一種帶有服務(wù)承諾的隨心飛產(chǎn)品的設(shè)計(jì)研究

于海躍 馬遠(yuǎn)征 鄭歡

摘 要：本文以疫情期間國內(nèi)航空公司推出的有預(yù)留座位數(shù)保證的隨心飛產(chǎn)品為背景，研究了一個(gè)兩階段收益最大化問題：第一階段決策隨心飛產(chǎn)品的定價(jià)與預(yù)留座位數(shù)量，第二階段考慮機(jī)票銷售過程中的動態(tài)容量控制決策。針對第二階段的問題，基于動態(tài)規(guī)劃方法構(gòu)建最大期望收益模型，使用確定型線性規(guī)劃對該模型進(jìn)行近似和簡化，并證明了漸近最優(yōu)性。原問題繼而被轉(zhuǎn)化為一個(gè)混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，利用改進(jìn)的McCormick包絡(luò)方法對其線性松弛后進(jìn)行求解。數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)，通過合理的產(chǎn)品設(shè)計(jì)，在普通機(jī)票需求較高的情況下，隨心飛產(chǎn)品仍然可以為航空公司帶來額外收益，這個(gè)結(jié)果肯定了后疫情時(shí)代隨心飛產(chǎn)品的存在價(jià)值。數(shù)值算例還給出了最優(yōu)預(yù)留座位決策與普通機(jī)票價(jià)格、隨心飛產(chǎn)品需求函數(shù)參數(shù)之間的關(guān)系，為隨心飛產(chǎn)品的設(shè)計(jì)提供了一定的理論指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：收益管理;航空產(chǎn)品設(shè)計(jì);定價(jià);隨心飛

中圖分類號：F224.3文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：2097-0145（2022）02-0026-08doi：10.11847/fj.41.2.26

Design Research on an “All-you-can-fly” Product with Service Commitments

YU Hai-yue， MA Yuan-zheng， ZHENG Huan

（Antai College of Economics and Management， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200030， China）

Abstract：During the covid-19 pandemic， some airlines in China introduced “all-you-can-fly” （AYCF） products that guarantee the number of reserved seats on each flight. We propose a two-stage revenue management problem for the AYCF product. The model decides the selling price and the number of reserved seats in the first stage and allocates the flight seats during the selling period in the second stage. The second stage problem is first formulated as a dynamic programming （DP） model and then approximated by a deterministic linear programming model （DLP）. The DLP is asymptotically optimal to the DP model. The two-stage problem is then formulated as a mixed-integer non-linear programming model. We adopt an improved McCormick envelope method to solve the model approximately. The numerical experiment shows that the AYCF can bring extra revenue with proper design， which affirms the value of AYCF in the post-pandemic era. The numerical experiment also gives insights by showing the relationship between the optimal

design decisions and parameters of both ordinary demand and AYCF demand.

Key words：revenue management; airline fare product design; pricing; all-you-can-fly

1 引言

隨著新冠疫情的擴(kuò)散，世界各地采取的旅行限制和封鎖政策大大影響了航空公司的運(yùn)營。根據(jù)中國民用航空局發(fā)布的行業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)，2020年民航行業(yè)完成旅客運(yùn)輸量41777.82萬人次，比上年下降36.7%。2020年6月，國內(nèi)疫情控制趨于穩(wěn)定，出行限制逐漸放松，但出行需求依舊低迷。為刺激市場，國內(nèi)各大航空公司相繼推出隨心飛產(chǎn)品：購買隨心飛產(chǎn)品后，消費(fèi)者可在產(chǎn)品有效期內(nèi)免費(fèi)、多次兌換符合條件的機(jī)票。由于隨心飛產(chǎn)品的發(fā)售價(jià)格遠(yuǎn)低于其服務(wù)內(nèi)容的市場價(jià)格，該類產(chǎn)品一經(jīng)發(fā)售立即得到市場熱捧。在隨心飛上市初期，受疫情影響，飛機(jī)座位供過于求，因此隨心飛用戶和普通乘客的出行需求均能夠得到妥善滿足。2021年，國內(nèi)航空出行逐漸恢復(fù)，隨心飛用戶與普通機(jī)票乘客之間的資源沖突愈發(fā)明顯。相較于“免費(fèi)”乘機(jī)的隨心飛用戶，航空公司更愿意將座位資源分配給能帶來機(jī)票收益的普通乘客，導(dǎo)致部分隨心飛用戶面臨“兌換難”的問題。后疫情時(shí)代，為刺激消費(fèi)而設(shè)計(jì)的隨心飛產(chǎn)品是否還有繼續(xù)存在的價(jià)值？航空公司是否可以通過優(yōu)化產(chǎn)品設(shè)計(jì)保證隨心飛用戶的權(quán)益和普通乘客市場的收益？本文針對這些問題進(jìn)行分析。

