體有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)。

    【案例4】浙教版教材四年級下冊《認(rèn)識負(fù)數(shù)》

    迪迪從校門口向東走了3米,強(qiáng)強(qiáng)從校門口向西走了3米,看看他們在什么位置。

    圖6呈現(xiàn)的是教材中的例2?!跋驏|路程”與“向西路程”是一對具有相反意義的量,把向東走3米,用“3”表示,這樣的數(shù)是正數(shù);把向西走3米,用“-3”表示,這樣的數(shù)是負(fù)數(shù)。利用數(shù)軸這個(gè)直觀圖可以使學(xué)生進(jìn)一步理解相反意義量的表示方法,理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn),即“0”的位置。以“0”為基準(zhǔn)點(diǎn),“-3”和“3”都和基準(zhǔn)點(diǎn)“0”相差三格,“0”的左邊是負(fù)數(shù),“0”的右邊是正數(shù)。

    (二)用形助算:深化運(yùn)算意義,提升運(yùn)算能力

    數(shù)的運(yùn)算是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù),教師可以借助數(shù)軸,以形助算,深化運(yùn)算意義,提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

    1.根據(jù)數(shù)軸方向,理解運(yùn)算意義

    數(shù)軸規(guī)定了正方向,這為學(xué)生感受數(shù)的大小、理解運(yùn)算的意義提供了參照。教師在教學(xué)中可以利用數(shù)軸,結(jié)合語言表達(dá),引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)化地思考問題,理解加減乘除的意義。

    【案例5】浙教版教材一年級上冊《加法與減法》

    教師請學(xué)生在數(shù)軸上找到相應(yīng)的加數(shù),從起點(diǎn)開始往右數(shù)幾格就是加幾,11+5就是從11開始往右數(shù)5格,從起點(diǎn)開始往左數(shù)幾格就是減幾,18-6就是從18開始往左數(shù)6格(如圖7)。在利用數(shù)軸數(shù)數(shù)的過程中賦予數(shù)軸加法和減法的意義。

    2.對接抽象和直觀,理解算理算法

    計(jì)算教學(xué)強(qiáng)調(diào)理解算理,掌握算法。數(shù)軸可以使算理與算法之間建立直觀形象的聯(lián)系,從而提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力。

    【案例6】人教版教材六年級上冊《分?jǐn)?shù)乘法》

    [25] × [47]可以怎么計(jì)算。

    數(shù)軸可以幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的意義,依托算式與數(shù)軸的巧妙結(jié)合,學(xué)生很容易就理解了[25] × [47]就是求[25] 的[47]是多少。利用數(shù)軸,學(xué)生知道[15] ×[17] =[135](如圖8-1),再引申到“[25] × [47]可以怎么計(jì)算”。從圖8-2中可以看出,小長方形含有8個(gè)[135],大長方形含有35個(gè)[135],小長方形面積是大長方形面積的[835],所以[25] × [47]=[835],這就幫助學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)乘法的意義。

    3.創(chuàng)新使用數(shù)軸,優(yōu)化計(jì)算方法

    關(guān)于運(yùn)算能力的表述之一就是“根據(jù)法則與運(yùn)算律尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑”。在教學(xué)時(shí),可以創(chuàng)新使用數(shù)軸,幫助學(xué)生理解簡便計(jì)算的意義,在算法多樣化中進(jìn)行比較,以選擇更好的計(jì)算方法解決問題。

    【案例7】浙教版教材二年級下冊《簡便計(jì)算》

    聰聰領(lǐng)了198本借書證,強(qiáng)強(qiáng)領(lǐng)了96本借書證。兩人一共領(lǐng)了多少本?

