用于磁旋轉(zhuǎn)光譜的環(huán)形永磁陣列的勻場(chǎng)分布仿真優(yōu)化*

賈豐鳴 梅教旭 王瑞峰 程剛 劉錕 高曉明

1) (中國(guó)科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院,安徽光學(xué)精密機(jī)械研究所,合肥 230031)

2) (中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),合肥 230026)

3) (安徽理工大學(xué),深部煤礦采動(dòng)響應(yīng)與災(zāi)害防控國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,淮南 232001)

法拉第磁旋轉(zhuǎn)光譜(Faraday rotation spectroscopy,FRS)技術(shù)因其高靈敏度,零背景噪聲,以及能有效避免抗磁性物質(zhì)干擾的特性廣泛應(yīng)用于各類順磁性痕量氣體的探測(cè).目前大部分FRS 技術(shù)采用線圈構(gòu)造電磁場(chǎng),存在能耗高、發(fā)熱多等問(wèn)題.為此,開(kāi)展了基于組合環(huán)形永磁體的空間磁場(chǎng)分布建模仿真研究,意在建立軸向分布的磁場(chǎng),為測(cè)量FRS 提供基于永磁體的沿光軸方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng).仿真采用有限元網(wǎng)格剖分的方法,基于麥克斯韋方程組,開(kāi)展組合磁環(huán)的磁場(chǎng)分布仿真研究,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量實(shí)際釹鐵硼永磁體磁環(huán)陣列的磁場(chǎng)分布,證明了建立物理模型的可靠性.在此基礎(chǔ)上提出了對(duì)永磁體磁環(huán)陣列的3 種優(yōu)化方案—單理想值優(yōu)化、多段式單理想值優(yōu)化和梯度優(yōu)化方案,來(lái)構(gòu)造中心軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度分布均勻的勻強(qiáng)磁場(chǎng).最后通過(guò)引入磁場(chǎng)均勻度,計(jì)算評(píng)估并分析比較了不同優(yōu)化方案的優(yōu)化效果,為研發(fā)基于永磁體的FRS 光譜設(shè)備提供參考.

1 引言

法拉第磁旋轉(zhuǎn)光譜(Faraday rotation spectroscopy,FRS)是以分子吸收線在磁場(chǎng)的作用下發(fā)生Zeeman 效應(yīng),從而引起磁致雙折射效應(yīng)為基本原理[1,2],基本原理圖如圖1 所示.激光通過(guò)起偏器變成線偏振光并通過(guò)軸向磁場(chǎng),當(dāng)在沿光軸的磁場(chǎng)中存在順磁性分子時(shí),分子的能級(jí)由于Zeeman 效應(yīng)而對(duì)稱地分裂為多個(gè)Zeeman 子能級(jí).其中滿足?MJ=+1和 ?MJ=?1 的躍遷選擇定則的能級(jí)分別吸收右旋圓偏振光和左旋圓偏振光,由于不同旋向的圓偏振光在介質(zhì)中的折射率不同,從而產(chǎn)生磁致雙折射效應(yīng).線偏振光是右旋圓偏振光和左旋圓偏振光的疊加態(tài),所以線偏振光在沿光軸的磁場(chǎng)中通過(guò)一段距離為L(zhǎng)的順磁性分子樣品池時(shí),由于磁致雙折射效應(yīng),它的偏振面將產(chǎn)生角度為φ的偏轉(zhuǎn).在樣品腔后放置檢偏器,通過(guò)光電探測(cè)器可探測(cè)因磁致雙折射效應(yīng)而發(fā)生偏振面偏轉(zhuǎn)的透射光強(qiáng),其強(qiáng)度與樣品濃度成正比關(guān)系,通過(guò)標(biāo)定可實(shí)現(xiàn)文獻(xiàn)樣品[3?濃5度].的檢測(cè)分析.詳細(xì)的FRS 理論可參考

圖1 FRS 原理示意圖Fig.1.Schematic diagram of FRS.

相對(duì)于傳統(tǒng)的吸收光譜,FRS 因其對(duì)光的偏振態(tài)敏感,故對(duì)順磁性分子具有更高的靈敏度和選擇性,可以有效降低光源噪聲,而且不受非順磁性分子的干擾,尤其是不受H2O 和CO2分子的干擾,這大大提高了FRS 探測(cè)大氣順磁性分子的選擇性[1],可廣泛用于多種順磁性痕量氣體的探測(cè),如NO[6?15],NO2[1,16,17],O2[18,19]和OH 自由基[20]等.