隨心飛產(chǎn)品對用戶可兌換機(jī)票范圍主要有三類限制：可兌換數(shù)量、可兌換時(shí)間和可兌換航班。市場中常見的隨心飛產(chǎn)品多為對單次航班可兌換座位數(shù)量進(jìn)行限制和要求隨心飛用戶在飛機(jī)起飛前m天確認(rèn)行程（如春秋航空“想飛就飛”產(chǎn)品、吉祥“暢飛卡”產(chǎn)品等）。基于這兩類限制，本文以春秋航空“想飛就飛”產(chǎn)品為例研究一個(gè)隨心飛產(chǎn)品設(shè)計(jì)的兩階段收益管理問題。決策包括第一階段的隨心飛產(chǎn)品銷售階段的產(chǎn)品定價(jià)和預(yù)留座位數(shù)量決策，以及第二階段的機(jī)票兌換和銷售階段針對隨心飛用戶及多個(gè)票價(jià)等級下普通乘客的容量控制。E1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

產(chǎn)品設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，其復(fù)雜性主要體現(xiàn)在產(chǎn)品市場環(huán)境（如同類產(chǎn)品競爭、需求不確定性等），其系統(tǒng)性主要體現(xiàn)在設(shè)計(jì)過程（包括市場調(diào)查、產(chǎn)品策劃、概念設(shè)計(jì)、細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)、評估和改進(jìn)、產(chǎn)品提升等流程）。為保證新產(chǎn)品的成功，產(chǎn)品設(shè)計(jì)者既要考慮產(chǎn)品特征與市場環(huán)境的交互作用，又要綜合設(shè)計(jì)過程中的上游流程的約束和下游流程的反饋?zhàn)鞒鱿到y(tǒng)性決策。機(jī)票是一種典型的具有容量和時(shí)間限制的服務(wù)型產(chǎn)品，屬于收益管理領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。其產(chǎn)品設(shè)計(jì)需要基于容量和時(shí)間進(jìn)行決策，本身就是一類復(fù)雜的研究問題。而創(chuàng)新型機(jī)票產(chǎn)品市場環(huán)境更復(fù)雜，導(dǎo)致其產(chǎn)品設(shè)計(jì)難度更大。本文希望結(jié)合現(xiàn)有文獻(xiàn)中收益管理的研究成果，對創(chuàng)新型機(jī)票產(chǎn)品的設(shè)計(jì)決策進(jìn)行優(yōu)化。

隨心飛產(chǎn)品作為疫情時(shí)期的航空公司在產(chǎn)品設(shè)計(jì)上的積極探索，顯示了較強(qiáng)的市場活力，但相關(guān)研究還很有限。本文以隨心飛產(chǎn)品為背景，對該類產(chǎn)品細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)決策（價(jià)格和容量）進(jìn)行優(yōu)化，對新產(chǎn)品在不同市場環(huán)境下的期望收益進(jìn)行評估。據(jù)作者所知，本文是第一篇以隨心飛產(chǎn)品為背景的收益管理研究，這對創(chuàng)新型服務(wù)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和運(yùn)營有著積極意義。在方法上，我們建立了以最大化收益為目標(biāo)的非線性整數(shù)規(guī)劃模型，利用McCormick包絡(luò)[1]對該模型中的雙線性項(xiàng)進(jìn)行線性化松弛，并使用Castro[2]的算法優(yōu)化求解。通過數(shù)值算例分析，我們發(fā)現(xiàn)，即使在普通機(jī)票需求較高的后疫情時(shí)代，通過合理的產(chǎn)品設(shè)計(jì)，隨心飛產(chǎn)品仍然可以為航空公司獲取額外收益。

2 文獻(xiàn)綜述

本文研究的問題與市場營銷和收益管理兩個(gè)領(lǐng)域的研究相關(guān)：隨心飛產(chǎn)品與市場營銷文獻(xiàn)中的訂閱服務(wù)和超前銷售模式具有相似性，飛機(jī)座位的分配則與航空業(yè)的收益管理研究高度相關(guān)。

