單位載荷法中虛位移限制條件辨析1)

李 敏 李依倫 陳偉民,,

*(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院,北京 100191)

?(巴黎?薩克雷大學(xué),土壤、結(jié)構(gòu)與材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)室,法國巴黎 91190)

**(中國科學(xué)院力學(xué)研究所,北京 100190)??(中國科學(xué)院大學(xué)工學(xué)院,北京 100049)

作為一種計(jì)算位移的一般性方法,基于變形體虛功原理的單位載荷法是材料力學(xué)的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容,甚至靜不定問題、對稱/反對稱問題、沖擊問題都可以視為單位載荷法的應(yīng)用。

變形體虛功原理常表述為虛力原理與虛位移原理兩種模式,在材料力學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,克羅蒂?恩蓋塞定理 (Crotti-Engesser)、卡氏第二定理 (Castigliano)、單位載荷法(unit-load)的推導(dǎo)基于虛力原理；卡氏第一定理的推導(dǎo)基于虛位移原理。但多數(shù)材料力學(xué)教科書(包括工程力學(xué)教材中材料力學(xué)部分)中不涉及余功和余能概念[1-3],或者新版教材中刪去余功和余能的部分[4],造成與虛力原理相關(guān)的余虛功(包括內(nèi)余虛功和外余虛功) 無法引入,后續(xù)也就不能基于虛力原理推導(dǎo)以上定理和方法。目前大部分教材的處理方案是：刪去克羅蒂－恩蓋塞定理,適用于線彈性條件的卡氏第二定理使用交換加載次序或引用功的互等定理加以證明,而單位載荷法使用虛位移原理的相關(guān)概念進(jìn)行描述(孫訓(xùn)方的教材[5]保留了余功余能部分,但單位載荷法仍使用虛位移原理的模式引入)。

這種使用虛位移原理講授單位載荷法的間接模式,加上虛位移定義的限制,導(dǎo)致講授中的重點(diǎn)(也是后續(xù)例題講解中的難點(diǎn))是：以實(shí)際載荷引起的位移作為單位力系統(tǒng)的虛位移[1-2,4-5]。對該問題的理解與延拓不僅涉及單位載荷系統(tǒng)的選取與構(gòu)造,還決定了學(xué)生使用單位載荷法解決問題的靈活性,為此本文利用教材中經(jīng)典例題展示其中的細(xì)節(jié)與關(guān)聯(lián),供教師講解時(shí)參考。

1 單位載荷法中虛位移的定義

變形體虛功原理可表述為[4]：作用在桿或桿系結(jié)構(gòu)的外力在虛位移上所做外虛功We,恒等于可能內(nèi)力在虛變形上所做內(nèi)虛功Wi,即We=Wi。很明顯,以上表述是典型虛位移模式。

應(yīng)用虛功原理的條件：

(1) 對于所研究的力系(外力與內(nèi)力) 必須滿足平衡條件與靜力邊界條件；

(2)對于所選擇的虛位移是微小的,滿足變形連續(xù)條件與位移邊界條件。

在虛位移模式的單位載荷法表述中：滿足位移邊界條件與變形連續(xù)條件的任意微小位移,均可作為虛位移。因此,由實(shí)際載荷引起的位移也可作為虛位移。

為了方便后續(xù)問題的討論,此處使用圖1 以及對應(yīng)單位載荷系統(tǒng)的圖2 作為范例。為了求出圖1中B點(diǎn)轉(zhuǎn)角,在B點(diǎn)施加單位力矩構(gòu)造了單位載荷系統(tǒng)(圖2)。

圖1 靜定梁架結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 對應(yīng)于圖1 的單位載荷系統(tǒng)(求B 點(diǎn)轉(zhuǎn)角)

利用圖1 的實(shí)際位移作為圖2 單位載荷系統(tǒng)的虛位移,單位載荷系統(tǒng)對應(yīng)的虛功方程為(注：本文實(shí)例中結(jié)構(gòu)材料滿足線彈性假設(shè),忽略剪切與拉壓應(yīng)變能)