目前大部分FRS 技術(shù)采用線圈電磁方式進(jìn)行.例如,Smith 等[16]報(bào)道了FRS 高靈敏度探測(cè)NO,其通過(guò)給線圈提供3.5 A 的電流,產(chǎn)生了110 G(1 G=1×10–4T)的磁場(chǎng),探測(cè)靈敏度達(dá)到了4×10–9(體積比,后文無(wú)特殊說(shuō)明均指體積比),并應(yīng)用于2008 年的北京奧運(yùn)會(huì);Zaugg 等[17]采用FRS實(shí)現(xiàn)了NO2的高靈敏度探測(cè),采用7 A,832 Hz 的交流電,產(chǎn)生了230 G 的軸向磁場(chǎng),達(dá)到了1×10–9的探測(cè)靈敏度.在文獻(xiàn)[1]中為產(chǎn)生200 G 的軸向勻強(qiáng)磁場(chǎng),工作電流為5 A 的交流電,對(duì)NO2的探測(cè)靈敏度達(dá)到2.5×10–9.這種正弦交流電產(chǎn)生磁場(chǎng)的方法存在能耗高和發(fā)熱多的局限性.為此,趙衛(wèi)雄等[20]開(kāi)展了基于超導(dǎo)線圈的FRS 技術(shù)研究,采用由NbTi 超導(dǎo)材料制成的線圈,用循環(huán)低溫冷卻器和He 將線圈冷卻至5 K 以下,以達(dá)到超導(dǎo)狀態(tài),通電電流12 A,產(chǎn)生的磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為215 G.這種采用超導(dǎo)電磁的FRS 克服了線圈發(fā)熱的問(wèn)題,能夠產(chǎn)生較高的磁場(chǎng),但涉及超導(dǎo)的液氦制冷,僅適用于實(shí)驗(yàn)室的分析研究,基于目前的超導(dǎo)技術(shù)水平,對(duì)發(fā)展便攜式的FRS 設(shè)備有一定的局限.針對(duì)線圈電磁的問(wèn)題,2012 年,Brumfield 等[18]開(kāi)展了基于永久磁鐵的FRS 探測(cè)O2的研究,其采用由20 個(gè)圓柱狀稀土磁體組成的八極磁體排列結(jié)構(gòu),構(gòu)造了在110 mm 長(zhǎng)度內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為554 ±64 G 的磁場(chǎng),最終實(shí)現(xiàn)了1.3×10–9的靈敏度.

從以上文獻(xiàn)分析可知,目前大部分FRS 以正弦調(diào)制的線圈電磁的方式實(shí)現(xiàn),雖然少量開(kāi)展了基于永磁體磁場(chǎng)的FRS 實(shí)驗(yàn),但對(duì)永磁體磁場(chǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面開(kāi)展討論和研究的還比較少見(jiàn).FRS的核心組件之一就是磁場(chǎng),而磁場(chǎng)的強(qiáng)度、均勻性和有效長(zhǎng)度很大程度上會(huì)影響FRS 系統(tǒng)的性能和檢測(cè)靈敏度.因此,探索研究永久磁場(chǎng)的構(gòu)建具有重要的理論研究意義和應(yīng)用價(jià)值.為此開(kāi)展了基于環(huán)形永磁體陣列構(gòu)建適用于FRS 的仿真優(yōu)化研究,以便通過(guò)永磁替代電磁,降低能耗,提升磁感應(yīng)強(qiáng)度.論文研究對(duì)發(fā)展低能耗、高性能的FRS 儀器具有重要的參考價(jià)值.本論文提出的仿真優(yōu)化方法,也可通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整應(yīng)用于其他需要?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng)的應(yīng)用中,如激光陀螺中法拉第云室的構(gòu)建[21],微波電子器械中的磁路設(shè)計(jì)等.

2 磁場(chǎng)設(shè)計(jì)理論依據(jù)

為了說(shuō)明磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度和有效長(zhǎng)度對(duì)FRS探測(cè)信號(hào)的影響,以及構(gòu)造適用于FRS 裝置的均勻強(qiáng)磁場(chǎng),首先對(duì)FRS 基本的理論做簡(jiǎn)要介紹.

