理解與遷移：“數(shù)的運算”板塊教學(xué)思考與實踐

摘 要：從教材和學(xué)情出發(fā)，對“數(shù)的運算”板塊進行分析后發(fā)現(xiàn)，某些單元或課時在教學(xué)中具有統(tǒng)攝作用。因此，在教學(xué)這部分關(guān)鍵課時、關(guān)鍵單元時，可嘗試以“理解與遷移”為導(dǎo)向，通過課堂實踐提煉基本課型，如算理理解課、算法形成課、運算技巧課、規(guī)律探索課、簡便計算課等，展開單元整體教學(xué)，為計算教學(xué)提供可行性參考。

關(guān)鍵詞：理解與遷移；數(shù)的運算；乘法運算；基本課型

為了更有效地教學(xué)，我們系統(tǒng)梳理了人教版教材“數(shù)的運算”板塊，分析了12冊教材中的29個運算單元后發(fā)現(xiàn)，有些單元或例題的算理相同、算法相似；有些單元例題提供了豐富的學(xué)習(xí)材料，可以幫助學(xué)生形成算法；還有些單元例題是計算程序的教學(xué)等。顯然，教材在編排不同的計算內(nèi)容時并不是千篇一律的，而是各有側(cè)重，有些著力于算理的理解，有些注重算法的形成。那么，計算教學(xué)中是否存在一些關(guān)鍵單元或關(guān)鍵課時，對算理的理解具有核心作用，且有助于學(xué)生遷移應(yīng)用？我們該如何開展這些內(nèi)容的教學(xué)，幫助學(xué)生更好地實現(xiàn)遷移呢？

帶著這一思考，我們對人教版教材中的7個乘法單元、7個除法單元、12個加減法單元和3個混合運算單元做了進一步分析，試圖尋找每種運算教學(xué)中的關(guān)鍵單元或課時，并開展深入研究與課堂實踐。本文以乘法內(nèi)容為例，闡述我們在“理解與遷移”導(dǎo)向下的教學(xué)思考和實踐。

一、基于“理解與遷移”，定位關(guān)鍵單元

所謂理解與遷移，指的是學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，將知識、方法或思維方式等遷移到新知的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了變化，更加注重學(xué)生的自主性和主體性。具體到計算單元教學(xué)中，就是將計算的本質(zhì)理解到位，然后在同類型運算中能夠靈活遷移應(yīng)用，解決新問題。在教材整理的基礎(chǔ)上，我們對乘法內(nèi)容所在的6冊教材從單元主題、例題編排、材料背景等多個維度進行了深入分析，梳理了各單元的主要知識點（如表1），從學(xué)科邏輯和學(xué)生視角兩個維度定位關(guān)鍵單元，認(rèn)為整數(shù)乘法部分的關(guān)鍵單元是《多位數(shù)乘一位數(shù)》：從教材編排來看，《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元實現(xiàn)了從表內(nèi)乘法到乘法豎式教學(xué)的飛躍，對后續(xù)乘法運算教學(xué)具有重要意義；而從學(xué)情來看，多位數(shù)乘一位數(shù)是實現(xiàn)“理解與遷移”的源頭。小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法的關(guān)鍵單元是《分?jǐn)?shù)乘法》：從數(shù)的意義來說，分?jǐn)?shù)乘法的算理能夠遷移至小數(shù)乘法；從運算的意義來說，分?jǐn)?shù)乘法意義的理解是對小數(shù)乘法的有益補充。

（一）將《多位數(shù)乘一位數(shù)》設(shè)為關(guān)鍵單元的原因分析

1.其算理能夠遷移至后續(xù)筆算乘法

《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元是筆算乘法的起始單元，對筆算乘法算理理解具有“開啟”的意義和遷移作用，教學(xué)的核心目標(biāo)是在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的核心概念是計數(shù)單位的累積，乘法教學(xué)也應(yīng)以此為關(guān)鍵。《表內(nèi)乘法》是乘法教學(xué)的基礎(chǔ)，詮釋乘法的意義；《兩位數(shù)乘一位數(shù)》則是乘法運算教學(xué)的核心，幫助學(xué)生從乘法口訣過渡到一般乘法。“把兩位數(shù)拆分為整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，通過計數(shù)單位的累加求出得數(shù)。”當(dāng)學(xué)生深刻理解了這一算理，就可以繼續(xù)依托數(shù)的意義和運算的意義，遷移學(xué)習(xí)三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)等乘法內(nèi)容。