式中M(xi) 與(xi) 分別為原始系統(tǒng)(圖1) 與單位載荷系統(tǒng)(圖2) 各段梁內(nèi)的彎矩方程(在本文中由單位載荷引入的約束外力與內(nèi)力均采用符號上方的橫線表征)。

此處詳細(xì)列出虛功方程的目的是為了說明：理論上,式(1)左側(cè)的外力虛功除單位載荷引起的1×θB外,還包含A點(diǎn)與C點(diǎn)的約束反力引入的外力虛功,這幾項(xiàng)未在虛功方程中出現(xiàn)的原因是HA=VA=VC= 0,Hi與Vi分別表示i點(diǎn)的水平與垂直位移。

可以看出,此處要求虛位移滿足邊界條件等價(jià)于除單位載荷所引入的外力虛功外,其他所有與單位載荷相關(guān)的約束反力造成的外力虛功為零。

2 靜不定結(jié)構(gòu)單位載荷系統(tǒng)的構(gòu)造

對于上述靜定結(jié)構(gòu),單位載荷系統(tǒng)的構(gòu)造具有簡單性和唯一性。當(dāng)使用單位載荷法求解靜不定結(jié)構(gòu)某點(diǎn)位移時(shí),可以使用靜不定結(jié)構(gòu)的任一靜定基構(gòu)造單位載荷系統(tǒng)。以圖3 靜不定結(jié)構(gòu)為例,同樣求解B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角,按照前節(jié)的方法構(gòu)造的單位載荷系統(tǒng)應(yīng)為圖4 所示,但需要重復(fù)求解靜不定問題,造成計(jì)算繁瑣。一種解決的方案是將單位載荷施加于原結(jié)構(gòu)的任一靜定基上(例如圖2),課堂講解的重點(diǎn)在于為什么可以采用結(jié)構(gòu)的任一靜定基構(gòu)造單位載荷系統(tǒng)。

圖3 靜不定梁架結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 對應(yīng)于圖3 的單位載荷系統(tǒng)(求B 點(diǎn)轉(zhuǎn)角)

由于教材中單位載荷法基于虛位移模式,按照虛位移的定義,問題轉(zhuǎn)化為：實(shí)際載荷下的位移(真實(shí)位移) 是否可以作為基于靜不定結(jié)構(gòu)任一靜定基構(gòu)造的單位載荷系統(tǒng)的虛位移？

圖3 中實(shí)際位移一定可以作為圖4 中單位載荷系統(tǒng)的虛位移,因?yàn)槎哌吔鐥l件完全一致。盡管圖2 (靜不定結(jié)構(gòu)某一靜定基構(gòu)造的單位載荷系統(tǒng))所示系統(tǒng)的邊界條件與原始結(jié)構(gòu)不同,但其一定弱于原始系統(tǒng),具體而言如下。

圖2 所示系統(tǒng)要求的虛位移滿足

A點(diǎn)：水平位移HA=0,垂直位移VA=0,

C點(diǎn)：垂直位移VC=0；

實(shí)際載荷下(圖3 所示原始系統(tǒng)) 的位移滿足

A點(diǎn)：水平位移HA=0,垂直位移VA=0,

C點(diǎn)：水平位移HC=0,垂直位移VC=0；

即靜不定結(jié)構(gòu)在實(shí)際載荷下的位移可以作為任一靜定基單位載荷系統(tǒng)的虛位移,原因在于靜不定結(jié)構(gòu)的邊界條件多于其任一靜定基的位移邊界條件,所以前者位移解的集合是后者的子集。

針對該問題,單輝祖[6]編寫的教學(xué)參考書中給出了一個(gè)詳細(xì)證明,其基本思路是基于原始靜不定結(jié)構(gòu)的單位載荷系統(tǒng)(圖4) 可以分解為圖2 與圖5兩部分,可以證明圖5 所對應(yīng)的內(nèi)力虛功為零,因此圖4 與圖2 的內(nèi)力虛功相等,進(jìn)而證明了采用基于靜定基求解位移(圖2) 等價(jià)于在原始靜不定結(jié)構(gòu)上施加單位載荷(圖4) 求解位移。

