相似三角形中的求值問題

摘要：在一些與平面幾何相關(guān)的求值問題中，經(jīng)常借助相似三角形的構(gòu)造、判定與性質(zhì)等的應用，而讓問題合理轉(zhuǎn)化、直觀形象，能有效解決計數(shù)、線段、比值、面積以及綜合應用等相關(guān)問題的求值，利用相似三角形引領(lǐng)并指導數(shù)學教學與研究.

關(guān)鍵詞：相似三角形;計數(shù);線段;比值;面積

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）11-0008-03

收稿日期：2022-01-15

作者簡介：王東東（1981.12-），男，山東省新泰人，大學，中學高級教師，從事中學數(shù)學教學研究.

相似三角形是在初中平面幾何中一個非常重要的內(nèi)容，包括相似三角形的定義、判定、性質(zhì)等，同時涉及特殊的直角三角形相似的判定及直角三角形的射影定理，是平面幾何的重要知識點與考點之一.在破解一些相關(guān)的平面幾何求解問題中，巧妙借助相似三角形的相關(guān)知識來處理，經(jīng)?？梢院侠磙D(zhuǎn)化，化難為易，出奇制勝.以下結(jié)合幾類常見的相似三角形中的求值問題，如計數(shù)、長度、比值、面積以及綜合應用等相關(guān)的求值題加以剖析.

1 計數(shù)問題

例1如圖1所示，在△ABC中，ED∥AB，F(xiàn)G∥AC，PH∥BC，相應的交點分別為A₁、B₁、C₁，則圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)為個.

分析根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，要判斷圖中與△ABC相似的三角形，可以從平行這個條件出發(fā)，找到對應相等的角，從而得以確定兩三角形相似.

解析由于PH∥BC，那么∠APH=∠B，而∠A是公共角，則△APH∽△ABC，同理可以判斷△BGF∽△ABC，△CED∽△ABC，進一步，F(xiàn)G∥AC，那么∠PFC₁=∠A，又∠FPC₁=∠B，△FPC₁∽△ABC，同理可以判斷△DGA₁∽△ABC，△HEB₁∽△ABC，而ED∥AB，那么∠FPC₁=∠A₁B₁C₁，而∠FPC₁=∠B，則∠A₁B₁C₁=∠B，同理可得∠A₁C₁B₁=∠C，則△A₁B₁C₁∽△ABC，所以圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)共有7個，故填答案：7.

點評三角形相似的判定關(guān)鍵是結(jié)合三角形相似的性質(zhì)加以分析，在求解三角形相似的問題的過程中，往往是在熟練掌握相應性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合直觀圖形加以正確分析.

2 長度問題

例2如圖2，正方形ABCD的邊長是2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端在CD、AD上滑動，當DM=時，△ABE與△DMN相似.

分析因為兩個三角形都是直角三角形，當且僅當兩直角邊之比相等時它們相似，據(jù)此可列一個方程，再結(jié)合MN=1列方程組，解此方程組得DM的值.

點評本題是探求兩個三角形相似的條件問題，實質(zhì)是以三角形相似為條件，求線段長度問題，關(guān)鍵是找到相應的比值并結(jié)合相關(guān)條件加以求解.特別在實際求解時，要全面考慮，比如本例中就容易忽視其中的一種情形.

3 比值問題

點評結(jié)合輔助線的構(gòu)造，利用直角三角形的相似以及相關(guān)條件加以確定相關(guān)的求值問題.對于平面幾何中的求值問題，關(guān)鍵是正確引入相關(guān)的輔助線，加結(jié)合相應條件的變換與轉(zhuǎn)移，從而達到求值的目的.

4 面積問題

點評通過平行線的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形中的對應邊的比例關(guān)系與相應的三角形的面積的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化與應用來分析與處理問題.

5 綜合應用問題

點評在平面幾何問題中，往往可以有機地結(jié)合相應的函數(shù)等相關(guān)問題，利用函數(shù)等相關(guān)問題的性質(zhì)來處理與解決對應的平面幾何問題，這是一種非常巧妙與有效的辦法.關(guān)鍵是將平面幾何問題進行代數(shù)化，并加以正確的分析與判斷.

相似三角形及其應用是在初中平面幾何的基礎(chǔ)知識上的進一步拓展與提升，特別是在一些平面幾何的求值問題中，合理借助輔助線與相似三角形的構(gòu)造，通過對判定、性質(zhì)等一系列的轉(zhuǎn)化與應用，有效培養(yǎng)學生邏輯推理能力、圖形直觀能力與創(chuàng)造思維能力，其也是歷年中考數(shù)學命題中的一大熱點問題，應該引起一線教師高度重視.

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[責任編輯：李璟]