同一種運算，一般都是從簡單程序（參與運算的兩個量的位數(shù)比較少）入手，逐漸轉(zhuǎn)向復(fù)雜程序的教學(xué)。從簡單程序到復(fù)雜程序，通常算理是相同的，因而學(xué)生在學(xué)習(xí)這一系列內(nèi)容時，若能將關(guān)鍵課時的算理理解透徹，隨后在其他復(fù)雜程序?qū)W習(xí)過程中則可以進行遷移應(yīng)用。多位數(shù)乘一位數(shù)既是筆算乘法的關(guān)鍵單元，也屬于簡單程序。乘法運算的教學(xué)先將兩位數(shù)乘一位數(shù)的豎式結(jié)構(gòu)由兩層簡化為一層，再將算理遷移應(yīng)用于三位數(shù)乘一位數(shù)筆算。以123×13為例，乘法運算的學(xué)習(xí)過程如圖1所示。隨著乘數(shù)位數(shù)的增加，運算程序略顯復(fù)雜，因此，還需重點解決“連續(xù)進位”這一難點。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算則是通過拆分計數(shù)單位，使學(xué)生經(jīng)歷兩次兩位數(shù)乘一位數(shù)的過程，再相加，這其實是運算程序疊加的過程。如“12×13”，先算“3×12”，再算“10×12”，然后將乘得的結(jié)果相加。

2.其內(nèi)容是理解乘法算法的基石

為了解學(xué)生的學(xué)情基礎(chǔ)和能力儲備，我們在學(xué)習(xí)整數(shù)乘法的三個階段，對從6個班級隨機抽取的50位學(xué)生進行了前測，前測內(nèi)容如表2。

我們分別從計算的正確率和算理理解兩個維度統(tǒng)計了數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對于多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算，正確率均高于80%，但對算理的理解并不理想，尤其在《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元的前測中，學(xué)生對于“15×3”這樣需要進位的乘法算理的理解是模糊的，存在一定的認(rèn)知障礙。這不僅是本單元，也是整個乘法運算教學(xué)需要解決的難點。

不同的運算內(nèi)容，學(xué)生對算理的理解程度也存在差異。如《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元的前測中，半數(shù)以上的學(xué)生只會計算但不明晰算理，而在《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》和《三位數(shù)乘兩位數(shù)》單元的前測中，會計算的學(xué)生人數(shù)和理解算理的人數(shù)接近。

分析后我們發(fā)現(xiàn)，這可能與學(xué)生在學(xué)習(xí)《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元時，能否理解筆算乘法的算理，并主動將其遷移應(yīng)用于后續(xù)學(xué)習(xí)中有關(guān)。

學(xué)生已有的知識技能和思想是學(xué)習(xí)新知識、掌握新技能、形成新方法的肥沃土壤。在這一成長點之上，學(xué)生可順利地在新舊知識之間建立聯(lián)系、體會新知的本質(zhì)內(nèi)涵，甚至進一步實現(xiàn)更高階的思維積累。例如，前測中，學(xué)生能將三位數(shù)乘兩位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘一位數(shù)的算理聯(lián)系起來，主動應(yīng)用“計數(shù)單位的乘加”這一核心知識，推動活動經(jīng)驗的遷移。當(dāng)學(xué)生不能用現(xiàn)成的知識來解決新問題時，往往會自發(fā)地進行畫一畫、圈一圈等操作活動來嘗試解決問題，而這樣的活動經(jīng)驗學(xué)生在初次理解同類計算原理的時候（即學(xué)習(xí)“多位數(shù)乘一位數(shù)”時）有過充分體驗，因此在后續(xù)學(xué)習(xí)中能夠幫助學(xué)生更好地遷移運用、理解算理。例如，第二次前測中，就有6位學(xué)生通過點子圖來計算14×12，說明學(xué)生可以借助以往的活動經(jīng)驗來學(xué)習(xí)新知。

可見，整數(shù)乘法運算中，學(xué)生的認(rèn)知難點在于對多位數(shù)乘一位數(shù)的算理理解，教學(xué)中一旦突破了這一難點，他們就能夠在理解的基礎(chǔ)上將算理遷移應(yīng)用于同類型的內(nèi)容學(xué)習(xí)中，且越往后，遷移能力的作用越明顯，這也從側(cè)面說明了，學(xué)生在新知學(xué)習(xí)時是具備選擇合適的方法靈活遷移應(yīng)用的能力的。