從隨心飛產(chǎn)品的整個(gè)有效期角度看，不限制總消費(fèi)次數(shù)的特點(diǎn)與訂閱服務(wù)相似。訂閱服務(wù)是針對重復(fù)性消費(fèi)的一種銷售模式，與之相對應(yīng)的是按次（量）收費(fèi)的銷售模式。Randhawa和Kumar[3]研究了租賃行業(yè)中兩種銷售模式的最優(yōu)定價(jià)和庫存水平?jīng)Q策，認(rèn)為訂閱模式可以通過降低市場需求波動來增加收益。Cachon和Feldman[4]從排隊(duì)論角度對兩種銷售模式進(jìn)行比較，認(rèn)為即使在有擁堵的系統(tǒng)中，訂閱策略仍然可以比按次收費(fèi)策略獲得更多利潤。上述結(jié)論對于“隨心飛在后疫情時(shí)代的存在價(jià)值”具有積極意義，但這些文獻(xiàn)主要討論訂閱或按次收費(fèi)兩種策略單獨(dú)使用的情況，而在本文討論的背景下，隨心飛產(chǎn)品與普通機(jī)票產(chǎn)品兩種銷售形式是共存的，因此并不能直接使用這些結(jié)論。

從單次航班角度看，每架飛機(jī)上的隨心飛座位數(shù)量受限，這與營銷文獻(xiàn)中對一次性超前銷售的容量控制相似。在超前銷售的背景下，購買和消費(fèi)兩個(gè)概念是有區(qū)別的[5]。整個(gè)銷售過程分為兩個(gè)階段：超前銷售階段和現(xiàn)貨銷售（消費(fèi)）階段。超前銷售階段中，顧客僅做購買決策而不消費(fèi)（使用）所購買的服務(wù)，因此顧客的購買行為取決于對未來消費(fèi)的期望效用;而現(xiàn)貨銷售階段的顧客購買行為與消費(fèi)行為是同時(shí)進(jìn)行的，購買決策取決于已實(shí)現(xiàn)的消費(fèi)效用。盡管在傳統(tǒng)意義上，普通的飛機(jī)票銷售模式本身也可以被看做是超前銷售[6]，但隨心飛產(chǎn)品的銷售是以普通機(jī)票產(chǎn)品為基準(zhǔn)的超前銷售：當(dāng)顧客購買隨心飛產(chǎn)品時(shí)，是基于對未來較長一段時(shí)間內(nèi)（以春秋航空公司的“想飛就飛”產(chǎn)品為例，該產(chǎn)品有效時(shí)間為183天，而國內(nèi)機(jī)票預(yù)售最早時(shí)間約為90天）的出行需求的期望效用來決定的;而普通乘客在購買機(jī)票時(shí)一般是先有了明確的出行需求再決定購買，因此可以認(rèn)為購買決策是基于已實(shí)現(xiàn)的效用。Xie和Shugan[7]認(rèn)為在容量相對較小時(shí)，對超前銷售進(jìn)行容量控制是最優(yōu)策略。Yu等[8]考慮了顧客對產(chǎn)品估值的差異性程度對超前銷售最優(yōu)策略的影響，進(jìn)一步證實(shí)了Xie和Shugan[7]的結(jié)果。然而，營銷文獻(xiàn)中對超前銷售容量限制的討論主要關(guān)注在定性分析上，定量分析還需參考收益管理領(lǐng)域的文獻(xiàn)。

航空業(yè)的收益管理研究最早可以追溯到1970年代[9]，關(guān)于飛機(jī)座位的容量控制問題的研究快速發(fā)展，從兩個(gè)票價(jià)等級到多個(gè)票價(jià)等級，考慮需求相關(guān)性、超量預(yù)定、升艙等復(fù)雜情況下的最優(yōu)容量控制研究成果豐碩[10～14]。傳統(tǒng)的機(jī)票收益管理中常常利用售票時(shí)間、飛機(jī)艙位和附加服務(wù)等對顧客進(jìn)行細(xì)分，使用預(yù)定限制或投標(biāo)價(jià)格[15，16]等策略，對不同的細(xì)分顧客群體進(jìn)行容量控制。其中投標(biāo)價(jià)格策略本質(zhì)上是一種閾值策略，根據(jù)當(dāng)前剩余資源的邊際機(jī)會成本（議價(jià)能力），為單位需求的投標(biāo)價(jià)格設(shè)置準(zhǔn)入門檻。傳統(tǒng)的機(jī)票收益管理背景下，僅考慮將座位分配給不同機(jī)票價(jià)格種類下的普通乘客，而本文還考慮了實(shí)際投標(biāo)價(jià)格為0的隨心飛用戶。我們基于隨心飛產(chǎn)品的設(shè)計(jì)參數(shù)，計(jì)算隨心飛用戶兌換機(jī)票的邊際收益，實(shí)現(xiàn)隨心飛用戶和普通機(jī)票乘客議價(jià)能力的比較。在此基礎(chǔ)上，我們刻畫了隨心飛背景下容量控制問題最優(yōu)策略的結(jié)構(gòu)。

