三式類比在初中數(shù)學教學中的運用研究

李愛麗

【摘要】在初中數(shù)學學習中，類比是一種重要的思想方法。該文提出了簡化式、結(jié)構(gòu)式、降維式三種形式的類比，引導(dǎo)學生在類比中尋找知識關(guān)聯(lián)點構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，關(guān)注知識差異性創(chuàng)設(shè)合適的類比情境，并在活動中內(nèi)化這種思維方法，以提高數(shù)學教學的效率，促進學生數(shù)學關(guān)鍵能力的習得。

【關(guān)鍵詞】概念教學? 簡化式? 結(jié)構(gòu)式? 降維式

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2022）02-0111-03

類比是一種思維方法，同時也是一種學習方式，具體是指由于兩個對象在某些方面具有相同或者相似的性質(zhì)，推斷出這兩個對象在其他性質(zhì)上也有可能相同或者相似。具體到數(shù)學學科中，根據(jù)兩個知識（概念）的相似性，通過合理推理將其中一個知識的已知特性遷移到另一個知識上。因此，在數(shù)學教學中，教師就可以運用這種思維進行教學，將原來抽象的、復(fù)雜的、離學生生活較遠的知識通過與學生熟悉的、已學的知識進行類比，更生動、立體地呈現(xiàn)給學生，增加數(shù)學學習的趣味性，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。

一、定位：類比的教學價值探討

在數(shù)學教學中，教師要充分挖掘數(shù)學中各種知識點之間的關(guān)聯(lián)，讓學生在類比舊知識的結(jié)構(gòu)中認識新知識，從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。這種教學法關(guān)注學生的數(shù)學現(xiàn)實，扎根于學習者已有的認知，促進了學生知識遷移能力的提升，也有利于增強其對知識邏輯性的認識，幫助他們將知識串成鏈，結(jié)成網(wǎng)。這樣的教學有其獨特的價值。

1.類比是一種思想方法

類比既是一種非常重要的思想方法，也是一種有效的教學方法，在學生發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提出猜想時發(fā)揮著重要的作用，在教學中對培養(yǎng)學生直覺思維能力、知識遷移能力及增加課堂教學的有效性方面均功不可沒。

2.類比是一種推理方式

“課標”在教學理念中明確提出要發(fā)展學生推理能力的要求，而類比推理是一種或然推理，即推理的前提正確，但結(jié)論不一定正確，需要經(jīng)過演繹推理證明。因此教學時，教師既要引導(dǎo)學生關(guān)注知識的相似性，也要關(guān)注知識之間的差異性。

3.類比是一種學習策略

數(shù)學知識是一個聯(lián)系的整體，特別是有些并列數(shù)學知識，如三角形、正方形、平行四邊形、菱形等各種圖形，就可以合理地運用“類比”讓學生感受學習各種圖形的策略與路徑。引導(dǎo)學生在“類比”中探究，在“探究”中建構(gòu)新知識，形成穩(wěn)定、清晰且整體的認知結(jié)構(gòu)，從而讓學生感受數(shù)學的整體性。

二、實踐：三式類比及其策略

在數(shù)學教學中，根據(jù)數(shù)學內(nèi)容的特點，筆者探索了類比的三種不同形式，以及運用類比的策略。

（一）類比方式

1.簡化式類比

簡化式類比就是將目標命題進行簡化，通過類比命題的證明思路與方法，尋找目標命題的證明思路與方法。在實際教學中多通過“降元”或“降次”來實現(xiàn)。在學習新概念時，先找到比較熟悉的概念，通過探索兩者之間的關(guān)系，完成從熟悉概念到新概念遷移的過程，在初中代數(shù)中比較典型的就是方程學習過程。例如在學習二次函數(shù)性質(zhì)探究時，首先讓學生回憶一次函數(shù)性質(zhì)是如何探究的？一次函數(shù)探究過程為：教師首先引導(dǎo)學生通過“列表、描點、連線”的描點法畫出函數(shù)圖像，再探究圖像的形狀、圖像經(jīng)過的象限和系數(shù)的關(guān)系、圖像的增減性與系數(shù)的關(guān)系。教師由此引入探究二次函數(shù)性質(zhì)時，通過類比一次函數(shù)來研究，其具體過程也相似：學生仍通過“列表、描點、連線”得出二次函數(shù)的圖像是拋物線，同樣探究圖像經(jīng)過的象限與系數(shù)關(guān)系、圖像的增減性與系數(shù)關(guān)系。教師引導(dǎo)學生通過類比研討及時讓學生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的三部曲：畫出函數(shù)圖像→根據(jù)函數(shù)圖像猜想函數(shù)的性質(zhì)→用數(shù)學語言表述二次函數(shù)的性質(zhì)，這個過程就是數(shù)形結(jié)合思想探討函數(shù)性質(zhì)。最后學生很自然還會發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)與一次函數(shù)的不同點：二次函數(shù)存在頂點、對稱軸和最值。在這樣的簡化式類比中不僅可以關(guān)注到知識之間的“同”，還可以關(guān)注到知識之間的“不同”，而這些細微的“不同”正是體現(xiàn)知識本質(zhì)屬性的核心。