（二）《分?jǐn)?shù)乘法》設(shè)為關(guān)鍵單元的原因分析

算理和算法的教學(xué)都離不開對數(shù)的意義和運算意義的理解，換言之，數(shù)的意義和運算的意義是算理理解的重要基礎(chǔ)。通過分析、研討人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《小數(shù)乘法》單元和六年級上冊《分?jǐn)?shù)乘法》單元，我們發(fā)現(xiàn)：《小數(shù)乘法》單元側(cè)重算法的學(xué)習(xí)，《分?jǐn)?shù)乘法》單元則側(cè)重算理的理解，而小數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法在本質(zhì)上是相通的，因此可以將《分?jǐn)?shù)乘法》設(shè)為這部分的關(guān)鍵單元。

1.其算理能夠遷移至小數(shù)乘法

小數(shù)是分?jǐn)?shù)的特殊形式，只要學(xué)生深入理解了分?jǐn)?shù)乘法的意義，就能夠很容易地將小數(shù)轉(zhuǎn)化成分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)，然后用分?jǐn)?shù)乘法的算理解釋小數(shù)乘法。因此，在分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)中，需要突破的就是“新計數(shù)單位的產(chǎn)生”這一難點。

2.其內(nèi)容是理解小數(shù)乘法的有益補充

人教版教材將小數(shù)乘法分為兩個部分教學(xué)：小數(shù)乘法計算和解決問題。其中，計算部分的教學(xué)分為三個層次：小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、認(rèn)識小數(shù)倍，側(cè)重用積的變化規(guī)律幫助學(xué)生將整數(shù)乘法的經(jīng)驗遷移到小數(shù)乘法中。這樣編排有一定的道理，卻弱化了小數(shù)乘法的意義及算理。例如，教材編排小數(shù)乘小數(shù)時采用面積情境，根據(jù)“面積=長×寬，所以用乘法計算”這一邏輯展開教學(xué)，回避了小數(shù)乘小數(shù)本身的乘法意義，依托積的變化規(guī)律展開教學(xué)，更側(cè)重于算法的掌握，并沒有深入剖析小數(shù)乘小數(shù)的算理?！斗?jǐn)?shù)乘法》的編排比《小數(shù)乘法》更側(cè)重于算理的理解，注重用分?jǐn)?shù)和乘法的意義來詮釋算理，有助于學(xué)生從本質(zhì)上去理解分?jǐn)?shù)乘法的算理。即使學(xué)生在《小數(shù)乘法》單元沒有深入探究算理，在《分?jǐn)?shù)乘法》單元也可以通過回顧或類推的方式幫助他們將算理遷移應(yīng)用于小數(shù)乘法。因此，將《分?jǐn)?shù)乘法》設(shè)為關(guān)鍵單元是合適的。

二、立足“理解與遷移”，提煉并應(yīng)用計算教學(xué)課型

基于以上分析，我們試圖以“理解與遷移”為導(dǎo)向，在計算教學(xué)中開展實踐研究，在落實單元整體教學(xué)的過程中，形成可行性對策，從不同角度進行了實踐嘗試，提煉了幾種典型課型，并形成范式。

（一）不同課型的內(nèi)涵和價值追求

我們將計算教學(xué)的課型分為5類，算理理解課、算法形成課、運算技巧課、規(guī)律探討課和簡便運算課。其中，算理理解課是各類課型的重要基礎(chǔ)，主要解決為什么這樣算的問題；算法形成課依托算理理解，旨在提煉計算的一般程序，解決怎樣算的一般算法問題；運算技巧課側(cè)重于計算的精巧性；規(guī)律探討課主要引導(dǎo)學(xué)生感悟運算的意義；簡便運算課則根據(jù)運算規(guī)則和數(shù)據(jù)特征體會運算的簡便性。算理理解課主要解決“理”，指向思維層面，其他四者都是關(guān)于“法”，指向運算技能。通過對不同課型的研究實踐，在明理知法的基礎(chǔ)上，學(xué)生可更好地將其進行遷移運用。

1.算理理解課：重視橫向?qū)Ρ?，揭示運算本質(zhì)