3 問題描述和模型構(gòu)建

3.1 問題描述

研究問題描述如下：航空公司以最大化收益為目標(biāo)，進(jìn)行兩階段的收益管理決策。第一階段，航空公司在機(jī)票銷售前，預(yù)先向消費(fèi)者提供隨心飛產(chǎn)品。該產(chǎn)品價(jià)格為ffly。用戶購買后可以在有效期范圍內(nèi)不限次數(shù)地乘坐指定航班出行。協(xié)議規(guī)定用戶需在航班起飛日期的m天前完成申請兌換，每趟航班上隨心飛系列產(chǎn)品可兌換數(shù)量不低于cfly張，先兌先得。我們建立一個(gè)模型來刻畫隨心飛產(chǎn)品價(jià)格以及預(yù)留座位數(shù)對該產(chǎn)品銷量的影響，即隨心飛產(chǎn)品銷量gfly是ffly和cfly的函數(shù)。第二階段，航空公司進(jìn)行容量控制，具體地，航空公司將機(jī)票銷售期分為兩個(gè)階段：（1）航空公司確定艙位在隨心飛用戶和普通乘客之間的分配;（2）航空公司確定剩余座位在普通乘客之間的分配。符號說明如表1所示。

Ai是一個(gè)二維向量，表示第i類乘客消耗的資源數(shù)，其中第一個(gè)元素為消耗的總座位資源，第二個(gè)元素為消耗的普通座位資源，Ai=（1，1），i=1，…，n（1，0），i=n+1，第n+1類乘客為隨心飛用戶。

uu∈{0，1}n+1，其中ui=1表示如果第i類乘客在該周期到達(dá)，航空公司接受其購票要求，反之，ui=0。決策u需要滿足容量限制，即：u∈Ustotal，sord：={u∈{0，1}n+1：（stotal，sord）Aiui，i∈I}。E1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

參考收益管理中傳統(tǒng)的獨(dú)立需求模型[17]設(shè)置，暫時(shí)不考慮季節(jié)性因素的影響。假設(shè)：每類乘客在同一階段不同周期的到達(dá)率相同，即pt，i，j=pi，j，j=1，2，i∈I，t∈{1，…，Г}，pi，j為第i類乘客在第j階段的到達(dá)率;隨心飛用戶在每一階段出現(xiàn)的概率相同，即αt=α/Γ1，t∈{1，2，…，Γ1}。此外，收益管理中研究者們常用仿射函數(shù)刻畫價(jià)值與狀態(tài)向量的關(guān)系[18，19]，參考這些研究，我們假設(shè)gfly是ffly和cfly的線性函數(shù)，即gfly（ffly，cfly）=β0+β1ffly+β2cfly，其中g(shù)fly隨ffly的增加遞減，gfly隨cfly的增加遞增。

當(dāng)乘客需求數(shù)小于飛機(jī)容量時(shí)，接受所有乘客即可;當(dāng)乘客需求數(shù)超過飛機(jī)容量時(shí)，如何有效地進(jìn)行容量管理是至關(guān)重要的。為保證問題的重要性，我們提出以下研究假設(shè)：普通乘客總需求期望數(shù)不小于飛機(jī)容量，即∑i∈I[pi，1Γ1+pi，2（Γ-Γ1）]C;隨心飛用戶的期望需求數(shù)不少于預(yù)留座位數(shù)，即α×gfly（ffly，cfly）cfly。

3.2 模型構(gòu)建

基于以上符號說明與假設(shè)，構(gòu)建第一階段的優(yōu)化問題

其中目標(biāo)函數(shù)的第一部分為隨心飛產(chǎn)品帶來的收益，第二部分為普通機(jī)票銷售帶來的收益，y（ffly，cfly）為每趟航班機(jī)票銷售的平均收益。該階段的決策是隨心飛產(chǎn)品價(jià)格和預(yù)留座位數(shù)。

第二階段的航班容量控制問題可以用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型表述，模型為

給定（stotal，sord）和u，以pi，j的概率，第t期的收益為riui，第t+1期的艙位數(shù)為

（stotal，sord）-Aiui;以1-∑i∈{1，…，n+1}pi，j的概率，第t期沒有乘客到來，此時(shí)第t期的收益為0，第t+1的艙位數(shù)為（stotal，sord）。Γ1+1期起，不再需要為隨心飛用戶預(yù)留座位，因此有sord=stotal。該動態(tài)規(guī)劃模型中，狀態(tài)為（stotal，sord），行動為u，回報(bào)函數(shù)為Vt（stotal，sord）。當(dāng)期無顧客到達(dá)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)不變;當(dāng)期有第i類顧客到達(dá)時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為（stotal，sord）=（stotal，sord）-Aiui，其中等號左邊是下期系統(tǒng)狀態(tài)，等號右邊是當(dāng)期系統(tǒng)狀態(tài)減去當(dāng)期消耗座位數(shù)。容易得出，航空公司的最優(yōu)容量控制決策為

ut，i（stotal，sord）=1，（stotal，sord）Ai，riVt+1（stotal，sord）-Vt+1（stotal，sord-Ai）0，其他t∈{1，…，Γ}，i∈{1，…，n+1}，（stotal，sord）∈St

但隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃中狀態(tài)空間的高維性導(dǎo)致了貝爾曼維度詛咒（Bellmans curse of dimensionality）[20]，使得上述兩階段問題難以求解。因此我們借鑒文獻(xiàn)中的分析方法，用確定性線性規(guī)劃（Deterministic linear programming， DLP）[21]近似第二階段的隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃，將第二階段問題描述為

（DLP） yDLP（ffly，cfly）：=maxx∑ni=1[ri（xi，1+xi，2）]

s.t.xi，1pi，1×Γ1， i=1，…，n（4）

xflycfly（5）

xflygfly（ffly，cfly）×α（6）

∑ni=1xi，1+xfly+∑ni=1xi，2C（7）

xi，2pi，2×（Γ-Γ1）， i=1，…，n（8）

xfly，xi，1，xi，20， i=1，…，n（9）

xfly，xi，1，xi，2∈N， i=1，…，n（10）

其中目標(biāo)函數(shù)是最大化航班的收益。約束（4）是第一階段普通乘客接收數(shù)不超過期望需求數(shù)的限制;約束（5）是隨心飛用戶接收數(shù)限制，隨心飛用戶的需求數(shù)大于等于預(yù)留座位數(shù)時(shí)，隨心飛用戶接收數(shù)不能少于預(yù)留座位數(shù);約束（6）是隨心飛用戶接收數(shù)不超過期望需求數(shù)的限制;約束（7）是容量限制;約束（8）是第二階段普通乘客接收數(shù)不超過需求數(shù)的限制。下面的定理證明了問題（DLP）是原（DP）問題的漸近最優(yōu)近似。

定理1 limθ→∞1θyDP*θ=

limθ→∞1θyDLPθ=yDLP。

證明 在該定理證明過程中，若無特殊聲明，i=1，…，n，j=1，2。定義x*i，j和x*fly為問題（DLP）的最優(yōu)解，（θ-DLP）問題是將原（DLP）問題中容量C和總周期數(shù)Γ分別增加為θC和θΓ，可以得到θx*和θyDLP分別是（θ-DLP）問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值，第二個(gè)等號得證。

對于θ規(guī)模的隨機(jī)問題，我們構(gòu)造一個(gè)接收乘客的策略μ：每種普通乘客的接收數(shù)量不得超過θx*i，j，隨心飛用戶的接收數(shù)量不得超過θx*fly。則普通乘客的實(shí)際接收數(shù)量Ni，j=min{Di，j，θx*i，j}，隨心飛用戶的實(shí)際接收數(shù)量Nfly=min{Dfly，θx*fly}，其中Di，j和Dfly分別為普通乘客和隨心飛用戶的需求數(shù)。可得μ是一個(gè)可行的接收策略，其對應(yīng)的樣本路徑收益為

∑2j=1∑ni=1riNi，j=∑2j=1∑ni=1rimin{Di，j，θx*i，j}

等式兩邊除以θ并對θ取極限，有

limθ→∞1θ∑2j=1∑ni=1riNi，j=limθ→∞1θ∑2j=1∑ni=1rimin{Di，j，θx*i，j}

=limθ→∞∑2j=1∑ni=1rimin{1θDi，j，x*i，j}

=∑ni=1rimin{pi，1×Γ1，x*i，1}+∑ni=1rimin{pi，2×（Γ-Γ1），x*i，2}

=∑ni=1ri（x*i，1+x*i，2）=yDLPE1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

其中第三個(gè)等式源自大數(shù)定理和最小函數(shù)（min）的連續(xù)性。因此，策略μ的規(guī)模收益強(qiáng)收斂到上界yDLP。推出limθ→∞1θyDP*θ=yDLP。則定理得證。