    96+198

    =96+200-2

    =294(本)

    簡便計(jì)算的一個(gè)重要策略就是多加要減,多減要加,學(xué)生往往對此感到難以理解。教師可以通過“數(shù)軸”,幫助學(xué)生建立關(guān)聯(lián),以更好地理解計(jì)算的過程(如圖9)。

    (三)借形促思:體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想,提升問題解決能力

    小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透。數(shù)軸中隱含著很多數(shù)學(xué)思想方法,包括對應(yīng)、極限、函數(shù)等,在教學(xué)中可以結(jié)合數(shù)軸,滲透數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。

    1.利用對應(yīng)關(guān)系,感悟?qū)?yīng)思想

    對應(yīng)思想是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)或者是負(fù)數(shù),都可以在數(shù)軸上找到一一對應(yīng)的點(diǎn),這種對應(yīng)關(guān)系有助于學(xué)生找到不同數(shù)之間的關(guān)系。

    【案例8】浙教版教材三年級下冊《認(rèn)識小數(shù)(二)》

    看圖填數(shù),并比較大小。

    為了讓學(xué)生更好地比較兩個(gè)數(shù)的大小,可以把兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示出來,這樣學(xué)生的思維就有了載體。如圖10,第一個(gè)數(shù)軸上A、B兩個(gè)數(shù)分別表示1.2和2.1,1.2<2.1,第二個(gè)數(shù)軸上A、B兩個(gè)數(shù)分別表示0.12和0.21,0.12<0.21。通過數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小,就顯得更加清晰了。

    2.觀察發(fā)展趨勢,感悟極限思想

    極限思想是指從有限中認(rèn)識無限的一種數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)生容易接受圖形中的極限思想,卻很難接受計(jì)算中的極限思想,利用數(shù)軸的直觀性可以很好地幫助學(xué)生認(rèn)識和理解。

    【案例9】人教版教材六年級上冊《數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形》

    計(jì)算:[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+…。

    這是教材第107頁上的例2。通過觀察發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的分子都是1,后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是前一個(gè)分?jǐn)?shù)分母的2倍,這些分?jǐn)?shù)可以用什么方法求和呢?有的學(xué)生通過不斷地相加,發(fā)現(xiàn)所得到的分?jǐn)?shù)越來越接近1。這只是一個(gè)猜測,教師可以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上進(jìn)行驗(yàn)證,并將這些數(shù)在數(shù)軸上一一對應(yīng)寫出(如圖11),學(xué)生發(fā)現(xiàn)確實(shí)它的和越來越接近1。

    3.發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律,感悟函數(shù)思想

    函數(shù)描述了兩個(gè)量在變化過程中的相互依存關(guān)系,在小學(xué)階段涉及函數(shù)思想的學(xué)習(xí)中,可以依托數(shù)軸找到其中的變與不變。

    【案例10】浙教版教材一年級上冊《20以內(nèi)進(jìn)位加法(一)》

    分別求出每種顏色的線的長度。

    圖12呈現(xiàn)的是教材“練一練十一”中的第5題。教師先請學(xué)生通過數(shù)軸求出每條線段的長度,接著,教師對此題進(jìn)行拓展,請學(xué)生有規(guī)律地寫出“和是14”的算式,5+9=6+8=7+7=8+6=9+5=14,找出在和不變的情況下,一個(gè)加數(shù)依次增加而另一個(gè)加數(shù)依次減少的變化規(guī)律。教師還可以請學(xué)生寫加法算式,橫線表示的5不變,豎線表示的數(shù)從0開始每增加1,那么所得到的和也增加1,由此感受函數(shù)思想。

    數(shù)軸具有簡潔、直觀、易操作的特點(diǎn),對于學(xué)生理解數(shù)概念、發(fā)展運(yùn)算能力、感悟數(shù)學(xué)思想等發(fā)揮著積極的作用。在教學(xué)中要善于利用這一資源,促進(jìn)學(xué)生理解知識、感悟思想、發(fā)展能力,為他們的后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

    [2]吳正憲,劉延革.發(fā)展兒童數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力[M].北京:教育科學(xué)出版社,2017.

    [3]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解讀及教學(xué)案例[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2017.

    [4]張?zhí)煨?,邵?一年級教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2009.

    (浙江省杭州市大學(xué)路小學(xué)? ?310009)

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