從2021、2020兩年高考試題看不等式選講解題方略

游少華

(貴州省遵義市第四中學(xué) 563000)

課標(biāo)卷中的兩道選作題，學(xué)生如何選擇，如何解答非常重要，甚至決定學(xué)生考試的成敗.這兩道題都體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)——數(shù)形結(jié)合的思想.但對不等式而言，無論是有變量問題還是定量不等式問題，學(xué)生都習(xí)慣分類討論求解.分類討論除分類不清外，還存在求交集錯誤問題，不等關(guān)系其本質(zhì)上是函數(shù)圖象的上下關(guān)系.如果能作圖象解不等式，不但直觀展現(xiàn)大小關(guān)系，更能方便看出不等關(guān)系的變量范圍.

2021年與2020年兩年的考題都體現(xiàn)這一解題思想.

題1 (2021年全國文理甲卷)已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|．

(1)在圖1中畫出y=f(x)和y=g(x)的圖象；

(2)若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范圍．

圖2

g(x)=|2x+3|-|2x-1|

畫出函數(shù)圖象如圖3：

圖3

(2)f(x+a)=|x+a-2|，

如圖4，在同一個坐標(biāo)系里畫出f(x),g(x)圖象，

圖4

y=f(x+a)是y=f(x)平移了|a|個單位得到，

則要使f(x+a)≥g(x)，需將y=f(x)向左平移，即a>0.

題2(2020年全國文理Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|．

(1)在圖5中畫出y=f(x)的圖象；

圖5

(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．

圖6

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位，可得函數(shù)f(x+1)的圖象，如圖7所示：

圖7

這兩年考題都是平移折線圖看變量范圍，若改為分類討論求解，就很難計算，用圖象能非常直觀地求解.在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多作圖，多從圖象的上下關(guān)系去理解不等關(guān)系，學(xué)生就能從圖象移動中找到不等關(guān)系存在時的變量范圍.其實(shí)這種考題不僅在2021年與2020年出現(xiàn)，我們再看前些年考題，其方法都一樣，利用作圖可直接方便求解.

題3 (2018年全國Ⅲ卷文理)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|．

(1)在圖8中畫出y=f(x)的圖象；

圖8

(2)當(dāng)x∈[0,+∞)時，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值．

y=f(x)的圖象如圖9所示．

圖9

(2)由(1)知，y=f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3.

故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時，

f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立，

因此a+b的最小值為5．

題4 (2013年全國Ⅰ卷文理)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(1)當(dāng)a=-2時，求不等式f(x)

解析(1)當(dāng)a=-2時，不等式f(x)

設(shè)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

其圖象如圖10所示，從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時，y<0.

圖10

所以原不等式解集是{x|0