一類(lèi)以導(dǎo)數(shù)為背景的高考題的解法研究

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

多年來(lái)，數(shù)學(xué)高考卷無(wú)論文科還是理科，無(wú)論是地方卷還是全國(guó)卷，均以導(dǎo)數(shù)作為壓軸題.題目通常難度較大，僅僅依靠高中所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，解答經(jīng)常擱淺.很多函數(shù)問(wèn)題均可等價(jià)轉(zhuǎn)化后，多次構(gòu)造新函數(shù)，再多次求導(dǎo)，利用洛必達(dá)法則求端點(diǎn)臨界函數(shù)值的“最值”，最后得到參數(shù)的范圍.下面我們分類(lèi)展示一些經(jīng)典高考題.

類(lèi)型1 分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)后，用洛必達(dá)法則保障范圍的完整性.

例1 (2018年全國(guó)高考Ⅱ卷理科21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

解析由零點(diǎn)概念知，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)就是f(x)=0只有一個(gè)解.即ex-ax2=0只有一個(gè)解.

當(dāng)x>2時(shí)，n′(x)>0，

當(dāng)0

(*)

如圖1，當(dāng)x→0時(shí)，x2→0，ex→1，

圖1

所以n(x)→+∞.

評(píng)注這種解法只需要學(xué)生對(duì)洛必達(dá)法則有一定認(rèn)識(shí)就可以掌握，整個(gè)流程邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、思維連貫、順理成章.這類(lèi)題目的結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定.值得一提的是，很多學(xué)生會(huì)將(*)以后的解題過(guò)程忽略，這是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，為什么呢？?qǐng)讀者思考.

類(lèi)型2 分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，多次求導(dǎo)，用洛必達(dá)法則求新函數(shù)最小值的臨界值.

例2 (2017年全國(guó)高考Ⅱ卷文科21題) 設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍．

解析當(dāng)x=0時(shí)，a可取任何實(shí)數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≤ax+1，

對(duì)h(x)求導(dǎo)，得

再令g(x)=ex(-x3-x2+x-1)+1，

對(duì)g(x)求導(dǎo)，得

g′(x)=ex(-x3-4x2-x).

當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)<0，

因此g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)的最大值臨界值為h(0).

由洛必達(dá)法則，得

所以a的取值范圍是[1,+∞).

評(píng)注分離參數(shù)后，通過(guò)多次求導(dǎo)，逐層判斷單調(diào)性，最后借助洛必達(dá)法則求得端點(diǎn)值得到參數(shù)取值范圍，思路簡(jiǎn)潔.本題高考給出的答案高深莫測(cè)，邏輯上讓中學(xué)生難以接受，尤其是分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)不易理解.有興趣的同仁可以查閱對(duì)比研究.

類(lèi)型3分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，多次求導(dǎo)，用洛必達(dá)法則求最大值臨界值.

例3(2016年全國(guó)高考Ⅱ卷文科20題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍.

解析f(x)>0，即(x+1)lnx-a(x-1)>0.

再設(shè)φ(x)=-2xlnx+x2-1，

則φ′(x)=-2lnx-2+2x，

由于x>1，所以φ″(x)>0，

于是φ′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以φ′(x)>φ′(1)=0，

進(jìn)而φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以φ(x)>φ(1)=0，因此h′(x)>0，

進(jìn)而h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以h(x)>h(1).

所以a的取值范圍是(-∞,2].

類(lèi)型4分類(lèi)討論，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，用洛必達(dá)法則求最大值和最小值的臨界值.

例4(2017年全國(guó)高考Ⅲ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0，求a的值.

解析當(dāng)x=1時(shí)，a∈R.

當(dāng)x>1時(shí)，lnx>0，

于是h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(x)>h(1)=0，因此λ′(x)>0.

所以λ(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，

于是λ(x)>λ(1).

所以a≤1.

同理，當(dāng)0

綜上，a=1.

評(píng)注本題與前面幾例比較，有兩個(gè)特征：一是受lnx的正負(fù)影響，不能直接分離參數(shù)，需要討論，但由于問(wèn)題的“對(duì)稱(chēng)性”僅需完整解答一次即可；二是表面上是求值問(wèn)題，但實(shí)際上還是求范圍問(wèn)題.

類(lèi)型5分離參數(shù)，“遞進(jìn)式”求導(dǎo)，用洛必達(dá)法則求最大值的臨界值.

例5(2010年全國(guó)高考Ⅱ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析當(dāng)x=0時(shí)，a∈R.

令m(x)=(x-2)ex+x+2，

則m′(x)=(x-1)ex+1.

則m″(x)=xex.

因?yàn)閤>0，所以m″(x)=xex>0.

于是m′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以m′(x)>m(0)=0.

所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以m(x)>m(0)=0，進(jìn)而h′(x)>0.

評(píng)注本題求導(dǎo)的目的性很明確，就是要讓m″(x)=xex出現(xiàn)，事實(shí)上每次求導(dǎo)ex的系數(shù)增加1，我們可以簡(jiǎn)稱(chēng)“遞進(jìn)式”求導(dǎo).但是沒(méi)有發(fā)現(xiàn)此規(guī)律的同學(xué)可能半途而廢.

正如波利亞所說(shuō)“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長(zhǎng)”.這類(lèi)給定范圍下的求參數(shù)范圍的導(dǎo)數(shù)壓軸題，只要被分離部分易于判斷其正負(fù)，就能分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，多次反復(fù)求導(dǎo)，我們可以借助洛必達(dá)法則模式化做答，不再為思路發(fā)愁，不再為所需最值或最值的臨界值迷茫.但是，像“2020年新高考Ⅰ卷第21題：已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．”這類(lèi)不易分離參數(shù)的題目，不適合用這種解法處理.