入射的線偏振光通過(guò)磁場(chǎng)中的氣體分子后,偏振面會(huì)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度φ,稱為Faraday 旋轉(zhuǎn)角,可表達(dá)為[8]

式中,n±分別是右旋圓偏振光(+)和左旋圓偏振光(–)的折射率,const(n+?n?) 的大小和順磁性分子的濃度成正比,B是外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度,L是入射線偏振光和磁場(chǎng)中氣體分子相互作用的程長(zhǎng).對(duì)于氣體分子,該旋轉(zhuǎn)角非常微小,為了使該旋轉(zhuǎn)角可測(cè)量,故適當(dāng)增加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和長(zhǎng)度來(lái)增大Faraday 旋轉(zhuǎn)角,從而探測(cè)到FRS 的信號(hào).同時(shí),從檢偏器探測(cè)到的FRS 的出射信號(hào)強(qiáng)度I可表達(dá)為[8]

其中,I0為入射光強(qiáng)度,d為兩個(gè)正交偏振片的消光比(最大為 10?5),Φ為兩個(gè)偏振片偏振軸之間的夾角.由(2)式可知,Faraday 旋轉(zhuǎn)角的大小對(duì)最終探測(cè)到的FRS 的信號(hào)強(qiáng)度有重要影響.

對(duì)于FRS 的性能而言,磁場(chǎng)強(qiáng)度和分布的長(zhǎng)度是提升FRS 性能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一,因此開(kāi)展磁場(chǎng)構(gòu)建的研究對(duì)FRS 至關(guān)重要.論文以磁環(huán)的物理模型為基礎(chǔ),提出單理想值優(yōu)化、多段式單理想值優(yōu)化以及梯度優(yōu)化的永磁體磁環(huán)陣列優(yōu)化方案,并運(yùn)用計(jì)算機(jī)仿真建模手段分析各類方案的磁場(chǎng)特性.

3 磁環(huán)物理模型建立

根據(jù)第2 節(jié)理論可知,構(gòu)建不同強(qiáng)度和長(zhǎng)度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)將獲得不同的信號(hào)效果.為此本文采用多個(gè)永磁體磁環(huán)組合的方式,通過(guò)優(yōu)化磁環(huán)的排列間距和磁環(huán)的磁化參數(shù),來(lái)實(shí)現(xiàn)滿足FRS 測(cè)量的磁環(huán)陣列的優(yōu)化方案,為FRS 的磁場(chǎng)構(gòu)造提供參考.

首先,構(gòu)建正確的磁環(huán)物理模型.對(duì)實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有的磁環(huán)封裝進(jìn)行測(cè)量,該封裝由5 個(gè)型號(hào)為N52的釹鐵硼磁環(huán)組成,相鄰磁環(huán)以7.70 mm 的間距隔開(kāi),磁環(huán)的內(nèi)徑為60 mm,外徑為100 mm,高度為25 mm,剩磁1.42 T,矯頑力Hcb=828—907 kA/m,內(nèi)稟矯頑力Hcj≥ 876 kA/m,最大磁能積 (BH)max=394—414 kJ/m3,工作溫度≤ 70 ℃(寧波磁性材料廠出廠數(shù)據(jù)提供).將磁環(huán)組放置在無(wú)磁性的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上,將高斯計(jì)的探頭固定于滑軌上,通過(guò)探頭在滑軌上滑動(dòng)的方式測(cè)量磁環(huán)組中心軸線的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布,每隔5 mm 讀取高斯計(jì)測(cè)量值,所得中心軸線的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布如圖2 所示.

圖2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果Fig.2.Measurement result of experiment.

接下來(lái)對(duì)該封裝的磁環(huán)進(jìn)行仿真建模.用于磁環(huán)物理模型構(gòu)建的磁化模型有很多種,如相對(duì)磁導(dǎo)率,磁損耗,B-H曲線,等效B-H曲線,剩余磁通密度,非線性永磁體等.考慮到廠家提供的參數(shù)和釹鐵硼材料的屬性,采用剩余磁通密度Br作為永磁體磁環(huán)的磁化模型,基于Br建立永磁體磁環(huán)空間磁場(chǎng)B-H的本構(gòu)關(guān)系,其中B為磁感應(yīng)強(qiáng)度,也稱磁通密度,H為磁場(chǎng)強(qiáng)度,且兩者滿足

式中μrec為回復(fù)磁導(dǎo)率,μ0為空氣磁導(dǎo)率;Br=為剩余磁通密度模,由材料屬性決定;e是剩余磁通密度的方向矢量,取e=(0,0,?1).結(jié)合?×H=J,B=?×A,J=σE可以得到永磁體等效的電流密度,用磁通密度z分量表征磁體軸向磁場(chǎng)的空間分布特征.