2.結(jié)構(gòu)式類比

這種類比需要從找到的相關(guān)已知知識的性質(zhì)、定義等多方面加以分析，依據(jù)知識結(jié)構(gòu)的相似性來尋找已知知識和新學知識之間相似的問題，通過問題的探究，實現(xiàn)對目標命題的全面認識以及能辨析清楚目標命題與類比命題之間的關(guān)系，并在這個過程中培養(yǎng)從多角度思考與認識概念的路徑與方法。它需要從已知知識的性質(zhì)與定義等方面加以類比分析，依據(jù)結(jié)構(gòu)上的相似性來尋求能夠進行類比的問題，然后將已知知識作適當?shù)拇鷵Q，最終實現(xiàn)已知問題向新學問題的轉(zhuǎn)化。例如：在教學菱形與矩形性質(zhì)時，教師可以類比平行四邊形性質(zhì)來研究，平行四邊形的性質(zhì)從邊、角、對角線、對稱性四個方面探究，同樣菱形、矩形的性質(zhì)完全可以從邊、角、對角線、對稱性四個方面研究，并列出下面表格。

通過列表進行類比和對比得出矩形和菱形特有的性質(zhì)。類比不僅僅有研究相同點的類比，更重要的是研究幾何圖形的特有的性質(zhì)，通過結(jié)構(gòu)式類比，懂得幾何圖形中四邊形的研究主要是從邊、角、對角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而得出各自的性質(zhì)。

3.降維式類比

這一類類比多用于研究由好幾面組成的復(fù)雜的幾何問題，可以先考察并解決一個與它類似的，但是設(shè)計的方面少一些的問題，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為難度較低的問題，使原來復(fù)雜且抽象的問題能夠具體化、簡單化。待問題解決之后，再用解決簡單問題或者這幾方面較少問題時所使用的方法或結(jié)論擴展到復(fù)雜且難度高的問題。

在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交AC邊于點D，AO的延長線交BC邊于點H，當AD=2，CD=3時，讓學生探索出以下結(jié)論：=，=，△DAO∽△DBA，∠BAO=∠DAO=∠ABD等結(jié)論， 而后再引導(dǎo)學生思考下列問題：“如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交AC邊于點D，當AD=2，CD=3時，若△BOH的面積為S1，四邊形CDOH的面積為S2，記λ=，求λ的值?！?/p>

在活動探究中，教師引導(dǎo)學生從前面的基本圖形出發(fā)，通過分析、比較，探究出這種問題的解法。這一過程主要是通過類比將圖形進行分解，實現(xiàn)降維的目的。

（二）類比策略

在運用三種形式類比學習數(shù)學概念過程中，教師要尋找合適的類比關(guān)聯(lián)點，創(chuàng)設(shè)合適的類比情境，在數(shù)學活動中內(nèi)化數(shù)學的思想方法。

1.尋找關(guān)聯(lián)點，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

學生通過類比的探究活動，構(gòu)建數(shù)學體系中相關(guān)聯(lián)的知識網(wǎng)絡(luò)，就能在適宜的結(jié)構(gòu)中生長，形成穩(wěn)定、清晰且整體的認知結(jié)構(gòu)。如幾何中典型的是多邊形和平行四邊形的學習，它們都可以將三角形作為類比源，類比是為了轉(zhuǎn)化，將新問題轉(zhuǎn)化為已知問題。又如在總復(fù)習中，利用關(guān)聯(lián)點，在類比中重新構(gòu)建起知識網(wǎng)絡(luò)這個方法非常有用，在特殊四邊形的復(fù)習中，教師可以將平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定縱橫聯(lián)系起來，建立起一張有關(guān)圖形的知識網(wǎng)絡(luò)圖。然后再分組討論，通過“類比式”綜合分析，探究出平行四邊形和特殊平行四邊形的判定主要從邊、角、對角線這三個視角來考慮，根據(jù)邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系、角的數(shù)量關(guān)系、對角線之間的關(guān)系來推斷是何特殊平行四邊形。通過這樣尋找合適的關(guān)聯(lián)點，建立起一張系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)圖，這樣既減少了學生在知識掌握時的死記硬背，還能清晰地掌握各種圖形之間的差異與聯(lián)系。