圖5 對應(yīng)于圖4 的部分載荷系統(tǒng)

事實(shí)上,無需復(fù)雜公式推導(dǎo)過程,以實(shí)際載荷下的位移作為虛位移時(shí),圖5 所對應(yīng)的內(nèi)力虛功為零是顯而易見的：FCy對應(yīng)的外力虛功一定等于零,因?yàn)镃點(diǎn)實(shí)際的水平位移為零(當(dāng)然,其他由FCy引入的約束反力所對應(yīng)的外力虛功也為零),所以圖5對應(yīng)的內(nèi)力虛功必定為零。

相對于簡單直觀的靜定結(jié)構(gòu),闡述靜不定結(jié)構(gòu)單位載荷系統(tǒng)構(gòu)造可以基于任一靜定基的機(jī)理,關(guān)鍵在于說明靜不定結(jié)構(gòu)與其靜定基在邊界條件上的關(guān)系,即靜不定結(jié)構(gòu)的邊界條件“強(qiáng)”于其任一靜定基,所以靜不定結(jié)構(gòu)的位移可以作為其任一靜定基的虛位移,但反之不成立。

3 具有對稱性無約束靜不定結(jié)構(gòu)單位載荷系統(tǒng)的構(gòu)造

利用對稱性簡化靜不定問題的分析在材料力學(xué)課程中歸屬于能量法的應(yīng)用,其中典型例題講解的難點(diǎn)在于無約束條件下對于部分結(jié)構(gòu)的單位載荷系統(tǒng)的構(gòu)造,例如圖6 所示的對稱問題。除利用相對位移協(xié)調(diào)條件的整體結(jié)構(gòu)單位載荷系統(tǒng)(例如圖7)外,常常使用1/2 結(jié)構(gòu)(圖8(a)) 或1/4 結(jié)構(gòu)(圖8(b))構(gòu)造單位載荷系統(tǒng),可利用對稱面處絕對位移條件。與第2 節(jié)中論述不同,此時(shí)實(shí)際位移(圖6 的真實(shí)位移) 并不嚴(yán)格滿足圖8 中單位載荷系統(tǒng)的邊界條件(VC′= 0),即實(shí)際位移中C′點(diǎn)垂直方向的位移不為零,如果根據(jù)前述虛位移的描述,實(shí)際位移不能作為圖8 單位載荷系統(tǒng)的虛位移,此處基于虛位移的單位載荷法是否可用成為需要說明的問題。

圖6 具有對稱性無約束的靜不定結(jié)構(gòu)

圖7 使用整體模型構(gòu)造的單位載荷系統(tǒng)(利用相對位移協(xié)調(diào)條件θC+/C?=0)

圖8 利用1/2 結(jié)構(gòu)或1/4 結(jié)構(gòu)構(gòu)造單位載荷系統(tǒng)

如果前期采用虛力模式導(dǎo)入單位載荷法,這個(gè)問題容易解釋,為了避免余功與余虛功的引入,采用虛位移模式導(dǎo)入單位載荷法,此時(shí)該問題就成為一個(gè)難點(diǎn)。盡管在教材的例題中已經(jīng)避免出現(xiàn)類似圖8 的單位載荷系統(tǒng),但在網(wǎng)上眾多材料力學(xué)教案、各類習(xí)題解答、教學(xué)參考書和考研教輔資料中采用部分結(jié)構(gòu)構(gòu)造單位載荷系統(tǒng)是主流,這對于認(rèn)真思考的學(xué)生將造成困惑。