基于線性需求函數(shù)，我們可以將原兩階段問題重構(gòu)為

（P）maxffly，cfly，xffly×（β0+β1ffly+β2cfly）+η∑ni=1[ri（xi，1+xi，2）]

s.t. cfly（β0+β1ffly+β2cfly）×α

xi，1pi，1×Γ1， i=1，…，n

xflycfly

xfly（β0+β1ffly+β2cfly）×α

∑ni=1xi，1+xfly+∑ni=1xi，2C

xi，2pi，2×（Γ-Γ1）， i=1，…，n

xfly，xi，1，xi，20， i=1，…，n

xfly，xi，1，xi，2∈N， i=1，…，n

0ffly

0cflyC

4 模型的分析和求解

4.1 模型的分析

命題1 x*fly=cfly。

證明 采用反證法，假設(shè)f*fly，c*fly，x*fly，x*i，1，x*i，2，i∈I為問題（P）的最優(yōu)解，且x*fly>cfly。存在一組解x′*fly=cfly，f′*fly=f*fly，c′*fly=c*fly，∑ni=1（x′*i，1+x′*i，2）=C-x′*fly，其中x′*i，jx*i，j，i∈I，j=1，2，使得

f′*fly×（β0+β1f′*fly+β2c′*fly）+η∑ni=1[ri（x′*i，1+x′*i，2）]>

f*fly×（β0+β1f*fly+β2c*fly）+η∑ni=1[ri（x*i，1+x*i，2）]

因此，x′*fly優(yōu)于x*fly，存在矛盾。命題得證。

命題2 每增加一個(gè)cfly，航空公司總收益增加（β22+2β22cfly+2β2β0）/（-4β1），即：對于每趟航班來說，隨心飛用戶帶來的邊際收益為rfly=（β22+2β22cfly+2β2β0）/（-4ηβ1）。

證明 給定cfly，隨心飛用戶帶來的收益為maxfflyfflygfly=β1f2fly+（β2cfly+β0）ffly，即（β2cfly+β0）2/（-4β1）。每增加一個(gè)cfly，航空公司總收益增加（β22+2β22cfly+2β2β0）/（-4β1）

。

對于每趟航班來說，隨心飛用戶帶來的邊際收益為總收益增加數(shù)除以總航班數(shù)，命題2得證。

命題3 給定ffly和cfly時(shí)，最優(yōu)解x*1，x*2，…，x*fly，…，x*n滿足

x*i=di，i=1，…，k

x*fly=min{C-∑ki=1x*i，dfly}，if∑ki=1x*i

x*i=di，if∑ti=1x*i

C-∑t-1i=1x*i，if∑t-1i=1x*i

其中r1r2…rkrflyrk+1…rn，xi為第i類顧客的總接收數(shù)，xi=xi，1+xi，2，di為第i類顧客的需求數(shù)，di=pi，1×Γ1+pi，2×（Γ-Γ1），dfly=gfly×α，rfly為隨心飛用戶的邊際收益，可由命題2得到。

證明 該命題與Cormen等[22]針對背包問題所提出的貪心算法思路相近，即將物品按單位價(jià)值（物品價(jià)值/物品重量或體積）降序排序，然后逐個(gè)嘗試是否能放進(jìn)背包而不超過背包容量，直到遇到無法放入背包的物品結(jié)束。當(dāng)物品重量或體積相等時(shí)，該算法得到最優(yōu)解。此處可理解為航空公司接收邊際效益更高的顧客，由反證法可證。

4.2 模型的求解

可以看出，問題（P）是一個(gè)難解的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題。本文采用Castro[2]于2015年提出的改進(jìn)McCormick方法將問題重構(gòu)，基于Matlab2018b，調(diào)用Gurobi求解器對問題（P）進(jìn)行求解。具體地，首先應(yīng)用經(jīng)典McCormick包絡(luò)算法求解問題（P），即將問題（P）的雙線性項(xiàng)fflycfly用w替代，并對問題（P）增加約束wfflyc+fcfly-

cf，wffly+cfly-，wffly+fcfly-f和wfflyc+cfly-c進(jìn)行求解，得到目標(biāo)值z′。接下來，z′在Castro算法中作為初始值，以求得更精確的解，步驟為：（1）基于z′，縮小cfly的可行域;（2）將cfly的可行域劃分為多個(gè)小分區(qū);（3）對小區(qū)間進(jìn)行剪枝，減小問題的規(guī)模;（4）基于上述結(jié)果，求解包含多個(gè)小區(qū)間的混合整數(shù)非線性規(guī)劃，得到最終解。