因釹鐵硼永磁體的典型回復(fù)磁導(dǎo)率μrec=1.05,與空氣的相對(duì)磁導(dǎo)率μair=1.00 接近,故多磁環(huán)組的磁場(chǎng)分布可視為多個(gè)單磁環(huán)的磁場(chǎng)的線性疊加[22].采用二維建模對(duì)磁環(huán)組進(jìn)行仿真分析,在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸30 mm 的位置構(gòu)建寬20 mm,高25 mm 的小矩形,該小矩形代表磁環(huán)軸向截面的二分之一.將矩形沿z軸方向陣列,位移為32.5 mm(矩形高度25.0 mm+間隔7.7 mm),最終得到等間距排列的5 個(gè)小矩形(第4 節(jié)對(duì)該對(duì)稱模型有詳細(xì)敘述).以旋轉(zhuǎn)軸為一條邊,構(gòu)建一個(gè)寬為 200 mm,長(zhǎng)為600 mm 的大矩形作為磁環(huán)所處的空間,并在該矩形的頂部、底部和右側(cè)設(shè)置厚度為20 mm 的邊界層,并定義該邊界層為無(wú)限元域,其構(gòu)建可保證磁環(huán)在大矩形空間中的磁場(chǎng)分布不會(huì)因?yàn)檫吔缦拗剖艿接绊?采用內(nèi)置的空氣材料對(duì)整體(小矩形和大矩形)進(jìn)行填充;對(duì)代表磁環(huán)的小矩形,采用安培定律和B-H本構(gòu)關(guān)系對(duì)小矩形進(jìn)行磁化,為保證所得磁環(huán)中心軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度是正值,以z軸負(fù)方向?yàn)榇呕较?設(shè)置磁環(huán)的初始磁通密度為1.42 T (基于廠家提供的Br=1.42 T),仿真過(guò)程中發(fā)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果與仿真結(jié)果存在偏置,調(diào)整Br=0.9 T 時(shí),兩者吻合最好,最終確定建立模型∥Br∥=0.9 T .偏置的原因是永磁體的磁路中有空隙,因此永磁體的實(shí)際工作點(diǎn)在退磁場(chǎng)的作用下由Br點(diǎn)移至退磁曲線上的某點(diǎn),使永磁體的剩磁不再是Br[23],故仿真所用的Br需進(jìn)行適當(dāng)調(diào)節(jié).基于有限元求解方法的流程,對(duì)模型進(jìn)行自由網(wǎng)格剖分,得到的三角形網(wǎng)格單元數(shù)為635,四邊形單元網(wǎng)格數(shù)為260,共計(jì)628 個(gè)網(wǎng)格頂點(diǎn),34 個(gè)頂點(diǎn)單元且最小單元質(zhì)量為0.63020,平均單元質(zhì)量為0.89710,單元面積比為0.02374;對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步整理,采用二維旋轉(zhuǎn)得到三維空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布結(jié)果,通過(guò)設(shè)置磁環(huán)軸向截面觀察磁場(chǎng)分布狀況,組合永磁體磁環(huán)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布截面圖如圖3 所示.圖3(a)中箭頭方向表示磁感應(yīng)強(qiáng)度方向,圖3(b)中的流線代表磁力線.

圖3 永磁體磁環(huán)陣列仿真效果圖 (a) 磁感應(yīng)強(qiáng)度分布特征箭頭圖;(b) 磁感線分布特征流線圖Fig.3.Modeling magnetic induction of array-ring permanent magnets:(a) Arrow distribution of magnetic induction intensity;(b) streamline diagram of magnetic induction.

為與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果保持相同的精度,設(shè)置的域點(diǎn)探針也每間隔5 mm 提取中心軸線的磁感應(yīng)強(qiáng)度z分量,導(dǎo)出域點(diǎn)探針的數(shù)值,磁環(huán)中心軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的比較如圖4(a)所示,誤差棒表示實(shí)驗(yàn)值和測(cè)量值之差,即測(cè)量值的誤差.磁環(huán)陣列總長(zhǎng)156.4 mm,取磁環(huán)陣列中間點(diǎn)z1=78.20 mm(掃描路徑1)和第二個(gè)間隔中間點(diǎn)z2=61.64 mm(掃描路徑2)處的徑向磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度分布繪制成圖4(b).可以看出,兩條曲線都沿中心呈對(duì)稱分布,差別在于磁環(huán)體的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布呈中間低兩側(cè)高的趨勢(shì),但間隔處的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布呈中間高兩側(cè)低的趨勢(shì),兩個(gè)圖線的變化呈相反的趨勢(shì).這種差異是因?yàn)榇怒h(huán)體內(nèi)的磁場(chǎng)遠(yuǎn)大于它所處空間的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

圖4 五個(gè)磁環(huán)的實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果 (a) 實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果對(duì)比圖;(b) 磁環(huán)體內(nèi)部(z1=78.20 mm)和間隔(z2=61.64 mm)處的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖Fig.4.Measurement and simulation results of five magnetic rings:(a) Comparison of experimental and simulation results;(b) radial magnetic induction intensity distribution inside the ring (z1=78.20 mm) of the group and gap (z2=61.64 mm).