理論上,滿足位移邊界條件只是虛位移定義中的限制條件,并不是虛功原理的要求：虛功原理中的力與位移(變形) 并無直接或因果關(guān)聯(lián),力的要求是平衡,位移的要求是位移與變形對應(yīng)協(xié)調(diào),在此基礎(chǔ)上外力虛功等于內(nèi)力虛功。換言之,實(shí)際位移不滿足單位載荷系統(tǒng)的位移邊界條件,并不影響虛功方程的成立,但是該虛功方程是否有作用(是否可以解算獲得待求位移)取決于單位載荷系統(tǒng)的構(gòu)造。下面仍用上例列出具體表達(dá)式,以實(shí)際位移(圖6) 作為部分結(jié)構(gòu)構(gòu)造的單位載荷系統(tǒng)的虛位移(圖8(a)),外力虛功為(內(nèi)力虛功不再列出)

對于圖8(a) 單位載荷系統(tǒng)的構(gòu)造,由于C點(diǎn)施加單位力矩,所以在C′點(diǎn)的為零,盡管VC′ ?= 0,但= 0,保證了We= 1×θC,所以這種單位載荷系統(tǒng)的構(gòu)造是可用的,圖8(b) 的1/4 結(jié)構(gòu)單位載荷系統(tǒng)構(gòu)造也是同樣的機(jī)理。但是圖8(c) 對應(yīng)的單位載荷系統(tǒng)不可用,原因在于盡管虛功方程仍可列出,但FSC′ ?=0,導(dǎo)致0,此時(shí),不能利用A點(diǎn)的已知位移VA求解靜不定問題。

以上的實(shí)例說明,實(shí)際位移滿足單位載荷系統(tǒng)的邊界條件并不是虛功原理的要求,只是為了保證虛功方程對于實(shí)際問題解算有用而設(shè)定的條件。如果實(shí)際位移完全滿足單位載荷系統(tǒng)的邊界條件,則對于構(gòu)造單位載荷系統(tǒng)所施加單位載荷的類型沒有任何限制條件,否則需注意,施加單位載荷不能引入不滿足位移邊界條件的位移所對應(yīng)的約束力分量。

在對稱性問題中,除此類構(gòu)造固定邊界模式外,還有一大類構(gòu)造非固定邊界單位載荷系統(tǒng)的問題[7],其機(jī)理類似。例如圖9 所示結(jié)構(gòu),求解A點(diǎn)與B點(diǎn)相對水平位移,采用了圖10 所示1/2 結(jié)構(gòu)構(gòu)造單位載荷系統(tǒng),為了保證該自由邊界結(jié)構(gòu)的力平衡,需要施加大小為l的力矩。

圖9 具有對稱自由邊界條件的靜不定結(jié)構(gòu)[7]

圖10中該力矩可以施加的位置在D點(diǎn)(或C點(diǎn)),其原因在于：這兩點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為零(圖9 中的實(shí)際位移),這就保證了外力虛功中僅出現(xiàn)1×HA/B。

圖10 利用1/2 結(jié)構(gòu)構(gòu)造單位載荷系統(tǒng)

4 小結(jié)

基于虛功原理的單位載荷法在能量方法中占據(jù)重要地位,材料力學(xué)教學(xué)中靜不定問題、對稱反對稱問題以及沖擊問題在某種程度上可以看作單位載荷法的應(yīng)用外延。

大部分經(jīng)典教材對于單位載荷法使用虛位移模式引入,講解過程不可避免涉及虛位移須滿足位移邊界條件的限制,深刻理解單位載荷系統(tǒng)構(gòu)造的本質(zhì)有助于靈活處理該限制條件。本文通過幾個(gè)經(jīng)典例題(包括靜定結(jié)構(gòu)、靜不定結(jié)構(gòu)、無約束的靜不定結(jié)構(gòu)),展示了虛功原理中力與位移(變形)并無直接關(guān)聯(lián),使用實(shí)際位移作為單位載荷系統(tǒng)的虛位移時(shí),要求虛位移滿足單位載荷系統(tǒng)邊界條件的目的,只是為了保證除單位載荷的外力虛功外,其他由約束力造成的外力虛功全部為零。所以,只要能保證約束反力的外力虛功均為零,實(shí)際位移作為單位載荷系統(tǒng)的虛位移,并不要求其完全滿足單位載荷系統(tǒng)的邊界條件。