算理理解課側(cè)重研究“數(shù)”的意義和“運算”的意義，這些是學(xué)生正確計算的前提，一般在單元起始課中教學(xué)。大部分學(xué)生在課前雖然能夠正確計算，但不明白算理，也有些學(xué)生對算理和算法都是模糊的，不論哪種學(xué)情，核心問題都是算理理解的問題。因此，算理理解課首先需以“任務(wù)驅(qū)動”的方式引導(dǎo)學(xué)生嘗試計算，并借助多種學(xué)習(xí)材料解釋為什么這樣算，在交流反饋中引導(dǎo)學(xué)生橫向?qū)Ρ?，探尋多種方法之間的關(guān)聯(lián)，在求同、求異的過程中溝通運算本質(zhì)、深化對算理的理解，便于遷移運用。

2.算法形成課：明確計算方法，熟練一般步驟

算法形成課旨在幫助學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，是算理理解課的延續(xù)和補充，側(cè)重形成一般的、較為簡潔的計算方法。學(xué)生在理解算理后形成的計算方法可能是多樣的，雖然能確保計算結(jié)果的正確性，但是否每種方法都是精簡的，甚至是精巧的，需要在一定題量的計算、對比、分析中逐漸感悟和優(yōu)化，并形成一般步驟。因此，算法形成課需精選單元典型題目讓學(xué)生獨立計算，并在交流算法的過程中通過對比、理解、感悟等，優(yōu)化形成最具一般性的算法，提煉一般計算步驟或程序，使其更具可遷移性和普遍應(yīng)用價值。

3.運算技巧課：豐富運算技巧，提高計算能力

運算技巧課立足熟練計算，側(cè)重計算過程的精巧性，旨在提高學(xué)生計算的速度和正確率，對發(fā)展學(xué)生數(shù)感、豐富計算技能、提高計算能力具有十分重要的作用。教學(xué)時需精心設(shè)計學(xué)習(xí)材料，有意識地挖掘練習(xí)或課本外的相關(guān)內(nèi)容，重組后形成題組或變式，放大學(xué)習(xí)背景，拓寬思維視野，使學(xué)習(xí)更具挑戰(zhàn)性。因此，運算技巧課可以從數(shù)的特征和運算的關(guān)系、規(guī)律等入手，以獨特的學(xué)習(xí)材料引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用運算的技巧和規(guī)律，進一步優(yōu)化算法、總結(jié)技巧并遷移運用，從而將某些帶有數(shù)據(jù)特點的計算問題變得簡單。

4.規(guī)律探討課：放大探究過程，感悟運算意義

規(guī)律探討課的教學(xué)重點應(yīng)從“知曉規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律計算”轉(zhuǎn)變?yōu)椤疤骄恳?guī)律，感悟運算意義”，不僅要幫助學(xué)生達成知識與技能目標(biāo)，更要著力于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，規(guī)律探討課需以探尋規(guī)律為學(xué)習(xí)任務(wù)，組織學(xué)生猜想規(guī)律并計算驗證，在觀察、思考、嘗試、驗證一系列活動中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感悟運算的意義。探究能力提高了，運算意義理解更深刻了，才能更有效地實現(xiàn)遷移運用。

5.簡便計算課：結(jié)合運算定律，培養(yǎng)簡算意識

簡便計算課旨在幫助學(xué)生學(xué)會巧妙運用四則運算規(guī)則和運算定律等，簡化運算過程，提高運算的正確率和精巧性，形成一定計算范式。化簡運算的過程離不開對算式意義的理解和數(shù)的意義的理解，因此，簡便計算課需要讓學(xué)生通過靈活遷移運用運算定律、積（商）的變化規(guī)律、拆數(shù)等方法實現(xiàn)簡算目的，培養(yǎng)簡算意識，并逐漸形成用簡便方法計算的能力。

（二）不同課型在乘法內(nèi)容的教學(xué)中的應(yīng)用

人教版小學(xué)階段涉及乘法的單元共有7個，這些單元分布在二至六年級的不同階段，從教材編排看，這部分內(nèi)容呈離散狀態(tài)，但從知識邏輯來看，這些內(nèi)容前沿后聯(lián)、關(guān)系緊密，具有連續(xù)性，其算理與算法具有較大共同性和遷移性。因此，我們在實踐過程中采取不同的課型教學(xué)這些單元的典型課例，具體安排如表3所示。