5 數(shù)值算例與分析

本節(jié)主要探討了不同情形下（如：普通乘客收益r、普通乘客到達(dá)率p、隨心飛用戶相關(guān)參數(shù)α，β0，β1，β2發(fā)生變動時(shí)）航空公司決策和收益的變化。數(shù)值算例相關(guān)的參數(shù)基本設(shè)定如下：假設(shè)普通乘客分為高、低收益兩類（分別用H和L表示），即n=2，pH，1=0.05，

pL，1=0.5，pH，2=0.6，pL，2=0.05，rH=2000，rL=200，其他參數(shù)設(shè)定為α=1/12，β0=1200，β1=-4，β2=200，m=5，Γ=24×60，Γ1=24×55，C=180，η=186×2，=6000，其中C，η，的取值以春秋航空公司“想飛就飛”產(chǎn)品為例，n，p1，p2，r，α，β0，β1，β2，Γ，Γ1在實(shí)際中可以通過航空歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)得到。

5.1 普通乘客市場的影響

（1）低收益乘客相對價(jià)值E1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

采用不同的rL值，保持其它參數(shù)不變，rL取值范圍為[200，1900]，共20個(gè)算例，模擬航空公司決策與低收益乘客邊際收益的關(guān)系。圖1（a）表示，隨著rL的增加，隨心飛用戶預(yù)留座位數(shù)先不變，再下降，最后繼續(xù)保持不變趨勢;圖1（b）表示，隨心飛用戶接收人數(shù)等于隨心飛用戶預(yù)留座位數(shù)，而隨著rL的增加，高收益乘客接收人數(shù)不變，低收益乘客接收人數(shù)先不變，再上升，最后繼續(xù)保持不變趨勢。由命題2和3可得隨心飛用戶的邊際收益最大為1291，小于高收益乘客的邊際收益（2000）。則航空公司優(yōu)先把座位分給高收益客戶，高收益客戶需求數(shù)為138，剩余42個(gè)座位。此時(shí)對應(yīng)的隨心飛用戶的邊際收益最大為368.66，與低收益客戶的邊際收益進(jìn)行權(quán)衡。低收益客戶的邊際收益高于隨心飛用戶的邊際收益時(shí)，航空公司優(yōu)先把座位分給低收益客戶;否則反之。

（2）高收益乘客市場份額

采用不同的pH，1值，保持其他參數(shù)不變，模擬航空公司決策與高收益乘客第一階段到達(dá)率的關(guān)系。算例分析中，pH，1取值范圍為[0，0.085]，每隔0.005為一個(gè)算例，結(jié)果如圖2（a）所示。與圖1結(jié)果相似，高收益乘客具有最高的議價(jià)能力，因此航空公司優(yōu)先分配座位給高收益乘客。隨著高收益乘客到達(dá)人數(shù)的增加，可分配給隨心飛乘客的座位數(shù)不斷下降。由命題2分析可得：此時(shí)cfly（即xfly）減少導(dǎo)致隨心飛用戶的邊際收益下降。當(dāng)pH，1較小時(shí)，隨心飛用戶的邊際收益大于等于低收益乘客的邊際收益，航空公司優(yōu)先將剩余座位分配給隨心飛用戶。隨著pH，1不斷增加，隨心飛用戶的邊際收益不斷下降。當(dāng)隨心飛用戶的邊際收益小于低收益乘客的邊際收益時(shí)，如圖2所示pH，10.075時(shí)，航空公司優(yōu)先將剩余座位分配給低收益乘客。

圖2（b）展示了航空公司收益隨pH，1的變化情況，其中藍(lán)色線為有隨心飛產(chǎn)品的情況下航空公司的收益，對照組紅色線為沒有隨心飛產(chǎn)品的情況下航空公司的收益，結(jié)果顯示隨心飛產(chǎn)品能為航空公司帶來額外的收益。隨心飛產(chǎn)品是疫情的衍生品，可以觀測到pH，1較大時(shí)，隨心飛產(chǎn)品也能帶來一定的額外收益，說明在后疫情時(shí)代該產(chǎn)品也具有一定的價(jià)值。

5.2 隨心飛用戶特征的影響

本節(jié)對不同隨心飛用戶參數(shù)下的航空公司決策進(jìn)行數(shù)值分析。首先從隨心飛用戶購買數(shù)受隨心飛產(chǎn)品協(xié)議中預(yù)留座位數(shù)和價(jià)格的影響和市場中潛在的隨心飛用戶數(shù)這些角度進(jìn)行研究;其次，分析隨心飛用戶在每一期出現(xiàn)的概率的變化對航空公司接收乘客決策的影響。主要參數(shù)假設(shè)如下：β1∈[0，20]，β2∈[0，400]，β0∈[0，9500]，α∈[0，0.1]。結(jié)果如圖3～4所示。