2.關(guān)注差異性，創(chuàng)設(shè)類比情境

在類比教學中，教師要能夠識別出知識的核心本質(zhì)，充分關(guān)注知識相同點的同時，更要關(guān)注到知識的不同點。教學中，將類比內(nèi)容適時地呈現(xiàn)給學生后，重點探究新舊知識之間的差異，在“異”中進行新知識的學習，完成新知識結(jié)構(gòu)體系的搭建。例如“相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用”這一實際應(yīng)用對于初中的數(shù)學學習來說是一個重點，也是難點。在教學中，我們抓住相似三角形的性質(zhì)，可以通過創(chuàng)設(shè)不同情境來探究其性質(zhì)。請看下面一組情境：

（1）小聰?shù)挠白訂栴}探究中，影子落在平地上：在同一時刻，小聰測得他在地上的影子長為1米，距他不遠處一支豎直旗桿的影長為5米，已知小聰?shù)纳砀邽?.6米，求旗桿的高度。

（2）影子落在豎直的墻面上：小聰在某一時刻測得1米長的豎直放置的竹竿的影長為2米，在同時測量旗桿的影長時，旗桿的影子有一部分落在墻上（如圖），小聰測得旗桿落在地面上影長為25米，留在墻上的影高為4米，求旗桿的高度。

（3）影子落在臺階上：小聰在某一時刻測得1米長的豎直放置的竹竿影長0.5米，在同時刻測量旗桿的影長時，旗桿的影子有一部分落在第一級臺階上（如圖），測得此影長為0.5米，一級臺階高0.3米，此時落在地面上的影長為4.4米，求旗桿的高度。

（4）影子落在斜坡上：如圖，當太陽光線照射過來時，旗桿AB的頂端A的影子落在斜坡E處，小聰測得旗桿在地面上的影長BD=20米，斜坡上的影長DE=2米，斜坡與水平地面的夾角為30°。同一時刻一根1米長的直立的竹竿的影長為3米，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出旗桿的高度。

（5）影子落在球體上：在一半徑為60cm的半圓形障礙物前600cm（BF=600cm）有一豎直的柱子，已知落在半圓上的影長為20cm，同時，一直立70cm竹竿的影長為180cm，求柱子AB的高。

以上教學中通過測量旗桿高度這一大情境，利用相似三角形的性質(zhì)求旗桿高度。但在這一情境中，又有影子落在平地、豎直墻面、臺階、斜坡、球體上五個不同的地點，也就是創(chuàng)設(shè)了五個小情境。通過這五個小情境探究同一類問題，讓學生通過類比的方式得出解題的方法與解題的思路，以及所用的數(shù)學思想，拓展了學生的思維，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，提高了課堂效率，同時也能靈活地應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)。

3.根植活動中，內(nèi)化思維方法

課堂中教師不僅要設(shè)計各種有效的探究活動引導(dǎo)學生進行類比，同時也要在隨堂作業(yè)設(shè)計、課后作業(yè)拓展等各個環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學生的類比意識，教師要致力于還原數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在多元化的教學活動中讓學生充分經(jīng)歷充滿質(zhì)疑、判斷、比較和推理的過程，將數(shù)學的思想、研究的方法根植于學生心中。例如：課堂練習的設(shè)計，針對學生學習過程中的重點、難點、易錯點，根據(jù)類比意識研發(fā)小專題，讓學生學得精、學得深。例如在教學二次函數(shù)對稱問題時，根據(jù)學生易錯題：

拋物線y=2（x-3）2-1關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式設(shè)計了這樣的例題：

例題：已知二次函數(shù)y=2（x-3）2+3，求它的圖像關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式。

在教學完例題之后，立即設(shè)計這樣一組題跟進鞏固：

變式1：已知二次函數(shù)y=-2x2-4x+1，求它的圖像關(guān)于原點對稱的拋物線的解析式。

變式2：已知二次函數(shù)y=2x2-4x+1，求它的圖像關(guān)于直線x=3對稱的拋物線的解析式。

變式3：已知二次函數(shù)y=2（x-3）2+3，求它的圖像關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式。

變式4：已知二次函數(shù)y=-2x2-4x+1，求它的圖像關(guān)于直線y=-1對稱的拋物線的解析式。

通過這樣的一題多變，多題一解的聯(lián)系中，引導(dǎo)學生在縱深類比思想中對思維進行訓(xùn)練，提高各方面的思維品質(zhì)。

可見，在初中數(shù)學教學中，合理地應(yīng)用不同形式的類比，能夠讓學生更深刻地認識核心概念，并且還能夠?qū)⑦@個概念放在整個知識體系中去理解與應(yīng)用，積累更多學習數(shù)學概念的方法，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。

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