圖4(a)為磁環(huán)中心軸向磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度z分量的理論仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果,兩者相關(guān)性為0.838.偏差主要有以下原因:1) 實(shí)際磁環(huán)的尺寸(內(nèi)外徑,高度)與仿真模型有誤差;2) 無(wú)法保證實(shí)際磁環(huán)的剩余磁化參數(shù)(Br)處處均勻;3) 磁環(huán)的排列間距并非完全相等,使得實(shí)際測(cè)量的磁環(huán)間隔處的空間磁場(chǎng)分布與仿真有一定的誤差;4) 滑軌上探頭位置的測(cè)量和讀取誤差也需考慮在內(nèi).考慮到這些誤差因素,結(jié)合實(shí)驗(yàn)測(cè)量與仿真結(jié)果的相對(duì)誤差,可以認(rèn)為所建物理模型是可靠的,可用于磁環(huán)組的磁場(chǎng)分布優(yōu)化研究.

4 優(yōu)化方案

為了最大程度地減少求解模型所需的計(jì)算資源和時(shí)間,提高運(yùn)算效率,對(duì)磁環(huán)組的解析建模過(guò)程進(jìn)行了優(yōu)化.研究過(guò)程中利用永磁體磁環(huán)的對(duì)稱性質(zhì)對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化.采用二維軸對(duì)稱構(gòu)圖對(duì)多個(gè)磁環(huán)組成的磁環(huán)陣列進(jìn)行建模,將對(duì)稱邊界定義為理想磁導(dǎo)體邊界,該邊界條件代表等效電流的鏡像對(duì)稱平面.因磁場(chǎng)方向和電場(chǎng)方向垂直,磁場(chǎng)垂直穿過(guò)理想磁導(dǎo)體邊界,而電場(chǎng)則與理想磁導(dǎo)體邊界平行.在對(duì)稱平面的另一側(cè),等效電流將被精確鏡像,即等效電流仍沿切向流動(dòng),且方向不發(fā)生變化,也不會(huì)出現(xiàn)法向分量.故永磁體的磁場(chǎng)可由等效電流的分布情況根據(jù)本構(gòu)關(guān)系計(jì)算得出.且磁環(huán)磁場(chǎng)具有空間分布的對(duì)稱性,圓環(huán)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,故采用二維軸對(duì)稱模型對(duì)永磁體磁環(huán)組進(jìn)行建模.模型建立過(guò)程如圖5 所示.基于磁環(huán)組的二維軸對(duì)稱模型,采用有限元方法對(duì)磁環(huán)組的排列間距和所需磁環(huán)個(gè)數(shù)進(jìn)行仿真計(jì)算.

經(jīng)過(guò)比較分析,采用內(nèi)徑180 mm,外徑220 mm,高度25 mm 的磁環(huán)進(jìn)行三種優(yōu)化方案的比較.在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸90 mm 的位置構(gòu)建寬20 mm,高25 mm 的矩形,小矩形代表磁環(huán)軸向截面的1/2.在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸70 mm的位置構(gòu)建寬60 mm,高27 mm 的矩形,作為磁環(huán)優(yōu)化的移動(dòng)變形區(qū)域1.將上述兩矩形沿z軸方向陣列,位移為S0=45 mm (矩形高度25 mm+初始間距20 mm)最終得到等間距排列的6 個(gè)嵌套的矩形.在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸86.5 mm 的位置構(gòu)建寬27.0 mm,高350.0 mm 的矩形,作為變形區(qū)域2,并且使變形區(qū)域1 和2 的交叉部分為一個(gè)正方形且恰好嵌套著小矩形.在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸70 mm 的位置構(gòu)建寬60 mm,高350 mm的矩形,作為變形區(qū)域3,是整個(gè)磁環(huán)的優(yōu)化區(qū)域,包含變形區(qū)域1 和2,以及所有小矩形.以旋轉(zhuǎn)軸為半徑所在位置,構(gòu)建一個(gè)半徑為450 mm 的1/4 圓作為磁環(huán)所處的空間,并設(shè)置厚度為30 mm的邊界層,并定義該邊界層為無(wú)限元域.變形區(qū)域的劃分和網(wǎng)格剖分示意圖如圖6 所示.

圖6 有限元仿真區(qū)域網(wǎng)格剖分 (a) 變形區(qū)域的劃分;(b) 間距優(yōu)化網(wǎng)格剖分圖Fig.6.Deformation and meshing division of finite element simulation:(a) Division of deformation zone;(b) gradient optimization mesh division diagram.