（1）市場敏感度

隨心飛用戶的相關(guān)參數(shù)反映其議價(jià)能力。圖3（a）表明，β1越小，用戶對價(jià)格越敏感，隨心飛用戶預(yù)留座位數(shù)越少。圖3（b）表明，β2越大，用戶對預(yù)留座位數(shù)越敏感，隨心飛用戶預(yù)留座位數(shù)越多。圖3（c）表明，β0越大，潛在隨心飛用戶越多（固有市場越大），隨心飛用戶的議價(jià)能力越大，隨心飛用戶預(yù)留座位數(shù)越多。圖3（d）～（f）為航空公司權(quán)衡不同類型乘客的邊際收益（議價(jià)能力）分配座位數(shù)。

（2）市場份額

圖4（a）表明，α較小時(shí)，隨心飛用戶需求數(shù)近似為零，為保證預(yù)留座位數(shù)不高于隨心飛用戶需求數(shù)，預(yù)留座位數(shù)為0;α足夠大時(shí)，可以保證一定的隨心飛用戶需求數(shù)，此時(shí)隨心飛用戶參與議價(jià)，由于隨心飛用戶的邊際收益不受α影響，因此，α增加，隨心飛用戶的議價(jià)能力不變，分配給隨心飛用戶的座位數(shù)不變，如圖4（b）所示。

6 總結(jié)與展望

服務(wù)型產(chǎn)品設(shè)計(jì)是工程管理中的重要內(nèi)容。本文通過定量分析，對隨心飛這一創(chuàng)新服務(wù)型產(chǎn)品的設(shè)計(jì)決策優(yōu)化提供了理論依據(jù)。該研究也可以應(yīng)用到其他具有容量限制的服務(wù)型產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化中，例如：酒店“隨心住”年卡設(shè)計(jì)，高鐵定期票設(shè)計(jì)等。以春秋航空隨心飛產(chǎn)品為背景，本文考慮一個(gè)兩階段決策問題：第一階段的產(chǎn)品設(shè)計(jì)決策和第二階段機(jī)票售賣過程中的動態(tài)容量控制決策。研究發(fā)現(xiàn)，通過合理的產(chǎn)品設(shè)計(jì)，隨心飛仍然可以在出行需求正?；暮笠咔闀r(shí)代為航空公司帶來額外收益。數(shù)值算例給出了隨心飛產(chǎn)品最優(yōu)預(yù)留座位數(shù)量與隨心飛用戶參數(shù)之間的關(guān)系。如用戶對隨心飛產(chǎn)品價(jià)格越敏感，隨心飛用戶的議價(jià)能力越弱，對應(yīng)最優(yōu)預(yù)留座位數(shù)量越少;而用戶對預(yù)留座位數(shù)量越敏感，其議價(jià)能力越強(qiáng)，對應(yīng)最優(yōu)預(yù)留座位數(shù)量越多。這些結(jié)論從側(cè)面強(qiáng)調(diào)了需求調(diào)查對產(chǎn)品設(shè)計(jì)的重要性。對航空公司來說，傳統(tǒng)的市場細(xì)分條件是根據(jù)機(jī)票定價(jià)來實(shí)現(xiàn)的，機(jī)票價(jià)格決定了對應(yīng)顧客的邊際收益或議價(jià)能力。隨心飛產(chǎn)品提供了新的市場細(xì)分條件，我們在分析中對隨心飛產(chǎn)品用戶的邊際收益進(jìn)行刻畫，并將其與普通乘客的邊際收益進(jìn)行比較，實(shí)現(xiàn)了隨心飛用戶和普通乘客對航空公司收益價(jià)值的判斷。在方法上，本文應(yīng)用確定性整數(shù)規(guī)劃對動態(tài)規(guī)劃模型進(jìn)行重構(gòu)，使用改進(jìn)的McCormick包絡(luò)方法對混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題進(jìn)行松弛，為復(fù)雜的原問題提供了高質(zhì)量的求解。

本研究基于一些假設(shè)條件，未來可對這些條件進(jìn)行放松，建立更符合現(xiàn)實(shí)場景的問題。如，本文假設(shè)乘客到達(dá)率是固定值，但現(xiàn)實(shí)中機(jī)票需求具有季節(jié)性波動。在這種背景下，隨心飛產(chǎn)品在設(shè)計(jì)上是否要作出調(diào)整（如：是否要約束其在節(jié)假日等需求高峰期的兌票權(quán)限等），這也是一個(gè)值得思考的問題。此外，本文假設(shè)每次航班隨心飛用戶的期望需求不少于預(yù)留座位數(shù)，但現(xiàn)實(shí)中可能存在隨心飛期望需求低于預(yù)留座位數(shù)的情況。未來的研究可以建立更一般化的模型，放松上述假設(shè)。

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