一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程三個(gè)正解的存在性

楊旭升，魏 嘉

(蘭州文理學(xué)院 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

0 引言

非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題是邊值問題的一個(gè)重要組成部分.非線性分?jǐn)?shù)階微分方程是傳統(tǒng)的非線性整數(shù)階微分方程的衍生和推廣.通過對(duì)很多非線性分?jǐn)?shù)階微分方程問題的探討，可以知道非線性分?jǐn)?shù)階微分方程模型要比非線性整數(shù)微分方程模型更加實(shí)用、更加精確、更具推廣性.近年來(lái),非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題在材料力學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、粘彈性理論、控制工程、多孔介質(zhì)等研究領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用,與此同時(shí)愈來(lái)愈多的科研工作者對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題產(chǎn)生了濃厚興趣并取得了一些很好的研究成果[1-5].

2012年，Xu[6]研究了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

正解的存在性.其中，1<α≤2,2≤β,η≤1.

2015年，Ma[7]研究了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

正解的存在性.其中,2<α≤3,m>1是整數(shù),βi>0,1

受此啟發(fā),本文研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(1)

令E=C1[0,1]是一Banach空間且有范數(shù)

‖u‖=max{‖u‖0,‖u′‖0},

其中

‖u‖0=maxt∈[0,1]|u(t)|,
‖u′‖0=maxt∈[0,1]|u′(t)|.

為了討論邊值問題(1)正解的存在性,做如下假設(shè)：

f:(0,1]×R+×R+→R+,并且存在一常數(shù)0<σ<1使得tσf(t,x0,x1)在 [0,1]×R+×R+上連續(xù)，其中R+=[0,+∞).

另外，假設(shè)φ,θ是P上非負(fù)的連續(xù)凸泛函,φ是P上非負(fù)的連續(xù)凹泛函,ψ是P上非負(fù)的連續(xù)泛函，則對(duì)于非負(fù)數(shù)e,c,d,h,定義如下的凸集：

P(φ,h)={x∈P/φ(x)P(φ,φ,c,h)=
{x∈P/φ(x)≥c,φ(x)≤h}；
P(φ,θ,φ,c,d,h)=
{x∈P/c≤φ(x),θ(x)≤d,φ(x)≤h}；
R(φ,ψ,e,h)=
{x∈P/e≤ψ(x),φ(x)≤h}.

本文所用的工具為Avery-Henderson不動(dòng)點(diǎn)定理.

φ(x)≤ψ(x) 且‖x‖≤Lφ(x),

(1){x∈P(φ,θ,φ,c,d,h):φ(x)>c}≠?, 并且對(duì)于x∈P(φ,θ,φ,c,d,h)有φ(Ax)>c;

(2)對(duì)于x∈P(φ,φ,c,h)有φ(Ax)>c和θ(Ax)>d;

(3)0?R(φ,ψ,e,h),ψ(Ax)

并且

c<φ(x1),e<ψ(x2),

φ(x2)

1 預(yù)備知識(shí)

引理1給定y∈L1[0,1]∩C(0,1),則邊值問題

(2)

的解可以表示為

其中

證明將式(2)中的方程變?yōu)榕c之等價(jià)的積分方程

其中C1,C2,C3∈R,即有

利用式(2)中邊界條件,可得

再由u′(1)=γu(η),可得

其中：

即有

引理2存在a,b∈(0,1)，且a

其中：

證明由于P′(s)≥0,s∈[0,1],故P(s)關(guān)于s是非減的,因此對(duì)于任意的s∈[0,1],有

顯然

即對(duì)于t,s∈[0,1],有

一方面，當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí),有

當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí)，有

G(t,s)≥0.

另一方面，當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí)，有

對(duì)于任意的t∈[a,b],s∈[0,1],有

在C1[0，1]上定義錐P：

為了證明邊值問題(2)有一個(gè)正解u(t)，得證明當(dāng)且僅當(dāng)u是T在P上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理3算子T:P→C1[0，1]是連續(xù)的.

(3)

由于‖un-u‖→0,對(duì)于上面的δ>0,存在N,使得當(dāng)n>N,對(duì)任意的t∈[0,1],有

|un(t)-u(t)|≤‖un-u‖<δ，

于是，對(duì)于任意的t∈[0,1],n>N,由式(3),有

(4)

所以，對(duì)于n>N,t∈[0,1],由式(4),有

和

可得

‖Tun-Tu‖→0,(n→∞),

即T在C1[0,1]是連續(xù)的.

引理4T:P→P是全連續(xù)的.

證明由定理2可得

(Tu)(j)(t)≥0(j=0,1),t∈[0,1]

和

因此

易證T(P)?P.對(duì)于任意有界集V

2 主要結(jié)果

在P上定義凸函數(shù)ψ(u)=φ(u)=φ(u)=‖u‖,且定義凸泛函

其中a,b如引理2所述.

取u(t)=cet-0.5a,t∈[0,1],可得u∈P,‖u‖c,因此

{u∈P(φ,θ,φ,c,d,h):c<φ(u)}≠?.

對(duì)于u∈P(φ,θ,φ,c,d,h),由(S2)得

其次,取u∈P(φ,φ,c,h),‖Tu‖>d.由Tu∈P,有

最后,由于ψ(0)=0，所以0∈R(φ,ψ,e,h).取u∈R(φ,ψ,e,h),ψ(u)=‖u‖=e,由(S3)得

故ψ(Tu)=‖Tu‖

綜上,定理1的條件全部滿足,分?jǐn)?shù)階微分方程(1)至少存在三個(gè)正解u1,u2,u3,且滿足