用內(nèi)置的空氣材料對(duì)整體(6 個(gè)小矩形和1/4圓)進(jìn)行填充;采用安培定律和B-H本構(gòu)關(guān)系對(duì)小矩形進(jìn)行磁化,為保證所得磁環(huán)中心軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度是正值,以z軸負(fù)方向?yàn)榇呕较?剩余磁通密度模取值為0.9 T;截取旋轉(zhuǎn)軸上z=0 mm 到z=200 mm 的一條線段,作為優(yōu)化算法的積分目標(biāo).(4.1 節(jié)—4.3 節(jié)提到的三種優(yōu)化算法均基于SNOPT 非線性求解器進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算.三種優(yōu)化目標(biāo)表達(dá)式后文將詳細(xì)敘述,且優(yōu)化目標(biāo)是本論文討論的重點(diǎn).)為避免優(yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)磁環(huán)相交的情況,每個(gè)磁環(huán)可移動(dòng)的距離的上下限需有邊界條件限制,磁環(huán)可移動(dòng)范圍的邊界約束條件為

采用雙線插值法計(jì)算變形區(qū)域邊界的Laplace 方程的解[24],對(duì)于不同的建模區(qū)域以及復(fù)雜的邊界約束條件如固定區(qū)域、自由變形區(qū)域、指定變形區(qū)域、指定位移邊界、無(wú)位移邊界等,需要對(duì)邊界進(jìn)行特殊的網(wǎng)格剖分.網(wǎng)格剖分圖如圖6(b)所示,其中三角形網(wǎng)格單元數(shù)為67141,四邊形網(wǎng)格單元數(shù)為2350,邊單元為5255,最小單元質(zhì)量為0.1886,平均單元質(zhì)量為0.842,單元面積比為2.036×10?6.共計(jì)有邊單元5255 個(gè),頂點(diǎn)單元86 個(gè),網(wǎng)格面積1589 cm2.下面基于以上網(wǎng)格剖分方案,進(jìn)行三種優(yōu)化方案的研究和討論.

4.1 單理想值優(yōu)化

單理想值優(yōu)化方法,即將中心軸線的磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的z分量Bz與目標(biāo)值B0之間的差異最小化,并沿磁環(huán)中心從z=0 到z=L0進(jìn)行積分.為使目標(biāo)函數(shù)的值收斂,該目標(biāo)值相對(duì)于L0是歸一化的:

其中L0為目標(biāo)磁場(chǎng)的長(zhǎng)度,此處取L0=20 cm ;B0為目標(biāo)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的理想值,此處B0=0.024 T(240 G).

圖7 單目標(biāo)值優(yōu)化中心軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布Fig.7.Single value optimization of central axial magnetic induction.

最終優(yōu)化結(jié)果如表1 所列(位移量為正,磁環(huán)上移;位移量為負(fù),磁環(huán)下移),結(jié)合磁環(huán)的初始間隔,可計(jì)算出相對(duì)于對(duì)稱邊界,磁環(huán)的排列間距(見(jiàn)表2).

表1 單理想值優(yōu)化結(jié)果Table 1.Results of single-objective optimization.

表2 單理想值優(yōu)化磁環(huán)排列間隔Table 2.Magnetic rings gaps of single-objective optimization.

設(shè)置域點(diǎn)探針,用于提取中心軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度z分量的數(shù)值,每隔0.01 mm 讀取一次探針數(shù)值,繪制成中心軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖(圖7),數(shù)據(jù)提取的掃描路徑如圖8 所示.與表2 參數(shù)相對(duì)應(yīng)的,磁環(huán)組的間距排布見(jiàn)圖8.

圖8 磁環(huán)組分布情況Fig.8.Distribution of magnetic ring arrangements.

4.2 多段式單理想值優(yōu)化

基于對(duì)單理想值優(yōu)化方案的討論,發(fā)現(xiàn)目標(biāo)磁場(chǎng)的優(yōu)化結(jié)果仍有較大的不均勻分布,為了減小這種不均勻程度,采用多個(gè)理想值,對(duì)目標(biāo)磁場(chǎng)區(qū)域分段優(yōu)化,稱為多段式單理想值優(yōu)化方案.在多段式單理想值優(yōu)化分析中,對(duì)磁環(huán)中心均勻分布的5 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行理想值約束,其中受約束的點(diǎn)依次為z=0,5,10,15,20 cm.即采用多段式單理想值將磁場(chǎng)軸向分量與各理想值之間的差異最小化,將Bz沿磁環(huán)中心從1,2,3,4)進(jìn)行積分.為了使函數(shù)目標(biāo)值收斂,目標(biāo)相對(duì)于是歸一化的,且滿足

表3 多段式單理想值優(yōu)化結(jié)果Table 3.Results of multi-part single objective optimization.