下面以整數(shù)乘法關(guān)鍵單元《多位數(shù)乘一位數(shù)》為例，結(jié)合一些課例具體介紹該單元的基本課型。

1.算理理解課：《兩位數(shù)乘一位數(shù)》

無論從前測還是課堂反饋上來看，學(xué)生對于不進位乘法的算理和算法沒有困難，且從進位乘法切入教學(xué)，更具一般性，更利于學(xué)生體驗豎式的價值，因此，《兩位數(shù)乘一位數(shù)》一課的第一個教學(xué)環(huán)節(jié)直接讓學(xué)生計算進位乘法。學(xué)生在自主探究計算方法的基礎(chǔ)上進行交流與反饋。然后，教師追問：“這些方法之間有聯(lián)系嗎？”引導(dǎo)學(xué)生從整體上研究所有方法，發(fā)現(xiàn)多種方法之間的關(guān)聯(lián)，最終內(nèi)化算理，促進算理的遷移運用。再通過對比、思辨和討論，體會一層豎式的簡潔和普適性，而兩層豎式則更加清晰地還原了計算的過程，從而進一步內(nèi)化算理。具體教學(xué)環(huán)節(jié)詳見表4。

2.算法形成課：《乘數(shù)中有0的乘法》

本課以乘數(shù)中有0的乘法為載體，結(jié)合乘法的意義和多位數(shù)乘一位數(shù)的算理，讓學(xué)生經(jīng)歷探索乘積中的0產(chǎn)生的三種途徑，掌握0在乘數(shù)中間和末尾時的筆算方法，在思考與實踐中感受當(dāng)乘數(shù)末尾是0時，積的末尾也一定是0，而當(dāng)0在中間時，乘積里不一定有0。具體教學(xué)環(huán)節(jié)詳見表5。

3.運算技巧課：《乘法算式謎》

《乘法算式迷》一課為本單元的運算技巧課，具體教學(xué)環(huán)節(jié)、目標(biāo)與學(xué)習(xí)材料如表6。本課沒有完全按照教材編排的內(nèi)容教學(xué)，而是設(shè)置了“嘗試獨立解決數(shù)字謎”“改變數(shù)字謎”和“自創(chuàng)數(shù)字謎”三個任務(wù)，逐步推進教學(xué)過程，通過開放的學(xué)習(xí)材料，有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)任務(wù)，開拓學(xué)生的思維空間。反饋時緊緊抓住課堂生成，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)位或整體觀察的角度去尋找突破口，感受豎式各部分的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)歷用所學(xué)的運算法則進行邏輯推理的過程，初步掌握乘法豎式數(shù)字謎的一般方法，為后續(xù)改編和自創(chuàng)數(shù)字謎提供思維支撐。在改編、思考、辨析和自創(chuàng)的過程中深化學(xué)生對數(shù)字謎的理解，進一步感受豎式中各部分的內(nèi)在聯(lián)系，在遷移運用中鞏固學(xué)生的計算技能，豐富運算技巧，培養(yǎng)邏輯推理能力。

《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元中沒有提到的規(guī)律探尋課和簡便運算課在其他單元中也有應(yīng)用，就不再一一列舉。從領(lǐng)域視角看，五種課型前后銜接、互聯(lián)互補；從單元視角看，五種類型未必在某個單元中都存在，需根據(jù)內(nèi)容靈活取舍，但不管是以怎樣的形式開展，最重要的導(dǎo)向始終是讓學(xué)生在意義理解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)自主遷移。我們通過提煉這幾類課型開展單元整體教學(xué)，既是為了重組單元內(nèi)容，充分發(fā)揮理解與遷移在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的作用，更是為了促使學(xué)生經(jīng)歷計算教學(xué)中方法多樣化、一般化和最優(yōu)化的思維過程。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]史寧中.基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]張丹，于國文.“觀念統(tǒng)領(lǐng)”的單元教學(xué)：促進學(xué)生的理解與遷移[J].課程·教材·教法，2020（5）.

[4]張丹.用“結(jié)構(gòu)”的力量促進學(xué)生的理解與遷移[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（7-8）.

[5]張奠宙，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[6]馬蘭，盛群力，課堂教學(xué)設(shè)計——整體化取向[M].杭州：浙江教育出版社，2011.

[7]鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M].上海：上海教育出版社，1998.

（鄭志霞，浙江省湖州市愛山小學(xué)教育集團，郵編：313000）