怎樣更好地理解圓錐體積的計(jì)算方法

陳選峰

將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線剪開(kāi)，可得到兩個(gè)相等的直角三角形，每個(gè)直角三角形的面積是長(zhǎng)方形面積的二分之一，而直角三角形和長(zhǎng)方形分別繞著同一條邊旋轉(zhuǎn)一周后得到的圓錐體積卻是圓柱的三分之一。怎么理順這對(duì)“矛盾”，幫助學(xué)生更好地理解圓錐體積的計(jì)算方法？可以采取以下步驟進(jìn)行教學(xué)。

一、復(fù)習(xí)計(jì)算，初悟“矛盾”

1.呈現(xiàn)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)關(guān)系

教師出示圖1，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)圖中兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的寬不變，長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，面積擴(kuò)大2倍。

2.借助旋轉(zhuǎn)，初悟“矛盾”

（1）由面及體，感知關(guān)系

將圖1中的長(zhǎng)方形分別以長(zhǎng)度為6的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)圓柱（圖2）。請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)這兩個(gè)圓柱的體積有什么關(guān)系，為什么。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的寬不變，長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，面積擴(kuò)大2倍，以寬為軸旋轉(zhuǎn)一周后，所得的圓柱體積擴(kuò)大了4倍。

（2）運(yùn)用想象，感悟“矛盾”

課件演示將圖2的兩個(gè)圓柱進(jìn)行疊加得到圖3的過(guò)程。請(qǐng)學(xué)生想一想：圖中①號(hào)和②號(hào)長(zhǎng)方形分別旋轉(zhuǎn)一周，所占的體積誰(shuí)大？

學(xué)生體會(huì)到：①號(hào)長(zhǎng)方形離中心軸遠(yuǎn)，其旋轉(zhuǎn)所掃過(guò)空間的體積大。

二、對(duì)比感悟，猜測(cè)關(guān)系

教師出示圖4，請(qǐng)學(xué)生先說(shuō)一說(shuō)圖中三角形與長(zhǎng)方形的面積關(guān)系，再想一想：圖4中的三角形和長(zhǎng)方形分別繞著長(zhǎng)度為6的邊旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到什么圖形？（學(xué)生交流后，教師出示圖5）接著請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：圖5中圓錐與圓柱有什么相同點(diǎn)？引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)圓錐與圓柱等底等高。最后請(qǐng)學(xué)生猜一猜：等底等高的圓錐與圓柱的體積有什么關(guān)系？

教師將圖5中的兩個(gè)圖形進(jìn)行疊加，得到圖6。請(qǐng)學(xué)生思考：組成長(zhǎng)方形的兩個(gè)直角三角形有什么關(guān)系？圓錐由三角形①旋轉(zhuǎn)而成，三角形②旋轉(zhuǎn)后的空間是哪部分？三角形①和②分別旋轉(zhuǎn)一周，得到的體積誰(shuí)大？

通過(guò)交流學(xué)生明白，因?yàn)槿切微谛D(zhuǎn)得到的體積大，所以圓錐的體積比等底等高圓柱體積的二分之一要小。

三、實(shí)驗(yàn)操作，推導(dǎo)關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生利用等底等高的圓錐與圓柱形容器，進(jìn)行以下操作。

（1）將圓錐盛滿水，倒入圓柱中，觀察水占圓柱容器的幾分之幾。

（2）重復(fù)前面的操作，思考圓錐體積與圓柱體積的關(guān)系。

之后，引導(dǎo)學(xué)生討論：等底等高的圓錐與圓柱的體積有什么關(guān)系？結(jié)合學(xué)生的回答歸納：圓錐體積是等底等高圓柱體積的三分之一。再讓學(xué)生思考：根據(jù)圓柱體積的計(jì)算方法，圓錐的體積可以怎么計(jì)算？根據(jù)討論小結(jié)：圓錐體積等于底面積乘高乘三分之一。

以上學(xué)習(xí)過(guò)程，通過(guò)呈現(xiàn)圖形體積關(guān)系的演變過(guò)程，讓學(xué)生先從空間維度感知圓錐與圓柱的體積關(guān)系，再借助實(shí)驗(yàn)操作幫助學(xué)生更好地理解了圓錐體積的計(jì)算方法。

（浙江省臨海市哲商小學(xué)? ?317099）