設(shè)置域點(diǎn)探針,用于提取中心軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度z分量的數(shù)值,為保證和單理想值優(yōu)化結(jié)果的精度相同,依然每隔0.01 mm 讀取一次探針數(shù)值,繪制成如圖9 所示的中心軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖.

圖9 多段式單理想值優(yōu)化中心軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布Fig.9.Multi-part single objective optimization of central axial magnetic induction.

為比較兩種優(yōu)化方案,用200 mm 目標(biāo)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方差衡量磁場(chǎng)均勻程度,稱為磁場(chǎng)均勻度參數(shù)ζ,每間隔0.01 mm 取磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值,共取20000 個(gè)中心軸線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度z分量值Bz_n,用于計(jì)算中心軸線磁場(chǎng)均勻度,其表達(dá)式為

式中,Bave為由20000 個(gè)中心軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算出來(lái)的平均值.對(duì)于單理想值優(yōu)化,磁場(chǎng)均勻度ζ=23.2359;多段式ζ=12.7926 .此結(jié)果表明,相比于單理想值優(yōu)化的磁場(chǎng)均勻度,多段式提高了44.9%,說(shuō)明多段式單理想值磁場(chǎng)優(yōu)化效果相比于單理想值優(yōu)化效果好,但是該磁場(chǎng)均勻度仍不足以滿足均勻磁場(chǎng)的要求.

4.3 梯度優(yōu)化

針對(duì)前面單理想值優(yōu)化、多段式單理想值優(yōu)化構(gòu)造的磁場(chǎng)均勻度有限的問(wèn)題,結(jié)合多段式單理想值優(yōu)化的優(yōu)化方案能顯著提升磁場(chǎng)均勻度的特點(diǎn),對(duì)優(yōu)化方法進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn),提出了梯度優(yōu)化方法,即基于對(duì)磁場(chǎng)中心軸線方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度梯度進(jìn)行二次積分作為優(yōu)化目標(biāo),并進(jìn)行歸一化處理,研究討論該情況下的局部最優(yōu)解,

其中L0=20 cm,B0為目標(biāo)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的理想值,此處定義B0=0.024 T,Bz為軸向磁場(chǎng)的z分量.考慮最小化沿優(yōu)化區(qū)域的磁場(chǎng)梯度,在需要構(gòu)造的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的中心點(diǎn)對(duì)場(chǎng)進(jìn)行約束.優(yōu)化方程通過(guò)取軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度的z分量,并計(jì)算z方向梯度的平方值,之后將所得表達(dá)式對(duì)磁場(chǎng)長(zhǎng)度進(jìn)行積分,并用L0B0對(duì)前式進(jìn)行歸一化運(yùn)算,這一過(guò)程可表示為(8)式.

表5 梯度優(yōu)化結(jié)果Table 5.Results of gradient optimization.

設(shè)置域點(diǎn)探針,用于提取中心軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度z分量的數(shù)值,每隔0.01 mm 讀取一次探針數(shù)值,繪制成如圖10 所示的中心軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖.

圖10 梯度優(yōu)化中心軸向磁通密度分布Fig.10.Gradient optimization center axial magnetic flux density distribution.

為方便對(duì)以上三種方案的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較,均采用(7)式計(jì)算三種優(yōu)化結(jié)果的磁場(chǎng)均勻度,最終結(jié)果見(jiàn)表7.

表7 三種優(yōu)化方案的磁場(chǎng)均勻度結(jié)果比較Table 7.Comparison of magnetic field uniformity of three optimization method.

相比于均勻纏繞的螺線管產(chǎn)生的均勻磁場(chǎng),想要用永磁體磁環(huán)產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng),需將磁環(huán)陣列進(jìn)行不等間距的排列.這樣的排列方式是由磁環(huán)本身的空間磁場(chǎng)分布特性決定的.單個(gè)磁環(huán)中心軸線上的磁場(chǎng)分布并非處處相同,且對(duì)于不同規(guī)格尺寸的磁環(huán),尤其是磁環(huán)軸向長(zhǎng)度的取值,會(huì)使中心軸線上的磁場(chǎng)呈現(xiàn)一定程度的不均勻性.這個(gè)特點(diǎn)和永磁體退磁場(chǎng)的不均勻性質(zhì)相關(guān).

等間距排列的磁環(huán)中心軸線的磁場(chǎng)分布顯示(見(jiàn)圖2),磁環(huán)陣列的中心區(qū)域出現(xiàn)了大幅衰減.磁環(huán)實(shí)際的空間磁場(chǎng)分布情況與磁化場(chǎng)和磁體本身的退磁場(chǎng)兩部分相關(guān),且退磁場(chǎng)的方向與外加磁化場(chǎng)方向相反.永磁體的實(shí)際工作點(diǎn)將從剩磁點(diǎn)移動(dòng)到磁滯回線的第二象限,即退磁曲線上的某一點(diǎn).因此永磁體的空間磁場(chǎng)分布應(yīng)采用退磁曲線上的物理量來(lái)描述.退磁場(chǎng)的強(qiáng)度Hd與磁體的幾何形狀和磁極的強(qiáng)度M有關(guān),且滿足關(guān)系Hd=?αM,其中α稱為退磁因子,僅與材料的形狀有關(guān),且與磁化方向的軸長(zhǎng)度成反比.如對(duì)于沿長(zhǎng)軸方向磁化的細(xì)長(zhǎng)樣品,α接近于0,但是對(duì)于短而粗的樣品,α可以很大.僅少數(shù)幾何形狀的樣品能計(jì)算退磁因子,比如橢球體,球體,細(xì)長(zhǎng)圓柱體等.對(duì)于環(huán)狀物體的退磁因子,還無(wú)法準(zhǔn)確數(shù)值計(jì)算[23].由此,磁環(huán)的實(shí)際空間磁場(chǎng)分布大多由仿真或?qū)嶋H測(cè)量來(lái)表述.論文旨在給出適用于磁環(huán)優(yōu)化的一般性解決方案,但對(duì)于不同永磁材料和規(guī)格的環(huán)形永磁體,還需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行優(yōu)化方案的選取和參數(shù)的調(diào)節(jié).

5 結(jié)論

構(gòu)建了正確模擬永磁體磁環(huán)空間磁場(chǎng)分布的物理模型,首先利用微位移平臺(tái)測(cè)量了實(shí)驗(yàn)室5 個(gè)磁環(huán)樣品中心軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布,并對(duì)5 個(gè)釹鐵硼磁環(huán)組進(jìn)行仿真建模,實(shí)驗(yàn)測(cè)量與仿真結(jié)果相關(guān)性較強(qiáng),證明了基礎(chǔ)物理模型的構(gòu)造正確;基于間距調(diào)整的有限元網(wǎng)格剖分方案,采用三種優(yōu)化方案構(gòu)建了三類優(yōu)化模型:單理想值優(yōu)化方案,多段式單理想值優(yōu)化方案,梯度優(yōu)化方案.由于以上方案返回的結(jié)果均為局部最優(yōu)解,故在優(yōu)化參量相同的情況下,所得結(jié)果也不盡相同.單理想值優(yōu)化方案基于磁場(chǎng)軸向分量與理想值之間的差異最小化為原則,對(duì)中心點(diǎn)處的磁通密度值進(jìn)行約束.為進(jìn)一步探索理想值優(yōu)化的局部最優(yōu)結(jié)果,提出多段式單理想值優(yōu)化方案,采用多個(gè)理想值,分別對(duì)總目標(biāo)磁場(chǎng)的不同區(qū)域磁場(chǎng)進(jìn)行理想值優(yōu)化,所得優(yōu)化方程的目標(biāo)值優(yōu)于單理想值方案,即此種方案的優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于單理想值優(yōu)化結(jié)果.基于以上分析研究,將優(yōu)化區(qū)域無(wú)限細(xì)分,即做微元處理后再積分,提出梯度優(yōu)化方案.該方案的優(yōu)化結(jié)果比其他兩種方案低3 個(gè)數(shù)量級(jí),說(shuō)明優(yōu)化的磁場(chǎng)均勻性明顯高于另外兩種方案.根據(jù)本論文的仿真分析,發(fā)現(xiàn)在磁環(huán)高度和內(nèi)外徑差保持不變的情況下,同時(shí)大幅度增加磁環(huán)的內(nèi)外半徑,更有利于構(gòu)建均勻強(qiáng)磁場(chǎng).論文為FRS 光學(xué)諧振腔采用永磁體磁環(huán)陣列構(gòu)造均勻強(qiáng)磁場(chǎng)的設(shè)計(jì)方案提供了參考和借鑒.從而替代電磁方式,構(gòu)造出能夠長(zhǎng)時(shí)、穩(wěn)定工作的無(wú)能耗磁場(chǎng),可以為發(fā)展FRS 檢測(cè)技術(shù)和應(yīng)用研究提供參考.